derivando due volte rispetto al tempo:

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1 DINAMICA RELATIVA Cinematica relativa: Teorema di Galileo: derivo: utilizzando le formule di Poisson: ricaviamo che: dunque la nostra velocità assoluta risulta: Teorema di Coriolis: derivando due volte rispetto al tempo: Dinamica relativa: SISTEMI RIGIDI Atto di moto rigido: insieme di tutte le velocità dei punti di un sistema che istante per istante può essere considerato rigido. Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché l atto di moto sia rigido è: due punti abbiano uguale componente della velocità lungo la loro congiungente. - condizione necessaria:., cioè che i - condizione sufficiente:. Teorema: in ogni istante esiste ed è unico un dell atto di moto rigido. è la relazione fondamentale Dimostrazione [unicità]: se esistono e

2 Dimostrazione [esistenza]: Derivo le tre relazioni: Applico la proprietà: L invariante scalare dell atto di moto rigido è espresso da: L atto di moto si dice: - Traslatorio: se tutti i punti hanno uguale velocità - Rotatorio: se esiste almeno un punto con velocità nulla - Elicoidale:. è vera se e solo se Teorema (asse di moto o di Mozzi): esiste un asse diretto come i cui punti hanno. Moltiplico vettorialmente per. Applico la proprietà: MOTO PIANO Teorema di Eulero: nel caso piano, l atto di moto è o traslatorio o rotatorio. - atto di moto traslatorio. - atto di moto rotatorio ed è definito il centro di istantanea rotazione. rotatorio: bisogna verificare che abbia soluzione perché esista esiste un asse. ammette soluzione e ci permette di calcolare un punto l atto di moto è rotatorio. Teorema di Chasles: se conosco le direzioni delle velocità di due punti qualsiasi del c.r., allora il C.I.R. si troverà nell intersezione delle due perpendicolari alle velocità.

3 disegno Basta conoscere la direzione delle velecità. C.I.R. : Base: luogo dei punti tracciati dal C.I.R. rispetto ad un riferimento fisso. Rulletta: luogo dei punti tracciati dal C.I.R. rispetto ad un riferimento solidale al corpo rigido. Durante il moto sono a contatto e rotolano una sull altra. C.I.R.: punto che istante per istante ha velocità nulla. In generale, la sua accelerazione è diversa da 0. Ca è il centro delle accelerazioni, definito istante per istante, in cui l accelerazione è pari a 0: Il C.I.R. non appartiene al corpo rigido. DINAMICA DI SISTEMI DI PUNTI Prima equazione cardinale o Teorema della quantità di moto: Oppure partendo da R: Risultante delle forze interne: dovuta a la forza dovuta all interazione tra due punti non risente degli altri punti interni al sistema. per il principio di azione e reazione: Momento risultante delle forze interne: Considero: Sostituisco nella 1 : Seconda equazione cardinale o Teorema del momento della quantità di moto: dove Seconda equazione cardinale (con G): tesi: dove DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

4 Baricentro in un continuo: Se il corpo è omogeneo, la densità. Per un corpo rigido, condizione di rigidità. Sostituiamo Sappiamo che :. Quindi Momento di inerzia: Teorema di Huyghens:. Posso spostare il momento di inerzia da un asse baricentrale ad un qualsiasi asse parallelo. Momento della quantità di moto rispetto ad un qualsiasi punto K: Siccome Applicando la proprietà:. Se Prima equazione cardinale: Seconda equazione cardinale: Energia Cinetica: per il c.r.:

5 Applico la proprietà:. Applichiamo la proprietà: Nel caso piano: Teorema di König: Lavoro: non è un differenziale esatto:. il lavoro dipende dal percorso nel caso non conservativo. è conservativa e quindi differenziale esatto.. Sappiamo che le derivate seconde miste sono uguali: è conservativa. differenziale del potenziale cui il lavoro dipende solo dalla posizione finale e da quella iniziale e non dal percorso: Caso particolare: per vincoli ideali fissi e forze conservative: durante il moto. Teorema dell energia cinetica: moltiplico scalarmente: questo risultato vale per forze conservative in dice che l energia meccanica si conserva Se il punto è isolato: Legame energia cinetica con potenza delle forze attive: per vincoli ideali fissi: S equipollente S : se uno può essere trasformato nell altro con una successione di operazioni invariantive (traslazione e scorrimento). Ad ogni sistema possiamo associare un vettore risultante rispetto ad un polo O qualsiasi. Il momento risultante è la somma dei singoli momenti, che di solito è diverso dal momento della risultante. se le rispettive risultanti sono uguali ed anche i loro momenti rispetto ad un polo qualsiasi:

6 Sistemi di forze equipollenti: due sistemi di forze sono equipollenti se e solo se rispetto ad uno stesso polo. Teorema: siano i vettori caratteristico del sistema S, e sia l invariante scalare a) equivale al sistema nullo. equilibrio o moto rettilineo uniforme b) equivale ad una coppia, come se avessimo due forze uguali e contrarie applicate a due punti diversi. il momento non dipende dal polo: c) equivale ad un sistema composto da un solo vettore, pari a R, applicato in un punto della retta di applicazione della risultante. moltiplico vettorialmente per d) equivale ad un sistema composto da un vettore R più una coppia. moltiplico vettorialmente per Questa retta non è quella di applicazione della risultante ma quella per cui i momenti sono minimi. MECCANICA ANALITICA Spostamento virtuale: è uno spostamento infinitesimo compatibile con i vincoli del sistema [vincolo bilatero: spostamento reversibile; vincolo unilatero: spostamento irreversibile]: Velocità virtuale: qualsiasi velocità del punto compatibile con il vincolo: Lavoro virtuale: Potenza virtuale: Equazione fondamentale della dinamica: virtuale: moltiplico scalarmente per la velocità relazioni simboliche pure della dinamica Equilibrio: (condizione necessaria e sufficiente) - Vincoli unilateri: - Vincoli bilateri: Per il corpo rigido: Equazione fondamentale della dinamica: vincoli olonomi, dinamica:. Lo spostamento effettivo:. Dalla relazione simbolica della

7 . Sostituendo:. Svolgiamo le due sommatorie separatamente: dove Ricomponendo le due sommatorie: Equazioni di Lagrange: forma non conservativa equazione pura di moto Utilizziamo due proprietà: Equazioni di Lagrange: forma conservativa. Sapendo che equazione di Lagrange dove Sappiamo che. Eguaglio: Sostituiamo nell equazione di Lagrange:. Essendo: poiché se deriviamo quindi scriviamo cmq. Principio dei lavori virtuali: Per l equilibrio, Condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio di un sistema è che il lavoro delle sollecitazioni virtuali sia nullo. MOTI CENTRALI il moto si dice centrale e O è il centro del moto. Da Newton possiamo dire che. Sviluppiamo:. Chiamiamo vettore costante in modulo, direzione e verso. Sappiamo che e che Il vettore è sempre, quindi P si muove in un piano che contiene il centro del moto e sempre. Allora possiamo dire che il moto del punto è un moto piano e in quanto tale possiamo usare le coordinate polari.

8 Oppure studiando l accelerazione: L area spazzata dal raggio vettore mentre P compie quell arco di traiettoria viene approssimata con l area del settore circolare:. Velocità areolare:, a meno di si vede che quindi chiamiamo c costante delle aree. E vero anche il contrario, cioè se il moto è piano e allora si dimostra che il moto è centrale: Condizione necessaria e sufficiente perché un moto piano sia centrale è. il moto è centrale. Conoscendo, possiamo usare per descrivere la cinematica del sistema in funzione di., sapendo che MOTO DEI PIANETI DI KEPLERO 1) Ogni pianeta in moto intorno al Sole si muove lungo un ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Ci dice, quindi, che il moto è piano. 2) La congiungente del Sole con il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, quindi e. La seconda insieme alla prima ci dice che il moto è centrale ed il Sole è il centro del moto. Applichiamo Binet: Quindi 3) Per ogni pianeta: Nell ellisse: Forza di interazione Pianeta-Sole: Così anche forza agente sul Sole: Per azione-reazione: attrazione universale. Sostituendo: costante di legge di gravitazione universale. Se un punto è molto vicino alla superficie terrestre si può approssimare la distanza al raggio della sfera quindi: accelerazione gravitazionale.

9 PUNTI ISOLATI (PROBLEMA DEI DUE CORPI) Derivo due volte: quindi quindi o moto rettilineo uniforme. Definiamo chiamo massa ridotta Ricavo: Vediamo muoversi intorno a come se avesse massa. Quindi è il centro di moto. Equazioni di Eulero: O fisso e G=O. Se utilizziamo la terna solidale con il c.r., una terna tale per cui il tensore è diagonalizzabile. Ricaviamo così le equazioni di Eulero: Energia cinetica per il corpo rigido tridimensionale (vedi anche teorema di König):. Applico la proprietà: in forma matriciale MOTO DI UN CORPO RIGIDO CON PUNTO FISSO O ASSE FISSO Per i moti di inerzia: Vediamo se è costante e dunque il moto è uniforme. 1) Simmetria sferica (corpo sferico)): le equazioni di Eulero sono: sono costanti nel tempo abbiamo un moto rotatorio uniforme, con rotazioni permanenti attorno all asse iniziale.

10 2) Simmetria assiale (struttura giroscopica): l asse di simmetria assiale è asse principale di inerzia ed è chiamato asse giroscopico. le equazioni di Eulero sono:. La componente secondo asse z è costante: chiamiamo deriviamo: Sostituiamo e sono equazioni dell oscillatore armonico. Risolvo: con le condizioni iniziali: La componente di lungo z è: (perché rapporto tra quantità costanti). Durante il moto l asse di istantanea rotazione disegna un cono circolare di semiampiezza con il nostro c.r. (cono mobile rispetto all asse giroscopico). dove è diretto lungo Z attorno all asse z e si muove descrive anche un cono circolare attorno all asse Z fisso di semiampiezza. Questo cono è fisso perché l asse Z è fisso. Questi due cono si chiamano coni di Poinsot, di cui uno mobile e l altro fisso. Sono sempre a contatto tra loro in corrispondenza dell asse di istantanea rotazione. Il cono mobile rotola senza strisciare sul cono fisso. è il vettore al piano contenente e, infatti: non ha componenti lungo questi vettori sono tutti complementari che contiene tutti e tre i vettori ( è tra l asse giroscopico e asse fisso). l asse giroscopico compie un moto di precessione attorno all asse fisso. Il moto non è rotatorio uniforme perché in modulo ma non in direzione, così il moto è di precessione. Se prendiamo e diretti come degli assi principali di inerzia allora il moto sarebbe uniforme. 3) Ricaviamo: dipendono da r. Intorno a z ci sarà ancora un cono ma non più a sezione circolare ma irregolare, lo stesso attorno a Z e z attorno a Z. Avremo moto proprio attorno a z, moto di precessione attorno a Z e di nutazione dovuto a, dove. Si può avere moto rotatorio uniforme se all istante iniziale è diretto come uno degli assi principali di inerzia. STABILITA : Stabilità di Lyapunov: Consideriamo un sistema: con soluzione la soluzione è stabile se dato un tale che data un altra soluzione all istante Se esiste allora l unica soluzione è stabile, se non esiste è instabile. Se esiste allora l unica soluzione è stabile. 1 metodo di Lyapunov:. La soluzione sarà: è stabile? Generica soluzione perturbata: perturbazione abbastanza piccola

11 è una linearizzazione (approssimo f con la tangente) Piano tangente (per n gradi di libertà): matrice dei coefficienti trovo la soluzione, cioè studio gli autovalori di Teorema: se la soluzione del sistema linearizzato è asintoticamente stabile, allora lo è anche quella del sistema originario. Se la soluzione del sistema linearizzato è instabile, allora lo è anche quella del sistema originario. Piccole oscillazioni attorno all equilibro stabile usando la Lagrangiana ridotta: La Lagrangiana ci fornisce N equazioni pure di moto. Per un sistema olonomo, non dissipativo e conservativo, all equilibrio Applichiamo alla posizione di equilibrio: Linearizziamo: tante equazioni per ogni indice i, che è sistema linearizzato. Poniamo: reali perché A,B simmetriche e A definita positiva. INSTABILE: se instabile e cresce. U ha un minimo quindi la soluzione di equilibrio è instabile. STABILE: se immaginari: le perturbazioni sono periodiche e rimangono piccole nel tempo ed attorno all equilibrio abbiamo un moto oscillatorio, dato dalle combinazioni di più moti oscillatori, con pulsazione:. Anche gli autovalori di B sono negativi quindi U ha un massimo. Non si tratta di equilibrio asintoticamente stabile perché decresce ma mai 0. INSTABILE: se, U ha una sella in corrispondenza di questo, le perturbazioni non è detto che rimangano piccole e non è detto che sia stabile, allora secondo Lyapunov è instabile. Teorema di Dirichlet: Un sistema olonomo, soggetto a forze attive e conservative e vincoli fissi non dissipativi, ha una configurazione di equilibrio stabile se in corrispondenza di questa configurazione la funzione potenziale ha un massimo. Teorema di Lyapunov: Un sistema olonomo, soggetto a forze attive e conservative e vincoli fissi non dissipativi, è instabile se nella configurazione di equilibrio non ha un massimo stretto nel potenziale. 2 metodo di Lyapunov:

12 MECCANICA DEI CONTINUI DEFORMABILI: infiniti gradi di libertà perché ciascun punto si muove in maniera autonoma rispetto agli altri. Condizione di incomprimibilità: Sia un campo vettoriale in un volume, con, e sia in ogni punto del volume. Teorema di Green:, Teorema di Gauss o del flusso: è il flusso uscente Teorema di Reynolds o del trasporto: nozioni da sapere: Postulato di conservazione della massa: data una porzione di fluido associato ad un volume quella porzione è costante nel tempo: qualsiasi, la massa di applico il teorema del trasporto: equazione di conservazione della massa o di continuità. Incomprimibilità: Postulato delle equazioni cardinali: per ogni volume di continuo deformabile, valgono le equazioni cardinali nelle quali prendono parte tutte le forze considerate, sia quelle esterne che quelle esercitate sul volume considerato dai volumi adiacenti (forze di volume). I equazione: II equazione: