Trigonometria. Parole chiave:

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1 Trigonometria Parole ciave: Seno e Coseno Calcolatore di Seno e Coseno Seno e Coseno in un triangolo rettangolo Seno e Coseno per qualsiasi angolo: la circonferenza goniometrica Segno di Seno e Coseno Codominio di Seno e Coseno Proprietà di Seno e Coseno Il teorema di Pitagora Periodicità e (Anti-)simmetria Angoli supplementari e complementari Angoli doppi Teoremi di Addizione per Seno e Coseno Tangente e Cotangente Calcolatore di Tangente e Cotangente Tangente e Cotangente in un triangolo rettangolo Tangente e il coefficiente angolare di una retta Proprietà di Tangente e Cotangente Angoli speciali Radianti SENO E COSENO Iniziamo con una domanda innocente: Dato un bastone di lungezza inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale, quanto è lunga la sua ombra quando il sole lo illumina verticalmente? Si consideri lo scizzo a lato: Il segmento rosso rappresenta il bastone, la freccia rappresenta la luce ce cade dall'alto. L'angolo α può essere scelto arbitrariamente (nell'esempio a lato abbiamo α 5 ); si cerca la lungezza del segmento verde: a questo punto si a una sorpresa ce ci pone in una situazione completamente nuova, percé Il problema non è solubile con le operazioni di calcolo ce abbiamo visto fino ad ora! Solo in casi eccezionali la lungezza dell'ombra può essere espressa con numeri già noti (ad esempio per α 60 la lungezza è, per α 45 è e queste lungezze si trovano facilmente col teorema di Pitagora applicato alla metà di un triangolo equilatero e ad un triangolo rettangolo isoscele), mentre se prendiamo α 5 otteniamo un numero (reale) ce non si esprime in questo modo né in modo simile. Pur non sapendo come calcolare la lungezza dell'ombra per è ciaro ce questa è univocamente determinata dalla domanda posta sopra. Per ottenere una prima approssimazione, possiamo fare un disegno (possibilmente) preciso sullo stile di quello riportato più sopra e misurare la lungezza del segmento verde. Troveremo un valore approssimato di circa Un procedimento di questo tipo è però insoddisfacente dal punto di vista matematico. Quello ce in ogni caso possiamo fare intanto è dare un nome al risultato esatto: lo ciamiamo coseno di α. La lungezza del segmento verde si esprime con cos α [oppure cos (α) α)] e si legge "Cosen alpa" oppure "Coseno di alpa". Poicé l'ombra è la lungezza dell'immagine ce il sole "proietta" sulla terra, possiamo ance dire ce cos α è la lungezza della proiezione di un segmento ce è inclinato di angolo α e a lungezza. Nel nostro esempio scriveremo cos5 0, 63(circa uguale a 0.63), nel caso α 60 sarà così come per α 45 è cos 45 ecc. cos 60

2 associano uno ed un solo numero reale, Analogamente possiamo illuminare il bastone con un raggio di luce in direzione orizzontale e ciederci quanto sarà lunga la sua ombra proiettata su una parete verticale. Ance questa lungezza in generale non può essere espressa con uno dei metodi di calcolo a noi già noti: a ciameremo seno. La lungezza del segmento blu nello scizzo qui a fianco a destra si esprime con sin α [oppure sin(α)] e si legge "Sen alpa" oppure "Seno di alpa". Ance questa volta si tratta di una proiezione, stavolta, però, ad opera di un raggio di luce orizzontale. Possiamo ance interpretare sin α come la lungezza apparente del bastone rosso sullo sfondo visto da una grande distanza. Se ad esempio abbiamo α 5 scriviamo sin(5 ). Seno e Coseno (e altre grandezze ce ricaveremo più sotto) si ciamano funzioni trigonometrice: sono infatti relazioni ce ad ogni angolo α associano uno ed un solo numero reale. Così come, per esempio, f ( x) x è la funzione ce ad ogni numero reale x x,.allo stesso modo f ( α) cos α ed f ( α) sin α sono due funzioni ce ad ogni angolo α associano, ciascuna, uno ed un solo numero reale ce corrisponde nel primo caso al suo coseno e nel secondo caso al suo seno. La differenza rispetto a formare il quadrato consiste soltanto nel fatto ce il calcolo numerico di sin α e cos α per un angolo dato α è più complicato. Per fortuna possiamo delegare questo compito a strumenti come il computer o la calcolatrice tascabile. Ance questi strumenti per la maggioranza degli angoli ci forniscono solo dei valori approssimati ce però, come nel caso dell'estrazione di radice, sono sufficientemente precisi per quanto riguarda le applicazioni pratice. In questo mini corso di trigonometria non spiegeremo come computer e calcolatrici effettuano queste operazioni, anzi sfrutteremo il fatto ce cliccando sulla calcolatrice cos 5 vedremo apparire e cliccando sin 5 apparirà , numeri, entrambi, ce anno una approssimazione di gran lunga maggiore di quella ce otterremmo con qualsiasi rigello! Quello ce cerceremo, invece, di imparare è come queste ed altre funzioni ce riguardano gli angoli, pur avendo un calcolo e un risultato complicato, nascono da problemi geometrici assolutamente semplici e molto generali... un po come si è visto o si vedrà ce succede con il significato e il calcolo del logaritmo di un numero reale positivo. SENO E COSENO IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO In linea di massima, adesso sappiamo ce cosa sono il Seno e il Coseno di un angolo e vogliamo vedere come li possiamo utilizzare. In ognuno dei disegni del paragrafo precedente troviamo un triangolo rettangolo: l'abbiamo riportato nello scizzo qui a fianco a destra. Inoltre abbiamo ruotato leggermente il tutto, visto ce la posizione del triangolo nel piano non a nessuna importanza. Con l'aiuto di questo disegno possiamo caratterizzare le due funzioni trigonometrice in maniera diversa: in un triangolo rettangolo la cui ipotenusa a lungezza, sia α uno dei due angoli acuti. Allora abbiamo ce sin α è la lungezza del cateto opposto all'angolo α, e cos α è la lungezza del cateto adiacente all'angolo α.

3 Adesso consideriamo altri triangoli rettangoli con lo stesso angolo α, ma con un'ipotenusa di lungezza non necessariamente uguale a : li abbiamo ottenuti "dilatando" o "riducendo" il nostro triangolo originale in maniera tale da mantenere gli angoli. Si dice ce il triangolo originale e quelli riportati qui a fianco a sinistra sono simili. In questi due nuovi triangoli, il cateto opposto all'angolo α (blu) si trova facendo la proporzione "cateto opposto": sinα " ipotenusa": "cateto opposto" sin α " ipotenusa" e allo stesso modo, " cateto adiacente": cosα " ipotenusa": " cateto adiacente" cos α " ipotenusa" sotto un angolo di 9.. Quanto è alta la montagna? Soluzione: "cateto opposto" Usiamo la relazione sin " ipotenusa" 9, sin9, 3. 7km 3. 7km α ed otteniamo Vogliamo illustrare come si utilizzano queste proprietà nei calcoli. Consideriamo il seguente problema geodetico: misurare l altezza di una montagna se si conoscono la distanza diretta fra un punto di osservazione e la vetta l angolo dal punto di osservazione alla vetta Nello scizzo raffigurato a fianco, la distanza del punto di osservazione alla vetta è di3.7 km, e la vetta appare dal punto di osservazione sin 0, km, km Naturalmente abbiamo utilizzato la calcolatrice per trovare sin 9, 0, , ma abbiamo ottenuto con una ottima precisione l altezza della montagna: 35mt sul livello del mare. Questo è il metodo più antico per misurare l altezza delle montagne: si sa, infatti, ce per problemi di prospettiva alcuni monti, visti da determinati punti di osservazione, appaiono più alti di altri ance se non è così nella realtà; non si può negare, tuttavia, ce la cosa più complicata del problema così posto è quella di conoscere la distanza diretta fra un punto di osservazione e la vetta! Si tratta, però solo di un problema di geometria e di proporzioni, quello di conoscere la distanza suddetta: basta partire da due punti di osservazione diversi e fare due conti per trovarla. [allegato ] oppure imparare un altra funzione trigonometrica ce vedremo più avanti e ce è la tangente di un angolo.

4 SENO E COSENO PER QUALSIASI ANGOLO: CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Abbiamo introdotto Seno e Coseno come lungezze dell'ombra di un bastone inclinato di lungezza, rispettivamente sotto un raggio di luce verticale (cos α) e un raggio di luce orizzontale (sin α). Lo raffiguriamo nel disegno qui a fianco, piazzando un estremo del bastone (rosso) nell'origine di un sistema di coordinate cartesiane e riportando "le ombre" (o meglio proiezioni) lungo gli assi cartesiani. L'angolo α si misura relativamente all'asse orizzontale (delle ascisse) in senso antiorario. Vediamo ce si può aumentare l' angolo α ruotando il bastone rosso come una lancetta di orologio (ma in senso antiorario). La punta della lancetta descrive un cercio (di raggio ) detto "circonferenza goniometrica". Possiamo ruotare la lancetta, cioè il raggio rosso della circonferenza goniometrica, ance oltre la linea verticale. In tal caso la posizione del raggio è descritta, come nella figura a fianco a sinistra, da un angolo ottuso. Ance in questo caso possiamo, come sopra, riportare le proiezioni sugli assi cartesiani e definire così Seno e Coseno per un angolo ottuso. L'angolo rappresentato nell'esempio a sinistra è 3 : la misura del coseno di 3 è circa di 0,656 dalla parte delle x negative quindi diremo ce cos3 0, 656, mentre il seno di 3 misura circa 0,755 dalla parte delle y positive, quindi sin 3 0, 755. Se continuiamo a ruotare il raggio rosso, possiamo rappresentare qualsiasi angolo fra 0 e 360, e in tutti questi casi il nostro procedimento ci fornirà un valore univocamente determinato per il Seno e per il Coseno indicandoci ance il loro segno. Possiamo ance continuare a ruotare il raggio, ma non otterremo niente di nuovo: un angolo di 370 non è diverso da 0, per cui ance le funzioni trigonometrice coincidono: sin 370 sin0 e cos370 cos0. Per lo stesso motivo, ruotando il raggio in senso inverso e riducendo α fino a raggiungere i numeri negativi avremo ce un angolo di 0 non è diverso da 350, e ance le relative funzioni trigonometrice coincidono. È importante definire seno e coseno per qualsiasi angolo soprattutto per scopi pratici: angoli fra 0 e 90 (acuti) e fra 90 e 80 (ottusi) sono presenti in molte applicazioni. E se il raggio rosso è orientato in basso a destra di, è molto più semplice indicare l'angolo con piuttosto ce con 359. Questa convenzione però a ance delle conseguenze teorice: per esempio la somma di due angoli è sempre un angolo. Se α e β sono due angoli (cioè descrivono due posizioni del nostro raggio), ance α + β sarà un angolo, poicé abbiamo ammesso qualsiasi valore. Basterà ricordare ce consideriamo identici gli angoli ce differiscono di 360 (o di un multiplo di 360 ). Una delle proprietà ce si ricavano dalla circonferenza goniometrica riguarda il codominio di Seno e Coseno: i valori di queste funzioni non possono mai essere minori di o maggiori di. Questo si deduce immediatamente dal fatto ce le proiezioni del nostro raggio (di lungezza ) sugli assi non possono essere più lunge del raggio stesso. Concludiamo quindi ce per qualsiasi angolo α si a sin α cos α

5 Il Teorema di Pitagora Forse vi stupirete di ritrovarlo qui. Consideriamo come all'inizio di questo capitolo un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa a lungezza. Qui a fianco abbiamo riportato una delle figure usate più sopra. Il Teorema di Pitagora ci dice ce in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati (delle lungezze) dei due cateti coincide con il quadrato (della lungezza) dell'ipotenusa. Applicandolo al triangolo qui a fianco, otteniamo per qualsiasi angolo α l'identità (sin α ) + (cosα) Questa stessa uguaglianza fondamentale per tutti i calcoli trigonometrici, si scrive di solito sin α + cos α, ma quest ultima uguaglianza non deve trarre in inganno: potrebbe sembrare, infatti sin sin α + cos cos α ce non a il minimo senso! Questa formula non è altro ce una maniera forse inizialmente poco usuale di esprimere il Teorema di Pitagora e ci fornisce una semplice relazione fra Seno e Coseno: se, ad esempio conosciamo α coseno di α : ( ) sin per un certo angolo α possiamo dedurre da esso il valore del cos α ± sin α dove il segno ± si riferisce al quadrante nel quale si trova l angolo α ; sappiamo infatti ce il coseno di α è positivo se α è nel primo o nel quarto quadrante, è negativo se α è nel secondo o nel terzo quadrante. Periodicità e (Anti-)simmetria La circonferenza goniometrica ci mostra ce Seno e Coseno sono funzioni periodice: Quando a un angolo α sommiamo 360, il raggio ritorna nella stessa posizione di α. Quindi abbiamo : sin( α ) sin α sin( α + 70 ) sin α e ancora ce cos( α ) cos α cos( α + 70 ) cosα e così via per tutti i multipli di 360, tanto ce si scriverà per generalizzare sin( α + k 360 ) sin α k Ζ cos( α + k 360 ) cos α e questo si esprime dicendo ce il periodo di entrambi le funzioni è 360. Inoltre abbiamo visto in pratica sulla circonferenza goniometrica ce sin( α) sin α cos( α) cos α per questo si dice ce il Coseno è una funzione simmetrica (cioé non cambia il suo valore se al posto di α mettiamo α) [ricordate una parabola simmetrica rispetto all asse delle y? Quando manca il coefficiente di primo grado per esempio in yx - la parabola è simmetrica rispetto all asse delle y in quanto assume lo stesso valore per x±, x± ecc.]; si dice, invece, ce il Seno è una funzione antisimmetrica, percé cambiare il segno all angolo fa cambiare il segno ance al valore del seno.

6 Identità con angoli supplementari e complementari Possiamo ance dedurre identità ce riguardano gli angoli la cui somma è pari a 90 (angoli complementari): guardando la circonferenza goniometrica, infatti, si vede bene ce il coseno dell angolo 90 + α è negativo ma misura quanto il seno dell angolo α OE AB CD cos(90 + α) sin α e ce il seno dell angolo 90 + α è positivo e misura quanto il coseno dell angolo α BE OD sin(90 + α) cosα Possiamo altresì dedurre identità ce riguardano angoli la cui somma è pari a 80 (angoli supplementari): guardando la circonferenza goniometrica, infatti, si vede bene ce il coseno dell angolo 80 + α è negativo ma misura quanto il coseno dell angolo α OE OA cos(80 + α) cosα e ce ance il seno dell angolo 80 + α è negativo ma misura quanto il seno dell angolo α DE AC sin(80 + α) sin α Possiamo, infine, dedurre identità ce riguardano angoli, la cui differenza è pari a 90 oppure 80, come si vede nelle circonferenze goniometrice a fianco: il seno e il coseno dell angolo 90 α coincidono rispettivamente con il coseno e il seno dell angolo α BC OD CD OB cos( 90 α) cos α sin( 90 α) sin α mentre il seno dell angolo 80 α coincide con il seno di α e il coseno dell angolo 80 α è negativo ma misura quanto il dell angolo α B' A BC OC OA sin( 80 α) sinα cos( 80 α) cosα

7 Teoremi di Addizione per Seno e Coseno Angoli doppi Si possono dimostrare [allegato ] con facili dimostrazioni di geometria su triangoli simili le formule ce danno il seno e il coseno della somma di due angoli: sin( α + β) sin α cosβ + cos α sinβ cos( α + β) cos α cosβ sin α sinβ Da queste si ricavano con facilità le formule del seno e del coseno del doppio di un angolo: sin( α + β) sin α cosβ + cos α sinβ sin( α) sin( α + α) sin α cos α + cosα sin α sin α cos α sin( α) sin α cos α cos( α + β) cos α cosβ sin α sinβ cos( α) cos( α + α) cosα cos α sin α sin α ( cos α) ( sin α) ( cos α) ( sin ) cos( α) α Tangente e Cotangente Definiamo altre due funzioni ce associano in modo univoco un numero ad un angolo; queste sono la Tangente e la Cotangente di un angolo α : sin α cos α tan α cot α cos α sin α Ovviamente per un dato angolo α il prodotto tan α cot α Si noti ce queste due espressioni sono reciproce e quindi strettamente legate: il loro prodotto è. A differenza di Seno e Coseno, per certi angoli Tangente e Cotangente non sono definite: si pensi, ad sin 90 esempio all angolo α 90 : la tangente di questo angolo non è definita percé tan 90 cos90 0 non esiste in quanto frazione con lo zero al denominatore; mentre la cotangente dello stesso angolo esiste cos 90 0 ed è cot 90 0 sin 90 cos0 per il motivo analogo non è definita la cotangente dell angolo α 0, percé cot 0 mentre sin 0 0 sin 0 0 la tangente dello stesso angolo esiste ed è tan 0 0 cos0 In tutti gli altri casi la calcolatrice ci fornisce dei numeri concreti ce, però, adesso non variano più fra - e +, ma possono essere grandi a piacere. Quella ce abbiamo dato non è altro ce una definizione algebrica di tangente e cotangente; partendo dalla circonferenza goniometrica possiamo, invece, rappresentare la tangente e la cotangente come raffigurato nella figura a fianco: per similitudine dei triangoli si vede ce il segmento blu corrisponde alla tangente di α, percé dalla proporzione sin α : cos α segmento blu : si capisce ce la lungezza del segmento blu corrisponde a tan α. Così pure si vede ce il segmento verde corrisponde alla cotangente di α. Nei casi estremi α 90 e α 0 rispettivamente la tangente di 90 diventa la retta x parallela all asse delle y e la cotangente di 0 la retta y parallela all esse delle x.

8 Tangente e Cotangente in un triangolo rettangolo Ance Tangente e Cotangente possono essere interpretate come rapporti fra i lati in un triangolo rettangolo: così come avevamo visto ce "cateto opposto" sin α e " ipotenusa" "cateto adiacente" cos α " ipotenusa" adesso possiamo dire ce cateto opposto sin α ipotenusa tan α tan α cos α cateto adiacente ipotenusa cos α cot α sin α cot α cateto adiacente ipotenusa cateto opposto ipotenusa cateto opposto cateto adiacente cateto adiacente cateto opposto Riprendiamo il problema geodetico visto all inizio: avevamo detto essere improponibile a causa dell impossibilità di conoscere la distanza di 3,7 km della vetta dal punto di osservazione. Se spostiamo di x mt. circa il punto di osservazione e misuriamo il nuovo angolo di osservazione di vediamo ce l altezza si può misurare a partire dalle relazioni b tan 9. e ( b + x) tan [allegato ] Tangente e coefficiente angolare. La Tangente a un ruolo molto particolare poicé esprime la relazione fra il coefficiente angolare e l'angolo di pendenza di una retta. Per determinare il coefficiente angolare di una retta, si raffigura, come nello scizzo qui a fianco, la sua scaletta (o, come si usa ance dire, il suo "triangolo di pendenza"). Il quoziente k y/ x si ciama coefficiente angolare ed a il medesimo valore in ciascun triangolo di pendenza, indipendentemente dalla sua grandezza. La definizione ci dice ce il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell'angolo di pendenza ce l'asse delle ascisse forma con la retta stessa: k tan α Se ad esempio l'angolo di pendenza di una strada misura 5,8, il coefficiente angolare è tan(5,8 ), ce è circa pari a 0.0. Sul cartello stradale ce indica la pendenza della strada troveremo scritto "0%" (ce possiamo leggere come "0 metri di dislivello per 00 metri di distanza percorsi secondo la carta stradale"). Per una retta perpendicolare non a senso parlare di coefficiente angolare, e ciò corrisponde al fatto ce tan(90 ) e tan( 90 ) non sono definite.

9 ANGOLI SPECIALI Per certi angoli i valori delle funzioni trigonometrice possono essere espressi con le operazioni di calcolo usuali, in particolare con radici quadrate. Riportiamo nella seguente tabella alcuni di questi angoli con i rispettivi valori: α sin α cos α tan α cot α : // asse x 30 / / : // asse y : // asse x 70-0 : // asse y 0 Il simbolo sta a indicare ce il valore corrispondente non è definito. La dimostrazione per gli angoli di 30, 60 e 4 in [allegato 3] RADIANTI Ci sono varie misure angolari, cioè sistemi per misurare un angolo. Il metodo ce probabilmente vi è più usuale è il sistema sessagesimale, ce si basa sulla divisione dell'angolo giro in 360 "gradi angolari". Il numero 360 per l'angolo giro è scelto per motivi storici, ma dal punto di vista matematico non é molto vantaggioso. Per molti scopi è molto più utile passare a un altro sistema: la misura in radianti. Qui la grandezza di un angolo si misura come lungezza dell'arco corrispondente su una circonferenza di raggio. Ciò è rappresentato nella figura qui a fianco: Invece di misurare l'angolo α in gradi, si usa la lungezza dell'arco azzurro come misura per la sua grandezza. L'angolo giro in radianti è dato dalla circonferenza del cercio di raggio, cioè da π. Esempi: π π π π π π π π 6 π π π π Quando un angolo è dato in radianti generalmente non si indica "l'unità di misura" (cioè non si mette un simbolo come si mette per i gradi). A volte si usa l'abbreviazione rad (ad esempio 60 corrisponde a π/3 rad, quindi circa.047 rad), ma questo non è necessario, anzi il programma Geogebra, se non si specifica ce si tratta di gradi con il relativo simbolo, calcola le funzioni trigonometrice prendendo la misura dell angolo in radianti per default. Ance nelle calcolatrici se appare deg (ce sta per degree cioè gradi in inglese) sul display il calcolo viene fatto per angoli misurati in gradi, se appare rad il calcolo viene fatto per angoli misurati in radianti. La trasformazione da gradi in radianti e viceversa è molto semplice, percé si fa come visto negli esempi di cui sopra: in generale se α è un angolo dato in gradi, il suo valore in radianti è a ( α 360 ) π, se, α a 360 π. viceversa, si a un valore in radianti, il suo valore in gradi sarà ( )

10 La misura in radianti di un angolo può essere ance individuata con un cercio di raggio arbitrario r: se, come nello scizzo qui a fianco, l'arco a lungezza s, allora l'angolo α in radianti è dato dal quoziente s/r. Per il cercio di raggio (r ) ritroviamo la nostra definizione; per cerci di raggio r la proprietà deriva dal fatto ce tutti gli "spicci di torta" con lo stesso angolo α sono simili fra loro. Differiscono soltanto per la loro grandezza, ma il rapporto fra le lungezze s/r è costante per tutte queste figure, e può essere quindi usato come misura dell'angolo. Torniamo adesso alle funzioni trigonometrice. Alcune delle formule ce abbiamo visto si riferivano alla misura in gradi e possono ora essere tradotte in radianti. La periodicità di Seno e Coseno in radianti è data dalla formula π sin( α + π) sinα + α cos α π cos( α + π) cos α + α sin α sin sin( π α) cos α sin ( π + α) sin α sin ( π α) sin α cos cos ( π α ) sin α cos ( π + α) cos α cos( π α) cos α π tan( α + π) tan α + α cot α tan tan( π α) cot α tan ( π + α) tanα tan ( π α) tanα ( α + π) cot α cot π cot + α tanα ( π α) tan α cot cot ( π + α) cot α cot ( π α) cot α Grafico delle funzioni trigonometrice Un ultima osservazione: abbiamo notato come il coseno di un angolo vari fra il valore [ quando sia cos 0 cos( kπ) ] e il valore - [ quando sia cos π cos( k + ) π], passando dal valore π π zero quando si tratta di cos cos( k + ) : si noti ce è per tutti i multipli pari di π (π, 4π, 6π ecc.) è - per tutti i multipli dispari di π (π, 3π, 5π ecc.) ed è zero per tutti i multipli dispari di π/ (π/,3π/,5π/ ecc.). quando sia sin 0 sin kπ, e Allo stesso modo si comporta il seno, partendo però dal valore zero [ ( )] π π passando poi dal valore quando sia sin sin + kπ al valore - quando sia 3 3 sin π sin π + kπ : si noti ce è 0 per tutti i multipli pari e dispari di π (π, π, 3π ecc.). I grafici

11 delle funzioni seno e coseno di un angolo saranno allora compresi fra le rette orizzontali y e y e avranno un andamento ondulatorio come si vede nella figura. Notiamo ce il valore del seno e del coseno π sono uguali per angoli di 4, di 3 ecc 4 Allo stesso modo possiamo notare ce la tangente di un angolo vale zero per l angolo di zero gradi e per tutti gli angoli multipli di π, mentre diventa sempre più grande fino a tendere all infinito ( + ) quando l angolo si avvicina al valore di π/; appena supera tale valore la tangente diventa negativa con valori infinitamente grandi ( ) ; al contrario la cotangente a un valore infinitamente grande per un angolo nullo e si avvicina a zero per un angolo del valore di π/, come si vede in figura. Si noti ce ance i grafici della tangente e π della cotangente si incontrano per angoli di 4, di 3 ecc dove il valore delle due funzioni è. 4

12 [allegato] dalle quali otteniamo ce cos9, + cos sin9, cos cos9, sin sin9, cos cos9, sin sin9, cos cos9, 3, sin sin9, 35 sin Se il primo punto di osservazione dista d dalla vetta e b dalla base del monte e il secondo punto di osservazione dista d dalla vetta e b+ dalla base del monte, si possono scrivere le relazioni seguenti: sin9, d d sin9, sin d d sin b cos9, d b cos9, sin9, b + x cos d b + x cos sin Utilizzando la tangente, invece, il calcolo diventa più facile: b tan 9, b tan9, tan ( b + x) tan + tan tan tan9, tan9, tan tan9, tan tan tan tan9, tan9, tan9, tan 35mt tan9, tan

13 [allegato ] Per trovare seno e coseno della somma di due angoli α e β occorre fare qualce considerazione di geometria: nella circonferenza goniometrica sotto tracciata si vede ce sin ( α + β) CG + GD e ( α + β) OH DH cos Si tratta, pertanto, di trovare le lungezze CG GD OH DH con qualce considerazione sui triangoli simili. Se FOA ˆ α EOB ˆ β DOˆ C ( α + β) È ance vero ce BOC ˆ DOC ˆ EOˆ B allora, poicé CL sin α, considerando il triangolino ( α + β) β α rettangolo CGL simile al triangolo rettangolo OEB abbiamo CG CL cosβ sin α cosβ Abbiamo ance ce GD LH OL sinβ ma, poicé GD cos α sinβ OL cosα si può concludere ce In conclusione: sin( α + β) CG + GD sin αcosβ + cos αsinβ Allo stesso modo si vede ce, essendo nel triangolino rettangolo CGL GL CL sinβ sin α sinβ DH GL sin αsinβ, e OL cosα OH cos αcosβ Si ottiene cos α + β OH DH cos α cos β sin α sin ( ) β Da queste due formule si deducono con facilità sia le formule della tangente e la cotangente della somma di due angoli α e β (dalla definizione stessa di tangente e cotangente) ce le formule di seno e coseno della differenza di due angoli: sin ( α + β) sin αcosβ + cosαsinβ sin( α β) sin[ α + ( β) ] sin α cos( β) + cosαsin( β) sin αcosβ cosαsinβ allo stesso modo si a cos ( α β) cos[ α + ( β) ] cos αcos( β) sin α sin( β) cosα cosβ + sin α sinβ quindi: α β sin αcosβ cos αsin cos α β cos α cosβ + sin α sin sin ( ) β ( ) β

14 [allegato bis] Per trovare seno e coseno della somma di due angoli α e β occorre iniziare da una considerazione circa la differenza di due angoli α e : Nella figura seguente abbiamo indicato l angolo AOD ˆ β di blu e l angolo AOB ˆ α di rosso e la loro differenza BOD ˆ β α di verde: se l angolo COD ˆ α come l angolo AOB ˆ α allora corrisponderanno ance BOD ˆ β α e l angolo AOC ˆ β α Per questo motivo saranno uguali i triangoli AOC e BOD e quindi le lungezze AC e BD. Poicé A ; 0 B cos α;sin α C le lungezze ( ) ( ) ( cos( β α) ;sin( β α) ) D ( cosβ;sin β) AC BD saranno ( cos ( β α) ) + ( 0 sin( β α) ) ( cos α cosβ) + ( sin α sinβ) svolgendo i quadrati si ottiene + ( cos( β α) ) cos( β α) + ( sin( β α) ) ( cos α) + ( cosβ) cos αcosβ + ( sin α) + ( sinβ) sin αsinβ Ricordando ce la somma dei quadrati di seno e coseno di uno stesso angolo fa sempre, possiamo concludere ce + ( cos( β α) ) cos( β α) + ( sin( β α) ) ( cos α) + ( cosβ) cos αcosβ + ( sin α) + ( sinβ) sin α sinβ cos( β α) cos αcosβ sin α sinβ cos ( β α) cos αcosβ + sin αsinβ Da qui [ricordando ce per ogni angolo γ si a ce cos( 90 γ) sin γ, ( + γ) sin γ sin( 90 + γ) cos γ ] possiamo scrivere: sin( β α) cos( 90 ( β α) ) sin( β α) cos( 90 β + α) cos( ( 90 + α) β) cos( 90 + α) cosβ + sin( 90 + α) sinβ sin( β α) sin α cosβ + cosα sinβ sin ( β α) cos α sinβ sin α cosβ cos 90 e Da queste due formule si deducono con facilità sia le formule della tangente e la cotangente della somma di due angoli α e β (dalla definizione stessa di tangente e cotangente) ce le formule di seno e coseno della somma di due angoli: sin ( β + α) sin( β ( α) ) sinβcos( α) cosβ sin ( α) sin ( β + α) sinβ cos α + cosβ sin α allo stesso modo si a β + α cos β α cos ( ) ( ( )) cosβ cos( α) sinβ sin ( α) cos ( β + α) cosβ cos α sinβ sin α

15 [allegato 3] Se il lato del triangolo equilatero a lungezza AC si a ce AH : poicé AH cos 60 si trova ce cos 60. Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo AHC si trova ce il cateto 3 3 CH : poicé 4 CH sin 60 si trova ce sin 60 3 Se prendiamo metà del triangolo equilatero e lo ruotiamo per maggior ciarezza, avremo ce BH sin 30 quindi sin 30 Per il teorema di Pitagora abbiamo già trovato 3 CH quindi cos 30 3 Se prendiamo un triangolo rettangolo isoscele con ipotenusa DF possiamo trovare la lungezza dei cateti col teorema di Pitagora: DE + EF DE DE da qui si deduce ce DE sin 45 cos 4