Il Modello di Solow (1956)

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1 Il Modello di Solow (1956) Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London) Università degli Studi della Calabria Modelli Macroeconomici a.a Iniziamo a studiare il modello di Solow (1956) il quale rappresenta il benchmark di riferimento di tutta la teoria neo-classica della crescita economica. Il modello è anche noto come modello di Solow-Swan poiché sviluppato simultaneamente (ma separatamente) dai due autori. Come vedremo il modello di Solow spiega il processo di accumulazione di capitale all interno di una determinata economia. Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; giurose@unical.it; Homepage: Tel

2 1 Setup generale 1.1 La Funzione di Produzione Aggregata Si consideri un economia caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: Y t = F (K t ; A t L t ) (1) dove t indica il tempo,y indica la produzione (output), F (:) indica una generica funzione implicita, K indica il capitale, A indica la tecnologia ed L indica il lavoro. Si noti che tale funzione di produzione è detta "funzione di produzione con tecnologia neutrale nel senso di Harrod". Infatti la tecnologia non è complementare al capitale o ad entrambi i fattori, ma essa è complementare solo al fattore lavoro. Il termine importante è quindi A t L t poiché esso indica che ogni miglioramento della tecnologia (A ") rende il lavoro più produttivo. Solitamente A L sono de nite "unità e ettive di lavoro". Si suppongano soddisfatte le seguenti ipotesi: 1. La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti. Questa ipotesi implica che se si raddoppiano entrambi i fattori di produzione si ottiene il doppio della produzione. Di conseguenza se prendiamo 2

3 l equazione (1) e dividiamo entrambi i lati per A t L t otteniamo: Y t K t = F ( ; 1) (2) A t L t A t L t Tale espressione può essere scritta in forma intensiva nel modo seguente: y t = f(k t ) (3) dove y t = Yt A tl t rappresenta l output per unità e ettive di lavoro e k t = Kt A tl t rappresenta il capitale per unità e ettive di lavoro. 2. Ogni fattore produttivo ha rendimenti decrescenti. > 2 K < > 2 L < 0: Nella forma intensiva queste ipotesi = f 0 (k) > 2 k = f 00 (k) < 0: 3

4 Date queste ipotesi possiamo disegnare la funzione di produzione in forma intensiva f(k t ) come illustrato nella Figura Ipotesi generali 1. L economia è chiusa. 2. Il tasso di risparmio di questa economia è esogeno ed è indicato con la lettera s: In generale, si consideri una generica variabile x t : Durante tutto il nostro corso, indicheremo con il simbolo _x la derivata della variabile x rispetto al tempo, ovvero _x : Più semplicemente, poiché la variabile x è del tempo t, la derivata rispetto al tempo ( _x) ci indica come varia la variabile x da un istante all altro. In generale, se dividiamo _x per il suo valore iniziale x t otteniamo il tasso di crescita della variabile x : Tasso di crescita = _x x : (4) Alla luce di questa premessa, consideriamo il fattore lavoro L t : Se assumiamo che la popolazione lavorativa cresce da un anno all altro ad un tasso costante 4

5 Figure 1: La funzione di produzione in forma intensiva. 5

6 (esogeno) n, noi sappiamo che: Tasso di crescita della popolazione = n = _ L L : (5) Consideriamo adesso la tecnologia A t. Se assumiamo la tecnologia progredisca ad un tasso costante (esogeno) g, possiamo scrivere: Tasso di progresso tecnologico = g = _ A A : (6) Consideriamo adesso l evoluzione del capitale K t da un istante all altro del tempo ovvero K _ t : 1 Si noti che il modello ha come obiettivo proprio quello di spiegare il processo di accumulazione del capitale per cui questo non è esogeno, bensì endogeno ovvero deve essere spiegato dal modello e non imposto a priori. In generale, l evoluzione del capitale nel tempo è data da: _K t = I t K t (7) 1 In questo caso la derivata prima rispetto al tempo è indicizzata con il pedice t. Se il pedice non ci fosse questo implicherebbe che la variazione della variabile considerata è costante e quindi la derivata prima non è funzione del tempo (come per L ed A). In questo caso, invece, poichè noi non sappiamo se la derivata prima del capitale è costante nel tempo (la dobbiamo determinare nel modello) dobbiamo mantenere il pedice t: 6

7 dove I t indicano gli investimenti fatti al tempo t (quindi indicano quanto capitale si crea al tempo t): Il termine indica il tasso di deterioramento del capitale, quindi il termine K t indica quanto capitale (esistente) diventa inutilizzabile. 2 Soluzione del Modello Poiché l investimento è dato dalla parte del reddito Y t che viene risparmiata e non è stata consumata (si ricorda che in una economia chiusa il risparmio è pari all investimento) possiamo scrivere l equazione (7) nel modo seguente: _K t = sy t K t (8) ovvero _K t = sf (K t ; A t L t ) K t : (9) A questo punto si noti quanto segue. L equazione sopradescritta è un equazione di erenziale poiché essa mette in relazione la variazione di una variabile ( _ K t ) con il livello della variabile stessa (K t ). Per studiare questa relazione - e quindi capire cosa accade al processo di accumulazione del capitale con il 7

8 passare del tempo - è conveniente dividere entrambi i lati dell eq. (9) per le unità e ettive di lavoro. Così facendo, sfruttando le proprietà della funzione F (:) che abbiamo descritto in precedenza otteniamo: _K t A t L t = sf(k t ) k t : (10) _K E importantissimo notare che, sfortunatamente, t A tl t 6= k _ t : Infatti kt _ = K t A tl t. A parole, il lato sinistro della relazione (10) fa la derivata del capitale rispetto al tempo e poi la divide per le unità e ettive di lavoro. Questa operazione è diversa da quella indicata con il termine _ k t poichè questa ci dice "prendi il capitale per unità e ettive di lavoro e fai la derivata rispetto al tempo" ovvero deriva rispetto al tempo l intera espressione k t = Kt A tl t : Al ne di avere nell eq. (10) soltanto termini che siano espressi come k dobbiamo quindi fare degli ulteriori passaggi. Consideriamo l espressione k t = Kt A tl t e facciamo la derivata rispetto al tempo (così facendo otteniamo _ k t ). La derivata è data da: _k t = _ K t (A t L t ) K t ( _ AL t + _ LA t ) (A t L t ) 2 (11) 8

9 ovvero: _k t = _K t (A t L t ) K t (A t L t ) AL _ t + LA _! t A t L t (12) ovvero: _k t = _K t (A t L t ) k t A_ + _! L A t L t (13) ovvero: _k t = _K t (A t L t ) k t (g + n) : (14) Così facendo abbiamo ottenuto un espressione per che possiamo sostituire nella relazione (10), infatti: _K t (A tl t) _K t (A t L t ) = _ k t + k t (g + n) : (15) Sostituendo l eq. (15) nell eq. (10) otteniamo: _k t + k t (g + n) = sf(k t ) k t (16) ovvero: _k t = sf(k t ) ( + g + n)k t : (17) L espressione che abbiamo ottenuto è l equazione cruciale di tutto il modello 9

10 di Solow. Essa è sempre un equazione di erenziale (questa volta espressa in k). _ Per risolvere questa equazione di erenziale dobbiamo domandarci se esiste uno stato stazionario ovvero se esiste un qualche istante di tempo in cui k _ t = 0: Se troviamo lo stato stazionario abbiamo trovato una situazione in cui il capitale per unità e ettive di lavoro non si modi ca nel tempo. Lo stato stazionario si ha nel momento in cui è veri cata la seguente condizione: _k t = 0 (18) ovvero: sf(k t ) = ( + g + n)k t : (19) La situazione può essere descritta nel seguente modo. Il lato sinistro della precedente equazione è detto investimento richiesto o investimento necessario. Esso ci dice che il capitale per unità e ettive di lavoro si riduce sempre col passare del tempo per tre ragioni che sono tutte incluse nel lato destro dell eq. (19). La prima è che lo stock do capitale K si deprezza ad un tasso per cui il capitale per unità e ettive di lavoro k = K AL diventa sempre più piccolo inquanto si riduce il numeratore. La seconda e la terza ragione risiedono nel fatto che le unità e ettive di lavoro crescono sempre (per ipotesi) a causa 10

11 Figure 2: Lo stato stazionario 11

12 del progresso tecnologico (g) e della crescita della popolazione (n) e quindi cresce il denominatore. Quindi il capitale per unità e ettive di lavoro si riduce sempre con il passare del tempo e convergerebbe a zero. Di conseguenza, uno stato stazionario può esistere solo se viene creato nuovo capitale, creato attraverso gli investimenti (sf(k t )) che nell eq. (19) rappresentano l investimento e ettivo, e solo se l investimento e ettivo è creato in misura tale da compensare la riduzione del capitale ovvero l investimento necessario. Quando questo si veri ca siamo esattamente nella situazione descritta dall eq. (19) e questo è uno stato stazionario. Gra camente, la situazione è descritta nella Figura 2. In questa gura è facile vedere come lo stato stazionario sarà sempre raggiunto indipendentemente dal livello di capitale k da cui si parte. Infatti se k < k noi avremo che l investimento e ettivo (sf(k)) supera l investimento richiesto a nchè il capitale rimanga costante (( + n + g)k) e questo implica che il livello di capitale che si accumula cresce e si avvicina a k : Poiche il capitale ha (per ipotesi) rendimenti decrescenti, il fatto che si continui ad accumulare capitale genera aumenti sempre più piccoli della produzione e quindi, a parità di tasso di risparmio, genera investimenti sempre più piccoli. In k l investimento e ettivo non è più in grado di spingere oltre il processo di occumulazione 12

13 del capitale poichè esso ha raggiunto una dimensione tale da far si che il suo deprezzamento compensa esattamente il nuovo capitale creato. Appare chiaro che se fossimo in un punto con k > k avremmo che l investimento richiesto supera l investimento e ettivo, per cui il livello di capitale disponibile nell economia si riduce no ad arrivare ad un livello pari a k : 3 Considerazioni 1: La Crescita Esogena Nello stato stazionario k si genera un così detto balanced growth path ovvero un processo di crescita bilanciato in cui tutte le variabili crescono sempre ad un tasso costante. In questo punto la nostra variabile endogena e cioè il capitale K cresce ad un tasso costante che è pari al tasso a cui crescono le unità e ettive di lavoro ovvero (n + g). Infatti poichè k t = Kt A tl t che: noi abbiamo K t = k t A t L t : (20) Prendendo i logaritmi di entrambi i lati della precedente espressione otteniamo: log K t = log k t + log A t + log L t (21) 13

14 Facendo la derivata rispetto al tempo di entrambi i lati otteniamo che: 1 K t _K t = 1 k t _ kt + 1 A t _ A + 1 L t _ L: (22) Poichè nello stato stazionario _ k t = 0; noi avremo che il tasso di crescita del capitale ( _ K t K t ) è dato da: _K t K t = g + n (23) Nello stato stazionario K cresce ad un tasso costante dato dalla somma dei tassi di crescita di L e A. Poichè abbiamo supposto che la funzione di produzione F (:) è caratterizzata da rendimenti di scala costanti, in virtù del fatto che tutti i fattori produttivi (K ed A L) crescono con il passare del tempo ad un tasso (n + g) noi avremo che l output Y nello stato stazionario cresce sempre e cresce ad un tasso che è proprio (n + g). Ne consegue che l output per lavoratore ovvero il Pil pro-capite di una economia cresce sempre ad un tasso costante che è pari a g ovvero è determinato dal tasso di progresso tecnologico. Infatti per sapere a quale tasso cresce il rapporto Y =L ovvero il pil pro-capite non dobbiamo far altro che prendere i logaritmi del rapporto e dericare rispetto al tempo. Il risoltato sara che il tasso di crescita del Pilprocapite è dato dal tasso di crescita del Pil (che è n + g) meno il tasso di 14

15 crescita della popolazione (che è n) per cui: Y Tasso di crescita del Pil procapite = = g (24) L Questo risultato ci dice che se un economia vuole migliorare il tasso di crescita del pil procapite deve far crescere il tasso di crescita della tecnologia ovvero deve accellerare il suo progresso tecnologico. Si noti come questo risultato, pur molto interessante, rappresenta il punto debole di tutto il modello poichè dal modello non si capisce come fare ad anmentare g: Nel modello di Solow g non è spiegato ma è esogeno (il modello è anche detto modello con con crescita esogena) per cui non ricaviamo informazioni su quello che si può fare per aumentare il livello di crescita del pil procapite in stato stazionario. 4 Considerazioni 2: Il Ruolo del Tasso di Risparmio Nella Figura 2 è facile notare che il livello di output per unità e ettiva di lavoro (y t ) che verrà prodotto nello stato stazionario dipende dal tasso di risparmio s: Esso, infatti, determina la posizione nello spazio della curva sf(k t ) e quindi determina lo stato stazionario k : Cosa accade ad una economia se cresce il tasso di risparmio e quindi il livello degli investimenti? E 15

16 possibile che risparmiando di più si generino maggiori investimenti e quindi una maggiore produzione e, alla ne, un maggiore tasso di crescita del Pilpro-capite? Vediamo. Nella Figura 3 si illustra l e etto di un aumento del tasso di risparmio che passa da s ad s 0. Come si vede, quello che si modi ca è il livello di output per unità e ettive di lavoro (y 0 ) che si avrà nel nuovo stato stazionario. Allo stesso tempo però si vede che nel nuovo stato stazionario nulla può essere cambiato in termini di tasso di crescita di y. Infatti si tratta di un nuovo stato stazionario che avrà le stesse caratteristiche del precedente in termini di tassi di crescita delle variabili y; k ed Y=L: Ne consegue che un aumento del tasso di risparmio non può in uenzare il tasso di crescita di un economia nel suo stato stazionario, ma ha solo un e etto sui livelli delle nostre variabili. Quello che è interessante notare è l e etto dell aumento di s nel passaggio da k a k : In questa fase infatti, come si vede dalla Figura 3, l investimento e ettivo supera l investimento necessario quindi k cresce più di quanto si deprezza, cioè k _ > 0: Se ritorniamo un attimo a guardare la nostra eq. (22) vediamo che questo risultato implica che il capitale avrà un tasso di crescita più grande di quello che è il suo valore nello stato stazionario, infatti sarà dato da (n + g + k=k). _ Se il capitale cresce ad un tasso maggiore, allora anche 16

17 Figure 3: E etti di un aumento di s sullo stato stazionario. 17

18 la produzione Y t crescerà ad un tasso maggiore del suo tasso precedente che era (n + g). Ne consegue che il Pil-pro-capite non crescerà più ad un tasso pari a g ma crescerà ad un tasso maggiore (pari a g+qualcosa). Il risultato implica che un aumento permanente del tasso di risparmio genera una maggiore crescita del pil-pro-capite solo nel breve periodo ovvero genera un aumento temporaneo della crescita economica. In generale gli e etti di un aumento del tasso di risparmio sono illustrati gra camente nella Figura 4. Tutti i singoli gra ci rappresentano situazioni già descritte, fatto salvo per l ultimo gra co che illustra gli e etti di un aumento del tasso di risparmio sul consumo. Infatti noi sappiamo che se in un istante di tempo aumenta il livello di risparmio di una economia, il consumo si riduce. Ma, poichè col passare del tempo si converge ad uno stato stazionario con maggiore output, cosa accadrà al consumo nel lungo periodo? In particolare dobbiamo capire se esso supera il suo livello iniziale - in virtù della crescita dell output - oppure se rimane al di sotto del suo livello iniziale a causa dell aumento del risparmio. Per capire bene cosa accade al consumo dobbiamo analizzare il concetto di golden rule. La golden rule è de nita come il livello di risparmio che ci porta ad uno stato stazionario nel quale il consumo di una economia è 18

19 massimo. Infatti se per un attimo si suppone di risparmiare tutto l output che si crea (s = 1) è vero che si massimizza il livello di output per unità e ettiva di lavoro, però è pur vero che in questa economia i lavoratori non stanno consumando un bel niente e producono solo con lo scopo di produrre sempre di più! Se si risparmiasse un po di meno si avrebbe meno output, ma la soddisfazione degli individui sarebbe maggiore poichè in questo caso il consumo aumenterebbe. Allo stesso tempo, però, se si risparmia troppo poco e si consuma tanto si genera poco investimento e quindi poco output per cui si rischia di avere comunque una situazione non ottimale nel senso che se gli individui risparmiassero un po di più si avrebbe un maggiore output e quindi un livello complessivo di consumo maggiore del precedente. In termini matematici dobbiamo quindi trovare il tasso di risparmio che porta l economia ad un livello di stato stazionario nel quale il consumo è massimo. Nello stato stazionario il consumo è dato da: c = (1 s)f(k ) (25) ovvero: c = f(k ) sf(k ) (26) 19

20 Figure 4: E etti di un aumento del tasso di risparmio: riassumto gra co. 20

21 Figure 5: La golden rule 21

22 poichè nello stato stazionario sf(k t ) = ( + g + n)k t avremo che: c = f(k ) ( + g + n)k t : (27) facendo la derivata rispetto a k e ponendola pari a zero troviamo il livello di stato stazionario che massimizza il consumo ovvero il livello k nel quale si veri ca la seguente uguaglianza: f 0 (k ) = + g + n: (28) Essendo la derivata prima della funzione di produzione la tangente alla funzione stessa, ed essendo + g + n la pendenza della retta dell investimento necessario, dalla Figura 5 si può vedere che esiste un unico stato stazionario che massimizza il consumo. Questo stato stazionario è detto golden rule steady state, ovvero stato stazionario che massimizza il consumo. A questo punto possiamo ritornare alla nostra Figura 4 e dire che gli aumenti del tasso di risparmio mi portano nel lungo periodo ad aumenti del consumo se lo stato stazionario nale è identi cato in un k (k golden rule). Diversamente, se il livello di stato stazionario iniziale eccede il livello di stato stazionario di golden rule (k (k golden rule)) aumenti del tasso di risparmio mi 22

23 portano sicuramente a riduzioni del consumo nel lungo periodo. In generale, per capire cosa accade al consumo se il tasso di risparmio aumenta devo conoscere 1) lo stato stazionario iniziale; 2) lo stato stazionario nale; 3) la stato stazionario di golden rule. 5 Considerazioni 3: La Convergenza Come abbiamo discusso in precedenza, il modello di Solow non ci aiuta a capire come fare per aumentare il tasso di crescita del Pil-pro-capite nel lungo periodo. Pur avendo questo elemento di debolezza, il modello di Solow è in realtà un modello molto importante poiché pur essendo un modello relativamente semplice ha la capacità di spiegare alcuni fatti stilizzati molto importanti. Il primo fatto stilizzato riguarda la così detta convergence ovvero il fatto che se la tecnologia è perfettamente trasferibe e ci sono simili tassi di crescita della popolazione, i diversi Paesi e le diverse economie tendono a raggiungere lo stesso livello di crescita economica. Se infatti prendiamo la nostra equazione di erenziale (17) questa ci dice che: _k t = sf(k t ) ( + g + n)k t 23

24 dividendo tutto per k t otteniamo un espressione per il tasso di crescita del capitale per unità e ettiva di lavoro che indichiamo con la lettera : = _ k t k t = sf(k t) k t ( + g + n) (29) Nella Figura 6 possiamo rappresentare in funzione di k le due curve sf(kt) k t e ( + g + n) la cui di erenza mi da : La prima curva è decrescente poiché al crescere di k il numeratore diventa più grande ma sempre di un ammontare più piccolo (rendimenti decrescenti del capitale) mentre il denominatore cresce sempre allo stesso tasso. La seconda funzione è una costante poichè non dipende da k: Dalla gura è facile notare come i paesi che sono lontani dal loro stato stazionario k avranno un tasso di crescita del capitale per unità e ettive di lavoro ((P )) più grande dei paesi che sono vicini al loro stato stazionario ((R)). Questo implica che prima o poi i paesi più avanzati saranno raggiunti in termini di accumulazione di capitale e tutti convergeranno ad uno stesso tasso di accumulazione di capitale per unità e ettive di lavoro il cui tasso di crescita sarà pari a zero (si ricorda che nello stato stazionario è pari a zero ma le variabili crescono tutte ad un tasso costante). 24

25 Figure 6: La convergence 25

26 Il secondo fatto stilizzato riguarda la cosi detta conditional convergence: Infatti nella realtà molti paesi possono avere diversi livelli di n, g, e ; ed in aggiunta possono avere diversi tassi di risparmio. Come illustrato nella Figura 7, nel caso di Paesi caratterizzati da diversi tassi di risparmio con s(r) > s(p ) (o alternativamente pensate a due paesi con lo stesso tasso di risparmio ma con un paese più ricco che, avendo migliori strutture nanziarie, attrae i risparmi del paesi più povero) la convergenza avverrà verso due stati stazionari diversi (k (R) e k (P ) con k (R) > k (P )), per cui un Paese con maggiore accumulazione di capitale può continuare ad avere un tasso di accumulazione del capitale (R) pari a quello di un Paese che si trova molto più indietro in termini di accumulazione di capitale ((P )). Ovviamente si possono avere casi in cui le di erenze tra i paesi si ampliano poichè oltre a diversi tassi di risparmio ci possono essere diversi tassi di progresso tecnologico (provate a fare il gra co). La presenza di conditional convergence sembra caratterizzare e ettivamente i processi economici dei diversi Paesi ed essa è pienamente spiegata dal modello di Solow. 26

27 Figure 7: La conditional convergence 27