TRASFORMAZIONE PRIMA SELEZIONE SELEZIONE SUCCESSIVA

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1 Come ottenere la figura immagine di una figura data Disegna la figura di cui vuoi la trasformata e gli oggetti (asse o centro di simmetria, vettore,...) che caratterizzano la trasformazione Clicca sul pulsante Trasforma tasto del mouse, tenendo premuto il Seleziona la trasformazione desiderata Punta il mouse sulla figura iniziale (PRIMA SELEZIONE): appare un messaggio da confermare con un clic Effettua la SELEZIONE SUCCESSIVA, puntando il mouse sull oggetto relativo e cliccando per confermare il messaggio: appare la figura trasformata (vedi tabella) TRASFORMAZIONE PRIMA SELEZIONE SELEZIONE SUCCESSIVA Simmetria assiale Oggetto di cui si vuole determinare il corrispondente Asse di simmetria Può essere una retta, un segmento, una semiretta, un vettore, un asse, un lato di un poligono Simmetria centrale Oggetto di cui si vuole determinare il corrispondente Centro di simmetria Traslazione Oggetto di cui si vuole determinare il corrispondente Vettore Definito da due punti, di cui il primo è il punto di applicazione. L opzione VETTORE è presente nel menu RETTE Rotazione Oggetto di cui si vuole determinare il corrispondente Centro di rotazione Angolo di rotazione Definito da un numero (misura dell angolo) che va scritto a video utilizzando NUMERI dal menu VISUALIZZA Omotetia Oggetto di cui si vuole determinare il corrispondente Centro di omotetia Rapporto di omotetia Definito da un numero che va scritto a video utilizzando NUMERI dal menu VISUALIZZA Inversione - - Come ottenere la figura immagine di una figura data in una trasformazione 1

2 Cabri permette di disegnare curve (rette, coniche) nel piano cartesiano e di visualizzare le relative equazioni. Se vuoi lavorare nel piano cartesiano: Seleziona DISEGNA / MOSTRA GLI ASSI: nel foglio di lavoro vengono disegnati gli assi cartesiani X ed Y Seleziona DISEGNA / GRIGLIA, avvicina il mouse ad uno degli assi cartesiani e a video appare un messaggio Questi assi ); clicca ed appare una griglia costituita dai punti del piano cartesiano a coordinate intere 2 Come ottenere la figura immagine di una figura data in una trasformazione

3 Trasformazioni composte: scheda di lavoro 1 Sia s a una simmetria rispetto ad una retta a. 1. Disegna ABC e la retta a; costruisci A'B'C' usando SIMME- TRIA; poi usa SIMMETRIA su A'B'C' rispetto ad a. Usa possibilmente triangoli non isosceli. 2. Cosa ottieni? Cosa puoi concludere? Disegna ABC e due rette parallele a,b. Opera su ABC con s a ottenendo A'B'C'; opera su A'B'C' con s b ottenendo A"B"C". Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC? Cerca le caratteristiche di tale trasformazione: E opportuno che le rette non siano troppo vicine Nascondi A'B'C'. 3. Congiungi i vertici corrispondenti e misura i segmenti ottenuti; cosa osservi? Misura la distanza tra le rette a, b ( come puoi fare?) Cerca il legame tra le misure fatte. Disegna ABC e due rette a,b incidenti in O. Opera su ABC con s a ottenendo A'B'C' e poi su A'B'C' con s b ottenendo A"B"C". Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC? Cerca le caratteristiche di tale trasformazione: Nascondi A'B'C'. 4. Congiungi i vertici dei due triangoli con il punto O e misura gli angoli AOA, B0B, COC. Misura l'angolo tra le rette a, b. Cerca il legame tra le misure fatte. Disegna un poligono P a tuo piacere con POLIGONO e due rette a, b tra loro perpendicolari in O. Opera su P con s a, ottenendo P', poi su P' con s b ottenendo P". Quale trasformazione associa P a P? Trasformazioni composte 3

4 OSSERVAZIONI 1. Il prodotto di composizione di due simmetrie assiali in assi paralleli coincidenti è Il prodotto di composizione di due simmetrie assiali in assi paralleli distinti è Il prodotto di composizione di due simmetrie assiali in assi incidenti è Il prodotto di composizione di due simmetrie assiali in assi perpendicolari è... 4 Trasformazioni composte

5 Trasformazioni composte: scheda di lavoro 2 UNA NUOVA ISOMETRIA La produzione del pittore olandese M. C. Escher è tutta imperniata su rigorosi studi geometrici. Le immagini seguenti sono tratte da alcune sue composizioni Mauritius Cornelius Escher nacque a Leeuwarden in Olanda nel Frequentò la Scuola di Architettura e Arti Decorative di Haarlem, ma ben presto si dedicò alle arti grafiche. Nel 1922 partì per l'italia e lì sposò Jetta Umiker nel Si stabilì in Svizzera nel 1935, in Belgio nel 1937 ed infine tornò in Olanda nel Egli riesce a creare pavimentazioni uniformi utilizzando immagini dirette e inverse di alcune forme base, opportunamente modellate. Per esempio, nel caso delle lucertole, ciascuno degli animali rappresentati può essere trasformato in un altro con una semplice rotazione di 120 attorno al punto comune alle tre teste. Le sue opere grafiche possono essere catalogate in: * Oggetti impossibili * Deformazioni * Tassellazioni * Ambiguità geometriche Morì il 27 marzo 1972 lasciando una considerevole collezione di pitture disegni e statue. Una nuova isometria 5

6 Nel disegno seguente tutte le anatre di una medesima fila si corrispondono in opportune traslazioni lungo rette orizzontali. Se provi però a mettere in relazione tra loro una delle anatre che guardano a destra con una di quelle che guardano a sinistra ti chiederai con quale trasformazione si può passare dall una all altra. Tale trasformazione si chiama glissosimmetria - La trasformazione è diretta o invertente? - Si tratta di una trasformazione che hai già studiato? - Pensa ad una trasformazione che si svolge in due momenti successivi, con l utilizzazione di due trasformazioni distinte; confronta la tua costruzione con quella dei tuoi compagni - Quante costruzioni fanno corrispondere tra loro le due figure? 6 Una nuova isometria

7 Trasformazioni composte: scheda di lavoro 3 Componendo tra loro tre simmetrie assiali, otterrai certamente una trasformazione invertente. Aiutandoti con CABRI, studia uno per uno i casi che si possono presentare a seconda della posizione reciproca degli assi e completa la seguente tabella. E possibile verificare che, a partire dalla simmetria assiale, si possono ottenere tutti gli altri tipi di isometrie. Non è invece possibile far derivare ogni altro tipo di isometrie componendo solo traslazioni o solo rotazioni. POSIZIONE DEGLI ASSI TRASFORMAZIONE CARATTERISTICHE DELLA TRASFORMAZIONE I tre assi sono paralleli I tre assi concorrono in un punto I tre assi non sono tra loro paralleli e non si intersecano in un solo punto Due dei tre assi sono paralleli Tenendo conto di quanto hai osservato nella composizione di simmetrie, evidenzia come è possibile ottenere ogni isometria a partire dalla simmetria assiale La trasformazione è il prodotto di composizione di identità traslazione rotazione simmetria centrale glissosimmetria Composizione di tre simmetrie assiali 7

8 8 Composizione di tre simmetrie assiali

9 Trasformazioni composte: scheda di lavoro 4 ESERCIZIO 1 Costruisci un poligono ABCDE a tua scelta Selezionalo col puntatore e copialo, utilizzando i comandi opportuni del menu EDITA Sposta il poligono A B C D E in una parte di piano non molto vicina Congiungi due vertici corrispondenti A e A con un vettore Misura la lunghezza del vettore AA e, se è il caso, sposta il poligono A B C D E fino a che tale lunghezza non sia rappresentata da un numero intero Disegna nel piano due rette a e b che individuano la traslazione di vettore AA : verifica che applicando la trasformazione composta s b s a al poligono ABCDE ottieni proprio A B C D E. Quante di queste coppie esistono?... vediamo quanto sei bravo 9

10 ESERCIZIO 2 Il poligono A B C D serve solo per poter disegnare il poligono A B C D ruotato rispetto a quello dato : non ha nulla a che vedere con le trasformazioni che vogliamo analizzare Costruisci un poligono ABCD a tua scelta Selezionalo col puntatore e copialo, utilizzando i comandi opportuni del menu EDITA Sposta il poligono A B C D in una parte di piano non molto vicina e applica ad esso una rotazione di 90 rispetto al suo vertice A : ottieni un nuovo poligono A B C D, ruotato di 90 rispetto ad ABCD attorno ad un centro O che dovrai determinare Nascondi il poligono A B C D Disegna nel piano due rette a e b che individuano la rotazione di centro O e di ampiezza 90, che porta il poligono ABCD in A B C D ; verifica che applicando la trasformazione composta s b s a al poligono ABCD ottieni proprio A B C D vediamo quanto sei bravo