precorso di matematica per gli studenti iscritti al primo anno all ITIS Rossi

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1 precorso di matematica per gli studenti iscritti al primo anno all ITIS Rossi

2 NUMERI ADEGUATI AD OGNI SITUAZIONE Rifletti sui dati numerici che ci sono nelle seguenti frasi: Sottolinea i numeri nelle frasi Ieri Paola è stata a casa da scuola perché aveva la febbre: il termometro segnava 57 C. Mio fratello alla nascita pesava circa etti. I numeri che hai sottolineato vanno bene? Sono realistici? Se non vanno bene, spiega il perché Ho acquistato una bicicletta con lo sconto del 0%. Mio fratello alla nascita pesava circa chili. 5 Mio fratello alla nascita pesava circa 0 chili. 6 A Londra, ogni anno, piove almeno per 80 giorni. 7 Ho comprato un abito con uno sconto fantastico del 05%. 8 Una lumaca avanza ad una velocità di metri al secondo. 9 Nel cassetto ci sono 0 paia di calze: calze di colore nero, 6 di colore verde, 5 di colore rosso. 0 Nell anno scolastico passato nella mia classe c è stato il 7% di promossi e il 7% di respinti. Vorrei un tavolino da pranzo quadrato 80x90cm Individua e sottolinea i valori numerici non accettabili nella realtà Ho fatto un chilometro a piedi e ho impiegato solo cinque ore. Forse in bicicletta avrei impiegato metà del tempo. In auto un minuto. Trenta auto della Ferrari gareggiano in Formula 5. Scrivi i valori numerici che sostituiresti a quelli che hai sottolineato In una classe di 0 studenti il 50% ha studiato nelle scuole medie inglese, 8 francese, gli altri spagnolo. 5 La fontana rotonda della piazza ha un diametro di 7 metri. 6 Delle due dozzine di uova che ho comprato, ne ho rotte mezza dozzina, consumate 0 e ne sono rimaste quattro. - -

3 OPERAZIONI CON IL 0 E LE SUE POTENZE Moltiplicare per 0 n, con n naturale Regola. La moltiplicazione per 0 n, con n naturale, sposta la virgola a destra di tante cifre quante indicate dall esponente n. Esempio. 5, Esempio. 0, ,56 Dividere per 0 n, con n naturale Regola. La divisione per 0 n, con n naturale, sposta la virgola a sinistra di tante cifre quante indicate dall esponente n. Esempio. 5, : 0 0,005 Esempio. 0,00056 : 0 0, Potenza 0 -n, con n naturale Regola. Esempio. Esempio. Esempio. Esempio. n 0 :0 n 0 n :0 0, :0 0, 5, 5, 0 5, 5, :0 0, ,56:0 0, 56: 0, Esempio. Obiettivo trasformare in prodotti e usare le proprietà delle potenze,5:0:0 0 0, 5 : 0 0, , Esercizi. 5 0,00 0 0, ,50:0 0,:0 0, :0 8 0,005:0 Esercizi 0, 005:0 0 :0 :0 0, 00:0 :0 :0 :

4 DAL LINGUAGGIO MATEMATICO AL LINGUAGGIO NATURALE ESERCIZI Scegli, tra quelle proposte, la formulazione corretta. La scrittura si legge A) Quattro quinti per tre, meno, un terzo per due è uguale a ventisei alla quindicesima B) Quattro quinti per tre, meno, un terzo per due è uguale a ventisei quindicesimi C)quattro fratto, cinque per tre, men uno, fratto tre per due, è uguale a ventisei quindicesimi +5> 6 A) Quattro terzi meno due quarti più cinque è maggiore di ventisei B) Quattro alla terza meno due alla quarta più cinque è minore di ventisei C)Quattro alla terza meno due alla quarta più cinque è maggiore di ventisei A) Diciassette più, nove per diciassette, meno nove, è uguale a ( 7+9) ( 7 9)7 9 diciassette al quadrato meno nove al quadrato B) La somma dei numeri diciassette e nove, moltiplicata per la l differenza, è uguale alla differenza tra il quadrato di diciassette e quell nove C)La somma per la differenza dei numeri diciassette e nove è uguale al quadrato della loro differenza Scrivi come leggeresti le espressioni proposte. Delle scritture < 9 proponi la tua lettura Scrivi le espressioni. Delle letture seguenti Un terzo di centotrentadue, diminuito di tre, è uguale a quarantuno dai la scrittura in simboli Un terzo di, centotrentadue diminuito di tre, è uguale a quarantatre Come completeresti le scritture in modo che risultino corrette e vere? 5<.. 7> (6 5 :

5 DAL LINGUAGGIO NATURALE DAL LINGUAGGIO MATEMATICO ESERCIZI Completa la tabella Il doppio di a a Il quadrato di a a Il triplo di a Il cubo di a Il quadruplo di a a alla quarta La metà di a La terza parte di a a a a Due terze parti di a Il precedente di a a- Il successivo di a L opposto di a -a Il valore assoluto di a Il reciproco di a L opposto del reciproco di a (antireciproco di a) a Il successivo del doppio di a a+ Il doppio del successivo di a (a+) Il successivo del quadrato di a Il quadrato del successivo di a - 5 -

6 LE PROPRIETA DELLE POTENZE Calcola applicando le proprietà delle potenze come nell esempio. Es Es 5 5 : : : :7 9 5 :5:5 0 6 :: Es ( ) 6 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 7 5 ( ) 5 Es Es 5 : : : :7 8 : :6 5 8 : : - 6 -

7 LE PROPRIETA DELLE POTENZE Risolvi applicando le proprietà delle potenze DOVE È POSSIBILE 6 + ( +) ( +) : ( ) ( 5 +) : 7 5 ( ) :( 5) ( 6 0 ) 0 ( ) 9 5 ( 5 ) : ( ) : ( ) ( ) : 5 :( ) : ( ) :

8 PRIORITA DELLE OPERAZIONI E USO DELLE PARENTESI Priorità delle operazioni e uso delle parentesi Svolgere in successione una o più operazioni significa svolgere un espressione. Le operazioni si svolgono rispettando la seguente priorità: prima si svolgono le potenze poi le moltiplicazioni e le divisioni nell ordine con cui sono scritte; infine le addizioni e sottrazioni nell ordine con cui sono scritte; La presenza di parentesi stabilisce la precedenza di calcolo per le operazioni indicate all interno di esse. Risolvi le seguenti espressioni. Scrittura senza parentesi 5+ ( 5+ ) 9 8: ( 9 8) : 6 :+6 6 :( +6) 5 ( 5) Calcola il valore delle seguenti espressioni : + ( 0 8) : ( +0 8) : ( +0 8 ) : : 6 ( +) 9: 7 ( +) 9 : Scrittura con parentesi Spiega quale differenza c è nei calcoli, tra le due scritture - 8 -

9 LE PROPRIETA E I PROBLEMI DELLO ZERO Scegli, tra le risposte scritte sotto, i risultati dei calcoli :7 7: RISPOSTE: IMPOSSIBILE 7 0 Risolvi le seguenti espressioni. 5:5+0 :5+0 :5 ( 5:+0 :5 0) :( + ) ( 0 :5+0 0) : ( ) : :8 0 6 : : :

10 IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI MISURA (SI) Le sette unità di misura fondamentali I prefissi delle unità di misura nel Sistema Internazionale (S.I.) Prefisso Simbolo 0 n Equivalente decimale Nome yotta Y zetta Z exa E peta P un milione di miliardi tera T mille miliardi giga G un miliardo mega M un milione kilo k mille hecto h 0 00 cento deca da 0 0 dieci 0 0 uno 0 n 0 n deci d 0-0. un decimo centi c un centesimo milli m un millesimo micro m un milionesimo nano n un miliardesimo pico p un millesimo di miliardesimo femto f un milionesimo di miliardesimo atto a zepto z yocto y Unità di misura non SI e loro fattori di conversione Nome dell unità di misura non SI Simbolo dell unità di misura Fattore di conversione in SI minuto min min 60 s ora h h 60 min 600 s giorno d d h 8600 s grado /80-esimo di angolo piatto ettaro ha ha hm 0 m litro l, L L dm 0 - m tonnellata t t 0 kg Le unità di misura di superficie e di volume e i loro multipli Quando si trasforma una unità di superficie o di volume bisogna operare utilizzando in modo opportuno le proprietà delle potenze partendo sempre dall unità di misura lineare. m (0 dm) 00 dm m (00 cm) cm km (000 m) m mm (0,00 m) 0, m - 0 -

11 LE EQUIVALENZE ESERCIZI SVOLTI ) Trasformiamo 50cm in metri: 50cm.m? Per la lunghezza l unità di misura nel S.I. è il metro (m) 0,00 0,0 0, unità 0 mm cm dm m dam Ti sposti di posizioni dall unità minore (cm) all unità maggiore (m), quindi devi DIVIDERE per (0 00) 50 cm50 : 00 m0,5 m quindi 50 cm 0,5 m In alternativa sapendo che 50cm 50 0 m 5 0 m : notazione scientifica ) Trasformiamo hg in dg: hg.dg? Per la massa l unità di misura è il grammo (g) 0,00 0,0 0, unità mg cg dg g dag hg kg Ti sposti di posizioni dall unità maggiore (hg) all unità minore (dg), quindi devi MOLTIPLICARE per (0 000) hg 000 dg 000 dg In alternativa sapendo che SVOLGIMENTO SINTETICO DELLE EQUIVALENZE ) Trasformiamo 50 cg in kg: 50 cg.kg? Unità di È Maggiore Unità di arrivo Spostamento divido/moltiplico Potenza 0 partenza / Minore di di Posizioni per cg Minore kg 5 divido cg50 :0 5 kg kg, kg,5 0 - kg,5e-kg ) Trasformiamo 0, s in ms: 0,s.ms? Unità di È Maggiore Unità di arrivo Spostamento divido/moltiplico Potenza 0 partenza / Minore di di Posizioni per s Maggiore ms moltiplico 0 0, s0, 0 ms 0-0 ms 0 msems00ms - -

12 LE EQUIVALENZE FRA UNITA DI SUPERFICIE E DI VOLUME ESERCIZI SVOLTI Le unità di misura di superficie e di volume e i loro multipli e sottomultipli Quando si trasforma una unità di superficie o di volume bisogna operare utilizzando in modo opportuno le proprietà delle potenze (POTENZA DI UN PRODOTTO e POTENZA DI POTENZA) partendo sempre dall unità di misura lineare. m ( m) (0 dm) 00 dm m ( m) (00 cm) cm km ( Km) (0 m) 0 6 m m mm ( mm) (0,00 m) (0 - m) 0-9 m 0, m L dm ( dm) (0, m) (0 - m) 0 - m 0,00 m ) Trasformiamo 0 mm in dm : 0mm.dm? Unità di È Maggiore Unità di arrivo Spostamento divido/moltiplico Potenza 0 partenza / Minore di di Posizioni per mm Minore Dm divido 0 0mm 0 ( mm) 0 (:0 dm) 0 ( 0,0 dm, 0 - dm,e- dm 0 dm) 0 0 dm 0:0 dm ) Trasformiamo 0,05 dam in cm : 0,05 dam.cm? Unità di È Maggiore Unità di arrivo Spostamento divido/moltiplico Potenza 0 partenza / Minore di di Posizioni per dam Maggiore cm moltiplico 0 0,05 dam 0,05 ( dam) 0,05 (0 cm) 0, cm cm cm 5E7cm ) Trasformiamo 500 mm in m : 500mm.m? Unità di È Maggiore Unità di arrivo Spostamento divido/moltiplico Potenza 0 partenza / Minore di di Posizioni per mm Minore m divido mm 500 (mm) 500 ( 0 - m) m m m 5,0E- m ) Una condotta ha una portata di 00 L/min. Trasformiamo m /s: 00L/min...m /s? Ricordare che L dm Unità di È Maggiore Unità di arrivo Spostamento divido/moltiplico Potenza 0 partenza / Minore di di Posizioni per dm Minore m Divido 0 min Maggiore s min60 s moltiplico 60 ( ) dm ( 0 m) L dm 0 m m m , 005 5E min min 60s 60s s s s - -

13 EQUIVALENZE CON MISURE DI CAPACITÀ, DI PESO E DI TEMPO ESERCIZI Associa a ciascuna misura di ogni riquadro la corrispondente tra quelle indicate al fondo del riquadro. 6 hl 0,6 kl. 600 dal.. 6 dl. 0,6 cl 600 ml 6dl 60 dal 6 0 dal 6ml 6 0 l 6 0 l 00 g 0,00005 kg. 50 hg..,5 dag..,5 dg 5 dg. 0,5 dg 5 0 kg 5 cg 500 dag 500 mg 5 g ore. giorni min. centesimi di secondo centesimi di secondo. millesimi di secondo 0s 0 centesimi di 0 s secondo min 0minuti 0 millesimi di secondo - -

14 EQUIVALENZE CON MISURE DI LUNGHEZZA, AREA E VOLUME ESERCIZI Associa a ciascuna misura di ogni riquadro la corrispondente tra quelle indicate al fondo del riquadro. 50 cm mm dm 50 km.. 0,5 hg.. 5 m.. 50 dam.. 0,05 dm.. 50 m 500 m 0,5 m 5 0 m 5 0 m m 5 0 m 5 0 m 0 m mm. dm. cm.. 0,0 hm 0,0 dam. 0 0 m 0,0m 0 m 00 m 0 m 0 m 75 cm. 0,75 hm 7,5 dm. 0,075 dam mm. 7,5 m m 0,00075 m 7,5 0 5 m 75 m 75 0 m 7,5 0 m - -

15 LE FORMULE INVERSE Spesso in geometria o in fisica o in chimica è richiesto di invertire una formula. Ad esempio si vuole ricavare l altezza del trapezio dalla formula diretta dell area A ( ) b + b h Una formula può essere vista come una equazione la cui incognita è l incognita del problema, nel nostro caso h è l incognita mentre le altre lettere sono parametri noti. Per risolvere un equazione si utilizzano i principi di equivalenza delle equazioni che consentono di: p) sommare o sottrarre ad entrambi i membri di una equazione uno stesso termine (addendo) p) moltiplicare o dividere entrambi i membri di una equazione per uno stesso fattore diverso da zero ci sono anche altri principi utili che derivano dai precedenti p) trasportare un termine da un membro all altro cambiandogli il segno p) scambiare il primo membro con il secondo membro p5) cambiare segno a tutti i termini dell equazione Se le equazioni sono di primo grado rispetto all incognita prescelta si procede sempre così ) eliminare eventuali denominatori (p) ) eliminare le eventuali parentesi svolgendo i dovuti calcoli ) trasportare a primo membro i termini che contengono l incognita (p) ) trasportare a secondo membro i termini che non contengono l incognita (p) 5) isolare l incognita (dividere entrambi i membri per il coefficiente dell incognita) (p) Nota. Spesso molti passaggi non sono necessari, focalizzare sempre la posizione dell incognita Nota. In presenza di più denominatori è necessario calcolare il minimo comune denominatore Nota. Se a primo membro l incognita è presente in più termini raccogliere a fattor comune l incognita Nota. Se l incognita isolata non è di primo grado estrarre la corrispondente radice Ricavare b ax + bx+ c 0 trasportare tutti i termini senza l incognita a secondo membro bx ax c isolare l incognita b dividendo entrambi i membri per il coefficiente di b cioè x ax c b x Ricavare T ( ) Q mc T T eliminare le parentesi e svolgere i calcoli Q mct mct trasportare i termini con l incognita T a primo membro e i termini senza incognita a secondo membro mct mct Q isolare l incognita T dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente mc mct Q T mc Ricavare c ( ) ( ) Q isolare l incognita c dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente m( T T) Q mc T T l incognita c deve stare a primo membro, scambiare i due membri mc T T Q c m T T ( ) - 5 -

16 Ricavare r V π V πr π r V V r π r r eliminare i denominatori, moltiplicare per entrambi i membri l incognita r deve stare a primo membro, scambiare i membri isolare l incognita r dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente π l equazione non è di primo grado, estrarre la radice cubica V π Ricavare h ( b + b ) h A A b + b h l incognita h deve stare a primo membro, scambiare i membri eliminare i denominatori, moltiplicare per entrambi i membri ( ) ( b+ b ) h A isolare l incognita h dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente ( b + b ) A h b + b Ricavare V P P V + V V ( ) P ( V + V) ( V V ) V ( ) P V V + V V + P V P V + V P V P V + P V P V + P V P V trovare il minimo comune denominatore ( + ) V V V eliminare i denominatori, moltiplicare per ( + ) eliminare le parentesi e svolgere i calcoli V V V l incognita deve stare a primo membro, scambiare i membri trasportare i termini senza incognita a secondo membro P V P V P V isolare l incognita V dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente P P V P V V P Ricavare x ( ) ( ) a+ x : x b+ c : c trasformare in frazioni a+ x b+ c x c c a+ x b+ c x calcolare il minimo comune denominatore ( cx ) ( ) ( ) eliminare i denominatori, moltiplicare per cx entrambi i membri cx cx c a+ x b+ c x eliminare le parentesi e svolgere i calcoli ( ) ( ) ca+ cx bx+ cx trasportare tutti i termini con l incognita a primo membro e cx bx cx ca cx bx ca x c b ca tutti i termini senza l incognita a secondo membro semplificare termini simili (stessa parte letterale) raccogliere la x a fattor comune ( ) isolare l incognita x dividendo entrambi i membri per il coefficiente della x cioè ( c b) ca x c b - 6 -

17 LE FORMULE INVERSE ESERCIZI Risolvi le seguenti formule/equazioni rispetto alle grandezze fisiche/incognite indicate P n l s vt M C I c r t I 00 5 M C+ i t 6 l n l Q mc( T T) m C T v t 5 l λ l ( T T) R ρ s 7 W V 8 9 Q A b h a+ b A h 0 F p A M C 6 C r t 7 l 0 T 0 P P V V P P V + V V P V V P C i t 8 QQ Q r F k r s l 9 V πr h h r W Q 0 b h a b h E E F s E + mv mgh mm F G d E s m h v m d F A F k x x k PV nrt R T A V d g d V p dgh+ P d P atm h 5 atm v v F m t t m v 6 S at N i L B µ 0 d a t i d L - 7 -

18 LE EQUAZIONI ESERCIZI GUIDATI Risolvi l equazione secondo i suggerimenti dati a fianco, come nell esempio Es Equazione x x 5 Porta a sinistra dell uguale, primo membro, i termini contenenti l incognita, cambiandoli di segno e a destra dell uguale i termini che non la contengono. esegui i calcoli dividi entrambi i membri per il coefficiente dell incognita ed esegui i calcoli x x 5 x x ; soluzione x Equazione 9x+ x 6x Porta a sinistra dell uguale, primo membro, i termini contenenti l incognita, cambiandoli di segno e a destra dell uguale i termini che non la contengono. esegui i calcoli dividi entrambi i membri per il coefficiente dell incognita ed esegui i calcoli Equazione x+ 5x+ x Porta a sinistra dell uguale, primo membro, i termini contenenti l incognita, cambiandoli di segno e a destra dell uguale i termini che non la contengono. esegui i calcoli dividi entrambi i membri per il coefficiente dell incognita ed esegui i calcoli Risolvi le seguenti equazioni senza l aiuto dei suggerimenti ) x-7x-5 ) x+x ) x-6 ) x+ 5) 6-x 6) x-x 7) x+x

19 EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI Risolubilità di un equazione di I grado ridotta in forma normale del tipoaxb: se il coefficiente dell incognita è diverso da zero,a 0, scrivi equazione DETERMINATA se il coefficiente dell incognita e il termine noto sono nulli,a0 e b0, scrivi equazione INDETERMINATA; se il coefficiente dell incognita è nullo e il termine noto è diverso da zero, a0 e b 0, scrivi equazione IMPOSSIBILE; Completa la tabella per ridurre un equazione in forma normale e per stabilirne la risolubilità. Equazione Riduci l equazione nella forma normale determinata del tipo indeterminata axb impossibile Es x x + x+ /x /x + x+ x determinata Es x+ ( x+)+x+5 Es ( x ) ( x ) x+ x+ x +x+5 0x 0 x+ x+ x+ 0x indeterminata impossibile ( x ) ( x )+6x ( y+) ( y+5) y ( x )( x )+ x+7 ( x )+ x5( x )+x Risolvi le seguenti equazioni determinando quali soluzioni ammette: ) ( x ) 7( x)x+ ) x 96x+ ) ( x+ )+ x 6 ( x+) ) ( x ) 5( +x)( x)+x+ 5) x 5x+ +x - 9 -

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