I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso.

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1 I vettor B Un segmento orentto è un segmento su cu è stto fssto un verso B d percorrenz, d verso oppure d verso. A A Il segmento orentto d verso è ndcto con l smolo. Due segment orentt che hnno l stess drezone (oss che gccono su due rette prllele), lo stesso verso e l stess lunghezz s dcono segment equpollent. Nell'nseme de segment orentt, l relzone d equpollenz è un relzone d equvlenz, perché gode delle propretà rflessv, smmetrc e trnstv. L'equpollenz pertnto determn un suddvsone d tutt segment orentt del pno n clss d equvlenz. Cscun d queste clss d equvlenz è chmt vettore e contene tutt e sol segment fr loro equpollent. Un vettore è ndcto con un letter sormontt d un frecc,, oppure con l segmento orentto che lo rppresent,. Un vettore è crtterzzto d: l modulo oss l msur dell lunghezz del segmento rspetto un'untà prefsst; l drezone, coè l drezone dell rett cu pprtene l segmento; l verso. Il vettore nullo è l vettore che h come rppresentnt segment null. Il vettore nullo vene ndcto con 0, h modulo zero e drezone e verso ndetermnt. Il vettore opposto d un vettore AB è l vettore BA, oss l vettore che h lo stesso modulo d, l stess drezone, m verso contrro. Il vettore opposto del vettore è ndcto con. A B A B SOMMA DI DUE VETTORI L somm d due vettor e s ottene con l regol del prllelogrmmo. Il suo modulo vle 2 DIFFERENZA DI DUE VETTORI L dfferenz d due vettor e s ottene eseguendo l somm del vettore con l vettore. α α α 180 α 180 α In defntv 2 PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE Sno un numero rele e un vettore, l prodotto del numero per l vettore è defnto nel seguente modo: se 0 l prodotto è l vettore che h l stess drezone e lo stesso verso d e modulo ugule. se 0 l prodotto è l vettore che h l stess drezone d, verso opposto quello d e modulo ugule. se 0 l prodotto è l vettore 0. Mtemtc 1

2 PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI Il prodotto sclre d due vettor e è l prodotto d un vettore per l componente dell ltro vettore lungo l drezone del prmo. Il prodotto sclre d due vettor è uno sclre e non un vettore. Il prodotto sclre d due vettor è: postvo se α è cuto negtvo se α è ottuso. I In smol coè: cos α Osservzone: Il prodotto sclre d due vettor ortogonl è zero (perché cos α I PRODOTTO VETTORIALE DI DUE VETTORI Il prodotto vettorle d due vettor e, che s ndc con, e s legge vettore, è un vettore vente per modulo l re del prllelogrmmo costruto su due vettor, per drezone quell perpendcolre l pno ndvduto d e e verso tle che, rspetto d esso, l vettore per sovrppors, descrvendo un ngolo mnore d 180, deve ruotre n senso ntorro. B Il modulo del prodotto vettorle è:. Osservzone: l prodotto vettorle d due vettor prllel è zero. α H REGOLA DELLA MANO DESTRA Tenendo l mno destr n modo tle che le dt pegte seguno l rotzone del vettore verso, l pollce ndc l drezone e l verso del prodotto vettorle. COMPONENTI DI UN VETTORE Le component crtesne del vettore sono le proezon del vettore lungo l sse e lungo lsse. In smol: OA cos e OA sen OA e OA Consderndo versor e (vettor untr drett come gl ss) s h: OA e OA d cu s ottene l espressone crtesn del vettore Dll fgur s h che l modulo del vettore mentre l ngolo 2 2 A O α A A rctg. SOMMA DI DUE VETTORI TRAMITE LE LORO COMPONENTI Le component del vettore somm (dfferenz) d due vettor ugul ll somm (dfferenz) delle component omonme de due vettor. e sono Dmostrzone Mtemtc 2

3 Mtemtc 3 PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI TRAMITE LE LORO COMPONENTI Il prodotto sclre d due vettor e è ugule ll somm de prodott delle component omonme de due vettor. Dmostrzone Essendo 1 e 0 s h: PRODOTTO VETTORIALE DI DUE VETTORI TRAMITE LE LORO COMPONENTI Il prodotto vettorle d due vettor e gcent sullo stesso pno α è l vettore dretto secondo l versore k ortogonle l pno α, nello stesso verso d k oppure verso opposto, secondo che l componente n tle drezone rsult postv oppure negtv e vente modulo. In smol k. Dmostrzone Essendo 0 e k k s h: k K k K k

4 Le sometre TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Un trsformzone geometrc è un funzone unvoc che ssoc ogn punto del pno un ltro punto del pno. Il punto che corrsponde nell trsformzone s ndc con e s dce corrspondente (o mmgne o trsformto) d nell. Un fgur s dce unt rspetto d un dt trsformzone se l fgur trsformt concde con quell d prtenz. Un segmento s dce unto rspetto d un dt trsformzone se l segmento trsformto concde con quello d prtenz. Un rett s dce unt rspetto d un dt trsformzone se l rett trsformt concde con quell d prtenz. Un punto s dce unto rspetto d un dt trsformzone se l punto trsformto concde con quello d prtenz. ISOMETRIE Un sometr è un trsformzone geometrc che conserv l dstnz. PROPRIETÀ DELLE ISOMETRIE TEOREMA Un sometr trsform rette n rette. Dmostrzone Dmostrre che l'mmgne d un rett è un rett equvle dmostrre che le mmgn A', B', C' d tre punt llnet A, B e C sono ncor tre punt llnet. Supponmo A, B, C ordnt come nell fgur. Rsult che: Poché un sometr conserv le dstnze, srà:,, Qund:. Tle relzone mplc che A', B', C' sono llnet. (se non fossero llnet, per l dsuguglnz trngolre, dovree rsultre che: A'B' + B'C' > A'C'). COROLLARIO Un sometr trsform semrette n semrette e segment n segment. TEOREMA Un sometr trsform un copp d rette prllele n un copp d rette prllele. IPOTESI TESI è un sometr; Dmostrzone Se e concdono, l tes è nle. Consdermo qund l cso n cu e sono prllele dstnte. Supponmo, per ssurdo, che le due rette r e s sno ncdent n P. L contrommgne d pprterree ll rett r (poché ) e ll rett s (poché ). Qund e dovreero vere n comune l punto. M cò contrddce l'potes che e sno prllele dstnte. Dunque, domo concludere che nche e sono prllele. Mtemtc 4

5 TEOREMA Un'sometr trsform un copp d rette ncdent n un copp d rette ncdent e l punto d'ntersezone dell prm copp d rette h come mmgne nell'sometr l punto d'ntersezone delle rette corrspondent nell'sometr. IPOTESI TESI è un sometr; Dmostrzone Sccome Sccome Pertnto e hnno n comune lmeno l punto. Se per ssurdo, e vessero n comune un ltro punto, questo sree mmgne d un punto d ntersezone d e. Le rette e, vendo n comune due punt dstnt, e, concdereero. M cò contrddce l'potes che e sno ncdent. S conclude che:. TEOREMA Un sometr trsform un ngolo n un ngolo esso congruente. I lt e l vertce dell'ngolo trsformto sono le mmgn de lt e del vertce dell'ngolo orgnro. IPOTESI TESI Dmostrzone è un sometr; Pres due punt e su lt e dell'ngolo, e sono loro corrspondent nell'sometr. Per l teorem precedente s h: 0 0. Poché le sometre conservno le dstnze, trngol e hnno tre lt ordntmente congruent, qund sono congruent per l terzo crtero d congruenz. In prtcolre hnno gl ngol. COROLLARIO Un sometr trsform rette perpendcolr n rette perpendcolr. Mtemtc 5

6 Smmetre ssl SIMMETRICO DI UN PUNTO RISPETTO AD UNA RETTA Il smmetrco d un punto rspetto d un rett r è l punto: stesso t.c.l sse d s l rett SIMMETRIA ASSIALE L smmetr ssle rspetto un dt rett r è l trsformzone che ssoc ogn punto del pno l punto, smmetrco d rspetto. L rett s chm sse d smmetr. Se un fgur è unvocmente determnt d un certo numero d punt (un segmento è ndvduto d due punt estrem; un trngolo è ndvduto d suo tre vertc), per determnre l su corrspondente nell smmetr rspetto un rett è suffcente determnre smmetrc d quest punt. Per determnre l rett smmetrc d rspetto, st sceglere due punt e sull rett e determnrne punt smmetrc. L smmetr ssle è un trsformzone nvolutor. (l'nvers d un smmetr ssle è l trsformzone stess). TEOREMA Ogn smmetr ssle è un sometr. IPOTESI AB è un segmento del pno; r è un rett; A B smmetrco d AB rspetto ll rett r TESI A B AB Dmostrzone I cs che s possono presentre sono quttro: I II III IV e gccono nello stesso sempno d orgne e gccono n sempn oppost rspetto ll orgne Mtemtc 6

7 Dmostrmo soltnto l III cso. Le dmostrzon degl ltr cs s effettuno con lo stesso procedmento. Indct con e, rspettvmente, punt d'ntersezone d e con l rett. I due trngol rettngol e sono congruent per l I crtero d congruenz de trngol rettngol. Inftt: HK è n comune perché e sono punt smmetrc rspetto ll rett Avendo dmostrto che. I trngol e sono congruent per l I crtero d congruenz de trngol. Inftt: per l dmostrzone precedente perché e sono punt smmetrc rspetto ll rett perché complementr degl ngol congruent e. In defntv s conclude che:. PROPRIETÀ INVARIANTI DI UNA SIMMETRIA ASSIALE Le smmetre ssl, essendo delle sometre, conservno: l'llnemento de punt; l'ncdenz e l prllelsmo tr le rette; l lunghezz de segment; l'mpezz degl ngol. L smmetr ssle non conserv le drezon L smmetr ssle nonn conserv l' orentmento delle fgure ELEMENTI UNITI DI UNA SIMMETRIA ASSIALE Tutt e sol punt pprtenent ll'sse d smmetr sono unt. Pertnto l'sse d smmetr è un rett unt. Ogn rett perpendcolre ll'sse d smmetr è unt; ess però non è costtut d punt unt. FIGURE SIMMETRICHE Un fgur s dce smmetrc rspetto ll rett se rsult unt nell smmetr rspetto un rett. L rett s chm sse d smmetr dell fgur. Fgure con un sse d smmetr Fgure con due ss d smmetr Fgure con pù ss d smmetr Mtemtc 7

8 Smmetre centrl SIMMETRICO DI UN PUNTO RISPETTO AD UN PUNTO l punto stesso Il smmetrco d un punto rspetto d un punto è l punto t. c. l punto medo d PP s SIMMETRIA CENTRALE L smmetr centrle d centro è l trsformzone che ssoc ogn punto P del pno l suo smmetrco rspetto l centro O. Ess è ndct con. Per ndvdure l fgur trsformt n un smmetr centrlee è suffcente determnre smmetrc rspetto l punto O de punt che ndvduno l fgur. TEOREMA Ogn smmetr centrle è un sometr. IPOTESI AB è un segmento del pno è l centro dell smmetr A B smmetrco d AB rspetto d O Dmostrzone I trngol per l I crtero d congruenz. Inftt: perché e smmetrc rspetto d O perché e smmetrc rspetto d O perché ngol oppost l vertce. L congruenz A B AB. TESI A B AB PROPRIETÀ INVARIANTI DI UNA SIMMETRIA CENTRALE Le smmetre centrl, essendo delle sometre, conservno: l'llnemento de punt; l'ncdenz e l prllelsmo tr le rette; l lunghezz de segment; l'mpezz degl ngol. Le smmetre centrl conservno le drezon, ovvero un rett vene trsformt n un rett prllel Le smmetre centrl conservno l'orentmento delle fgure Mtemtc 8

9 ELEMENTI UNITI DI UNA SIMMETRIA CENTRALE L'unco punto unto dell smmetr centrle è l centro dell smmetr. Ogn rett pssnte per l centro dell smmetr è un rett unt; esse però non sono costtute d punt unt. FIGURE SIMMETRICHE Un fgur s dce smmetrc se l fgur corrspondente n un smmetr centrle è l fgur stess (l fgur rsult unt rspetto ll smmetr). Il punto O s chm centro d smmetr dell fgur. Fgure con un centro d smmetr Fgure con nfnt centr d smmetr Mtemtc 9

10 Trslzon TRASLAZIONE L trslzone d vettore è l trsformzone che ssoc ogn punto del pno l punto tle che l stess drezone, lo stesso verso e lo stesso modulo del vettore. Ess è ndct con l smolo. L trslzone d vettore nullo concde con l'denttà. L'nvers d un trslzone d vettore è l trslzone ndvdut dl vettore opposto d. TEOREMA L trslzone è un sometr. IPOTESI AB è un segmento del pno è un trslzone d vettore A B trslto d AB d un vettore Dmostrzone è un prllelogrmm. Inftt: perché hnno l stess drezone del vettore perché hnno lo stesso modulo del vettore Avendo dmostrto che è un prllelogrmm, esso h lt oppost sono congruent. In prtcolre A B AB. TESI A B AB PROPRIETÀ INVARIANTI DI UNA SIMMETRIA ASSIALE Le trslzon, essendo delle sometre, conservno: l'llnemento de punt; l'ncdenz e l prllelsmo tr le rette; l lunghezz de segment e l'mpezz degl ngol. Le trslzon conservno le drezon, ovvero un rett vene trsformt n un rett prllel Le trslzon conservno l'orentmento delle fgure ELEMENTI UNITI DI UNA TASLAZIONE L trslzone, d eccezone dell denttà, non h punt unt. Tutte le rette del pno che hnno l stess drezone del vettore sono rette unte. Nessun punto d queste rette è unto nell trslzone. Mtemtc 10

11 Rotzon ANGOLO ORIENTATO Un ngolo orentto è un ngolo n cu è stto stlto qule de due lt è consderto come prmo lto. A second del lto scelto l'ngolo rsult orentto n senso orro o ntorro. ROTAZIONE L rotzone d centro e ngolo d rotzone è l trsformzone che ssoc ogn punto l punto tle che: l'ngolo, orentto n modo che s l prmo lto, h l stess mpezz e lo stesso orentmento d. CASI PARTICOLARI Un rotzone d ngolo d rotzone nullo concde con l trsformzone dentc. Un rotzone d 180 o d 180 concde con un smmetr vente centro nel centro dell rotzone. TEOREMA Ogn rotzone è un sometr. IPOTESI AB è un segmento del pno, è un rotzone d centro O e ngolo A B trsformto d AB nell rotzone, TESI A B AB Dmostrzone S hnno 4 cs. Dmostrmo l II cso. Le dmostrzon degl ltr cs s effettuno con lo stesso procedmento. I trngol AOB A OB per l I crtero d congruenz. Inftt: e perché, è un rotzone perché dfferenze d ngol congruent. Avendo dmostrto che A B AB. PROPRIETÀ INVARIANTI DELLE ROTAZIONI Le rotzon, essendo sometre, conservno le lunghezze de segment, le mpezze degl ngol, l'llnemento de punt, l prllelsmo e l'ncdenz tr le rette. Conservno, noltre, l'orentmento delle fgure. Le rotzon non conservno nvece le drezon. ELEMENTI UNITI DELLE ROTAZIONI L'unco punto unto d un rotzone è l centro d rotzone. Nessun rett è unt rspetto un rotzone, d eccezone dell'denttà e dell smmetr centrle. Mtemtc 11

12 Isometre nel pno crtesno In questo cptolo studmo lcune sometre nel pno crtesno. Nello specfco, determnmo le equzon delle trsformzon: quelle formule che consentono d pssre dlle coordnte, d un punto lle coordnte ; del suo punto corrspondente. SIMMETRIE ASSIALI Smmetr rspetto ll sse Smmetr rspetto ll sse ' ' ' ' Smmetr rspetto ll settrcee Smmetr rspetto ll settrce '= '= '= '= Smmetr rspetto ll rett q Smmetr rspetto ll rett p ' ' 2 q ' 2p ' Mtemtc 12

13 SIMMETRIE CENTRALI Smmetr rspetto ll orgne O( 0 ; 0) Smmetr rspetto l punto C (p;q) ' ' ' 2p ' 2q TRASLAZIONI In un pno crtesno ortogonle, è possle ssegnre un vettore mednte un copp ordnt d numer rel,, dett component del vettore. Il vettore d component e è l vettore rppresentto dl segmento orentto, dove ;. Dto un punto ;, le coordnte del punto ;, corrspondente d nell trslzone d vettore ; sono: ESEMPIO Dto l trngolo d vertc 4; 5, 1; 7, 3; 3, determn le coordnte de vertc del suo corrspondente nell trslzone d vettore 5; 2. Soluzone Applcndo le equzon dell trslzone s ottene: : ; : ; : 352 ; 321 Mtemtc 13

14 NOTA Nell dmostrzone d un teorem, n genere, convene rcorrere lle sometre qundo un fgur present un centro o un sse d smmetr. In quest cs, le propretà d conservzone delle sometre permettono spesso d snellre le dmostrzon. Mtemtc 14

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