2 3 N TRACCIAMENTO GRAFICO DEI DOMINI DI ROTTURA DI SEZIONI IN CEMENTO ARMATO

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1 TRACCIAMENTO GRAFICO DEI DOMINI DI ROTTURA DI SEZIONI IN CEMENTO ARMATO MAURO FABBIANI, roessionista in Vicenza GIANLUCA PANTO, della Beton Piave di Nervesa della Battaglia M N Sommario Il metodo di calcolo agli stati limite, oltre a revedere il ossibile tio di collasso di una sezione, ermette di modellarla con un migliore imiego dei materiali che la comongono ( acciaio e calcestruzzo) e di avere, risetto al metodo delle tensioni ammissibili, una migliore conoscenza dei limiti di unzionamento della stessa. Viene qui descritto un nuovo algoritmo er il disegno dei domini di rottura, sia iani che saziali di una qualsiasi sezione di trave in c.a. o c.a.. ed esosti alcuni dei risultati ottenuti. Summary It is described an automatic comuter rocedure or design o normal ad restressed concrete sections under biaxial actions eects at the ultimate limit state and or grahical raresentation o interaction satial suraces. The comutational method is based uon a new exact and close ormulation or inding integration o arabolic-rectangular stress distribution in the comressive concrete zone, instead o using usual Gauss or other arossimation integral rocedure. This ermits a good quality o results, otherwise the rogram is easy ad quickly to use. 1. Introduzione La veriica di resistenza di una sezione sollecitata da una condizione di carico è soddisatta se il raorto ra la sollecitazione massima soortabile cade all interno del dominio di sicurezza determinato attraverso le conoscenze del comortamento meccanico della sezione, delle caratteristiche dei materiali di cui è comosta ed in base ai coe. di sicurezza orniti dalla normativa seguita. Fig. 1 - Dominio di rottura er sollecitazioni rette Recentemente, l estensione in Italia della normativa degli Eurocodici, riroone come nuovamente attuale il calcolo della ressolessione allo stato limite, rocedimento che risetto al metodo delle tensioni ammissibili consente di avere una migliore coscienza dei limiti strutturali della sezione studiata. Inatti le condizioni di carico 1, 2 e 3, riortate nella igura recedente, ermettono di evidenziare che il collasso della trave uò giungere, a seconda dei casi, amliicando una sola o tutte le comonenti del carico con un comortamento ed un avvicinarsi alla suericie limite che uo dierenziarsi molto a seconda della situazione resente. Questo suggerisce che er ogni sollecitazione si devono are iù veriiche, se si ensa che oi le orze agenti sulle travi ossono anche essere saziali e che ogni trave è soggetta a iù condizioni di carico e che ogni costruzione ossa contenente iù travi si uò solo immaginare a quante veriiche dovrebbero essere eseguite er uno studio accurato. L'idea è quella di evitare di are la veriica singola er ogni sollecitazione, ma calcolare l'intero dominio saziale della sezione iana della trave ed una volta noto questo controllare se i vari unti che raresentano le singole sollecittazioni sono contenute all'interno del dominio. La ossibilità di eseguire le veriiche graicamente ermette di are anche delle considerazioni di ordine rogettuale. La convinzione che questo metodo di rocedere sia conveniente ha osto erò il roblema del rocedimento di calcolo er il disegno dei domini. In letteratura vengono resentati vari metodi di calcolo semliicati da imlementare su comuter er risolvere il roblema. Risetto ai recedenti si è voluto sviluare un nuovo algoritmo er un calcolo iù esatto e veloce del roblema, che osse in grado di sruttare in ieno le ossibilità degli elaboratori oggi disonibili, iu veloci e otenti, ed in grado di abbandonare le arossimazioni di calcolo a cui ino ora si era costretti, anche er necessità di semliicazione del calcolo.

2 c Diagramma idealizzato 2. Iotesi di calcolo La rottura della sezione avviene quando uno o entrambi i materiali raggiungono il valore massimo di deormazione ultima. In corrisondenza delle ossibili combinazioni, si veriicano tre meccanismi di rottura: er cedimento dell'acciaio teso, del conglomerato comresso e di entrambi contemoraneamente. La resistenza ultima di una sezione trasversale uò essere calcolata con l'algoritmo imlementato nel rogramma, oste le seguenti iotesi: 1. le sezioni si conservano iane: ciò signiica che le deormazioni sono roorzionali alla risettiva distanza dall'asse neutro, ossia il diagramma delle deormazioni è lineare. Tale iotesi è valida er strutture slanciate, cioè con raorto maggiore di 2 ra la distanza dei unti di momento nullo e l'altezza della trave; ciò comorta che il metodo non si ossa alicare a strutture "tozze" come travi arete, mensole corte e linti; 2. eretta aderenza ra l'acciaio e il calcestruzzo circostante ossia, a arità di distanza dall'asse neutro, sono uguali i risettivi allungamenti unitari ec = ea; 3. è trascurata la resistenza a trazione del calcestruzzo; 4. la conigurazione deormata della sezione è raresentata da una retta che, a seconda dei casi, assa er uno dei tre unti A, B e C indicati in igura seguente; F c A a 1 % x Fig. 2 - Cami limite di deormazione 4' D 2 % B 3, % c E C 3 7 h. i diagrammi tensioni-deormazioni del calcestruzzo e dell'acciaio sono quelli orniti della Normativa Italiana e dall'eurocodice 2. Per il calcestruzzo la distribuzione reeribile delle tensioni er il rogetto della sezione trasversale è quella descritta da un diagramma arabola-rettangolo raresentato in igura 3. I simboli con edice k stanno ad indicare i valori caratteristici dei materiali, mentre con il edice d i simboli indicano che il valore di resistenza è quello di calcolo. La resistenza di calcolo cd è ottenuta dividendo la resistenza caratteristica ck con il coeiciente di sicurezza del materiale. c h ck cd Diagramma di calcolo Fig.3 - Legge costitutiva del calcestruzzo cd = ck c La relazione delle tensioni-deormazioni, utilizzata er l'acciaio da cemento armato normale, uò essere deinita da un diagramma bilineare come in igura seguente. s yk yd arctg E s yd E s Diagramma idealizzato Fig. 4 - Legge costitutiva dell'acciaio Diagramma di calcolo.1 s c yd = yk s La curva delle tensioni-deormazioni è valida anche er le tensioni di comressione. La relazione delle tensioni-deormazioni, utilizzata er l'acciaio da cemento armato recomresso dalla normativa italiana, uò essere deinita da un diagramma comosto da un tratto lineare iù un tratto curvilineo, come in igura.

3 ,7 Diagramma idealizzato d(,2) k(,2) d(,2) Diagramma di calcolo k(,2) = s y e1(u) e2(u) b(u) x X u c c arctg E.2.1 Fig. - Legge costitutiva dell'acciaio incrudito I unti del diagramma tensioni-deormazioni della curva di calcolo, stanno su una retta assante er l'origine di endenza ari a E ino al valore massimo.7 d(,2) ottenuto dividendo il valore della resistenza caratteristica k(.2) con il coeiciente di sicurezza e con un tratto curvilineo di equazione: E k 2 La curva delle tensioni-deormazioni è valida anche er le tensioni di comressione. 3. Metodo di calcolo Teoricamente er oter individuare il dominio a rottura di una sollecitazione comosta dalle tre comonenti N, e bisogna calcolare la suericie FN i cui unti individuano realmente una situazione er la quale si sia raggiunta nei unti iù lontani dall'asse neutro, o la massima contrazione cu del calcestruzzo o la massima dilatazione ad. Il calcolo della rontiera avviene osizionando l'asse neutro in iù unti con varie inclinazioni e er ognuno di questi unti si valuta, con le oortune integrazioni delle tensioni, le tre comonenti della sollecitazione. Fig. 6 - Distribuzione delle tensioni Nota la osizione dell'asse neutro, individuata dall'inclinazione dell'angolo e dalla distanza u risetto al sistema di rierimento, si valutano le tensioni agenti sulla sezione. Viene reso come origine del sistema di rierimento il baricentro della sezione in calcestruzzo. Le tre comonenti dello sorzo resistente er la situazione esaminata si valutano quindi con le seguenti ormule: X N Asi s u bu du i c o X Asi s yi c u b u e2 u du o X Asi s xi c u b u e1 u du o 4. Integrazione delle tensioni Il calcolo dell'integrale, recedentemente scritto, è molto comlesso sia er la orma irregolare dell'area delimitata dall'asse neutro che er la non linearità della legge tensioni-deormazioni del calcestruzzo. L'idea er risolvere questo roblema è che ogni igura geometrica uò essere scomosta in tanti semlici traezi, tracciando delle linee arallele all'asse neutro er i vertici della sezione stessa.

4 Il traezio, se necessario, viene ulteriormente suddiviso in traezi che abbiano un andamento delle tensioni deinito dalla stessa legge. Nelle igura recedente er esemio il traezio disegnato, viene suddiviso ulteriormente in tre. Sul rimo il valore delle tensioni è nullo, secondo l'iotesi della arzializzazione, nel secondo le tensioni hanno un andamento arabolico e inine nel terzo hanno un andamento costante. Fig. 7 - Suddivisione in traezi della sezione Vengono considerati traezi tutte le igure qui sotto raresentate, anche il triangolo comreso ra queste, dato che esso è un traezio degenere, con una delle basi di lunghezza zero. Fig. 8 - Tii di traezi Il calcolo dei traezi avviene acendo assare delle rette arallele all'asse neutro er i vertici della sezione, l'incontro ra quest'ultime e i lati della sezione determinano la larghezza delle basi dei traezi. Nell''imlementazione su comuter delle recedente rocedura non si sono incontrati articolari roblemi er sezioni con angoli interni ineriori ai 18 (sezioni quadrate, circolari, esagoni ed ecc..), alcuni roblemi si sono invece incontrati er sezioni con angoli interni sueriori ai 18. Questo erchè alcune rette del ascio, a seconda dell'inclinazione dell'asse neutro, ossono incontrare i lati della sezione in iù di due unti, creando delle diicoltà er saere quale coia di unti eettivamente raresentino la base di un traezio. Il roblema è stato risolto attraverso alcuni controlli sulla orma geometrica della sezione. Una volta deinito ogni singolo traezio, attraverso la lunghezza delle sue basi e la distanza dei vertici delle basi dal unto di rierimento, si esamina il diagramma delle tensioni che insiste sul traezio. y c1 c2 h1 h2 Fig. 9 - Andamento delle tensioni x b2 b1 Così suddivisa la igura della sezione, attraverso l'analisi matematica, ermette il acile calcolo delle tre comonenti delle sollecitazioni del dominio a rottura. Il calcolo dell'integrale saziale della regione di sazio delimitato da un traezio e da un iano arabolico o da un iano richiede inatti, solo un ò di azienza nei assaggi analitici. Le sollecitazioni così calcolate sono erò rierite ad un sistema di rierimento con l'asse delle x arallelo all'asse neutro, bisogna quindi ricorrere ad una rotazione degli assi er ottenere le sollecitazioni nel sistema di rierimento rinciale. La novità sostanziale risetto ai recedenti rogrammi di calcolo stà nella determinazione dell integrale delle tensioni attraverso una orma chiusa, e quindi univocamente determinata. Fin ora questo era stato sviluato solo su rogrammi secializzati su singole orme di sezioni e stati di sollecitazione. La generalizzazione veniva raggiunta generalmente arontando dei metodi arossimati di integrazione basati sostanzialmente sugli algoritmi di Gauss- Legendre. Diversamente la ossibilità di estendere la soluzione chiusa ad un caso generico, attraverso la strategia aena descritta, basata sostanzialmente su alcune considerazioni geometriche, ha consentito di risolvere il roblema della integrazione, ottenendo inoltre una soluzione, che essendo chiusa, è logicamente semre esatta. L'integrazione delle tensioni dell'acciaio è invece semlice, dato che si iotizza costante all'interno dell'area della barra. Questo rocedimento, che ermette il calcolo delle sollecitazioni del dominio a rottura in modo esatto, è stato imlementato in un rogramma si calcolo chiamato DOMINUS.. Diagrammi dei domini a rottura

5 Il rocedimento illustrato recedentemente ermette il calcolo della sollecitazione del dominio a rottura er una qualsiasi osizione ed inclinazione dell'asse neutro. Data la velocità dell'algoritmo er il calcolo dei valori delle singole comonenti delle sollecitazioni si riesce a calcolare, con un PC dotato di un rocessore Intel 486dx2-66 Mhz e con l algoritmo scritto in MS- Basic, la rontiera di rottura saziale di una sezione rettangolare in un temo di sette secondi. Vengono di seguito riortati i graici dei domini a rottura di una trave con sezione trasversale quadrata dotata di un armatura simmetrica. cd=1.62 yd= Fig. 1 - Sezione trasversale di una trave c=4 cm 32 cm c=4 cm a=4 Il rogramma in questo caso calcola iù di unti del dominio, corrisondenti a 16 diverse osizioni e 36 diverse inclinazioni dell'asse neutro. Il disegno del dominio di rottura saziale viene raresentato attraverso un'assonometria isometrica di una rete i cui nodi coincidono con i unti del dominio calcolati dal rogramma. La rete è raresentata con una serie di aralleli disegnati ortogonalmente all'asse dello sorzo normale e una serie di meridiani che assano er i due oli del dominio. Meridiani Paralleli Noto il dominio saziale di rottura è ossibile disegnare una sua qualsiasi sezione, corrisondente al dominio di rottura er una determinato valore costante di una delle comonenti della sollecitazione. Questo è ossibile attraverso un'interolazione lineare ra i unti noti. I graici così ottenuti sono molto recisi, come viene dimostrato successivamente, dato l'elevato numero dei unti calcolati. L'agibilità con cui si ossono ottenere queste sezioni ermette di studiare in tutti i sui asetti la resistenza a rottura delle sezioni. Nella igura seguente viene raresentata una sezione iana del dominio saziale corrisondente al dominio delle sollecitazioni er un valore nullo dello sorzo normale N. Il temo di disegno di una qualsiasi sezione di questo tio è ineriore ad un secondo [ MN m ] [ MN m ] Fig.12 - Dominio di rottura er N= Un altro tio di graico di notevole interesse è quello er un valore costante del momento lettente o. Fig.11 - Quarto del dominio di rottura saziale Assieme al disegno del dominio è ossibile anche raresentare la osizione nello sazio delle singole condizioni di carico che si vogliono veriicare. Esse sono disegnate con due diversi colori a seconda se sono o non sono contenute all'interno del dominio.

6 [ MN m ] N=-3. N=-3. N=-2. N=. N=-. N= N [ MN ] N=-2. N= Fig Dominio di rottura er = La acilità con cui si ossono ottenere i graici rima descritti ermette di realizzare dei graici, attraverso un'elaborazione numerica, in orma adimensionale dei domini a rottura er un dato valore costante di uno dei due momenti lettenti o dello sorzo normale. Di seguito si riorta quello ottenuto dai risultati ottenuti dallo studio della sezione trasversale raresentata in ig. 1. yd At c c ; x ; y ab a b cd cd N ; x ; 2 y ba cd a b cd ab Nel caso in esame: x = y =.1; =.1 2 N =.2 MN m x = m y =.1 = 1 Nm =.1 MNm 2 Fig Domini a rottura adimensionali tracciati dal rogramma DOMINUS 6. Analisi dei risultati La veriica della recisione dei risultati, che si ossono ottenere dall'algoritmo imlementato, avviene attraverso un conronto con quelli ricavati da un altro rogramma. Il rogramma reso a conronto utilizza un metodo di calcolo molto semlice ed intuitivo, anche se molto lento. Questo calcola le sollecitazioni er una data osizione dell'asse neutro, suddividendo in elementi initi la sezione da studiare. Iotizzando oi che la tensione agente sull'area di un elemento sia costante, si calcolano acilmente con delle sommatorie gli integrali delle comonenti della sollecitazione a rottura. Il conronto dei risultati ottenuti dai due rogrammi ha messo in evidenza dierenze ineriori allo,%, che tendono ad annullarsi all'aumentare del numero degli elementi utilizzati. Si riortano di seguito i risultati ottenuti dai due rogrammi. Con "elementi" si indica con quanti quadratini il rogramma di conronto ha suddiviso la sezione, con l'inclinazione dell'asse neutro e con X la distanza del asse neutro dall'origine del sistema di rierimento. Sollecitazioni del dominio a rottura con valore nullo dello sorzo normale. Elementi X Dominus

7 Dominus Dominus Sollecitazioni del dominio a rottura con valore negativo di 1.MN dello sorzo normale. Elementi X Dominus Dominus Dominus I risultati ottenuti con i due metodi, con un elevato numero di elementi er il secondo, sono raticamente coincidenti, come si osserva dalle due tabelle recedenti. 7. Raronto con altri metodi E interessante eseguire un raronto, su di un esemio tiico di calcolo eseguito con altri metodi, er veriicare la concordanza dei risultati, e er quantiicare l entità ercentuali di eventuali dierenze sui valori numerici trovati. La sezione rovata e quella di igura 1. Si riortano nell ordine i risultati secondo i graici riortati in Andreola Donina Menditto (1976) dove i graici sono tracciati resumibilmente in modo manuale o solamente semi automatico con diagrammi delle tensioni semliicati in base agli strumenti di calcolo allora disonibili, secondo Bontemi (1992) valutato con l ausilio di un aosita rocedura di calcolo automatico utilizzando una integrazione Gauss- Legendre su di un reticolo 7x7 elementi, e secondo il metodo qui illustrato che revede l integrazione in orma chiusa. Le dierenze sono arezzabili, se si conrontano i due rogrammi di calcolo con diversa imostazione, ma sono comunque oco interessanti nell ambito della ragionevole ratica arossimazione della tecnica costruttiva e in ogni caso ossono semre essere aiattite utilizzando una maglia del reticolo iu itta. Le tabelle dimostrano invece uno scostamento che si riteneva iu contenuto, certamente giustiicato tenendo conto dei iu limitati mezzi a disosizione circa due decenni a, ma suiciente er oterle considerare a questo unto se non suerate er lo meno da rivedere. cd=2 N/mm 2 yd=42 N/mm 2 At=38.8cm ig. 1 Momenti lettenti valori in N c=2 cm b=2 c=4 cm 32 cm c=4 cm a=4 Sollecitazio Andreoli et. Biasioli Dominus ne e unto al. M x A M y A M x B M y B M x C M y C M x D M y D M x E M y E M x F F massima dierenza ercentuale 14 % 6 % 8. Trave recomressa Viene resentata brevemente anche la ossibilità di calcolo del rogramma a sezioni recomresse. Il caso esaminato è quello di una sezione reabbricata ad I in cui interessava studiare il comortamento a rottura er sollecitazioni di lessione deviata derivante da concomitanza delle usuali azioni verticali dovute ai sovraccarichi con le concomitanti azioni orizzontali er sisma o er esemio carroonte. La sezione è rodotta resso lo stabilimento di Fonzaso (BL) della società Beton iave di Nervesa della Battaglia (TV) ed utilizzata generalmente in ediici industriali come trave orta-coertura su maglia intorno ai 1x2 m, o anche come trave via di corsa er carrionte.

8 L analisi consente di evidenziare il comortamento della struttura anche in articolari asi del unzionamento, che recedentemente venivano ignorate o estremamente semliicate, er la diicoltà ratica di metterle in atto, in sezioni non tabellate. L uso di questa rocedura di calcolo è invece raido e consente di eseguire in temi accettabili anche le oerazioni tiiche del calcolo quotidiano, che richiede strumenti eicienti non solo in termini di recisione dei risultati, ma soratutto ridotti temi di imiego, acile reeribilità ed estrema semlicità oerativa. I materiali iotizzati er questo esemio sono: calcestruzzo: cd=22. Ma Acciaio normale yd= Ma Acciaio di recomressione y(.2)= Ma yd= Ma Nel seguito (ig ) sono schematizzate la sezione studiata ed il graico del dominio di rottura iano a ressolessione deviata, ottenuto come sezione iana del dominio di rottura saziale. 13. cm 11cm 13. cm 2+2 diam 2 12 cm cm I livello 7x. cm dal ondo II livello 3x. 1 cm dal ondo asso treoli cm [ N m ] [ N m ] Bibliograia DECRETO MINISTERIALE Norme tecniche er l esecuzione delle oere in cemento armato normale, recomresso Versione 1992 EUROCODICE 2: Progettazione delle strutture cementizie Ed. Schedario tecnico Editore Cuneo 1991 CEB Bollettino d inormazione 13 Design o section under axial eects at the ultimate limit state Budaest 198 G. TONIOLO Elementi strutturali in cemento armato, Ed. Masson, Milano 199 M.A. PISANI Sul calcolo dei diagrammi di interazione di sezioni comatte in c.a. e c.a.. Studi e ricerche n. 12 della scuola di secial. costruzioni in c.a.del Pol. di Milano, Ed. Italcementi Bergamo, F. BONTEMPI Sulla costruzione dei domini di rottura di sezioni in c.a. e c.a.. soggette a ressolessione deviata Studi e ricerche n. 13 della scuola di secial. costruzioni in c.a.del Pol. di Milano, Ed. Italcementi Bergamo, 1992.