f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

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1 Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x, y, z) R 3, e sia X il sottospazio di R 3 generato dai vettori x 1 = (1, 2, 3) e x 2 = (3, 2, 1). Determinare il parametro reale k in modo che l immagine del vettore v = (1, 1, ) appartenga al sottospazio X. 2. Data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita da per ogni (x, y, z) R 3, (a) mostrare che è invertibile, f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) (b) determinare l applicazione lineare inversa. 3. Data l applicazione lineare F : R 2 [x] R 3 definita da per ogni f(x) R 2 [x], F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) (a) scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche, (b) scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi (c) stabilire se f è un isomorfismo, B = {x + 1, x 2 x, x 2 + x + 1} C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, (d) trovare la controimmagine del vettore v = (1, 2, 1). 4. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da per ogni x R 3, dove a = (1, 1, 1). f(x) = x + a x (a) Determinare l insieme F dei punti fissi di f. (b) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica. (c) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B = {b 1, b 2, b 3 } fissata nel dominio e alla base canonica fissata nel codominio, dove b 1 = (1, 1, 2), b 2 = (3, 1, ), b 3 = (2,, 3). 5. Data l applicazione lineare f : R 4 R 3 rappresentata dalla matrice A = rispetto alla base B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } di R 4 e alla base C = {c 1, c 2, c 3 } di R 4, dove b 1 = (1, 1, 0, 3) c 1 = (1,, 3) b 2 = (1, 0, 0, ) c 2 = (2, 0, 1) b 3 = (1,, 0, 2) c 3 = (1, 2, 2), b 4 = (0, 1, 2, ) 1

2 (a) determinare il nucleo di f, (b) determinare l immagine di f. 6. Sia f : R 4 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z, t) = (x + y 2z + t, x + 2y + 2z t, x y z + t) per ogni (x, y, z, t) R 4, e sia g : R 3 R 4 base canonica da l applicazione lineare definita sui vettori della g(e 1 ) = e 1 + e 2 e 3 g(e 2 ) = e 1 + 2e 2 + e 3 e 4 g(e 3 ) = e 1 e 2 + 2e 3 + 2e 4. Scrivere la matrice che rappresenta le applicazioni composte g f e f g rispetto alle basi canoniche. 7. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x 3y z, 2x + 2y 2z, x + 4y z) per ogni (x, y, z) R 3. Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alla base B = {b 1, b 2, b 3 } fissata nel dominio e alla base C = {c 1, c 2, c 3 } fissata nel codominio, dove b 1 = (1, 1, 2), b 2 = (1,, 1), b 3 = (2,, 1) c 1 = (1, 0, ), c 2 = (1,, ), c 3 = (0,, 1). 8. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare rappresentata dalla matrice A = rispetto alla base B = {b 1, b 2, b 3 } fissata nel dominio e alla base C = {c 1, c 2, c 3 } fissata nel codominio, dove (a) Stabilire se f è un automorfismo. b 1 = (1, 0, 1), b 2 = (1,, 1), b 3 = (0, 1, ) c 1 = (1, 1, ), c 2 = (1,, 0), c 3 = (, 1, 1). (b) Determinare il nucleo e l immagine di f. (c) Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica (fissata sia nel dominio sia nel codominio). (d) Scrivere le equazioni di f. 9. Scrivere le equazioni dell applicazione lineare f : R 3 R 3 data dalla simmetria (ortogonale) rispetto al piano π : 2x y + 3y = Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 2n + 1 sul campo reale R. Stabilire se esiste un applicazione lineare f : V V tale che f 2 = V, ossia tale che f(f(v)) = v per ogni v V. 11. Sia f : U V un applicazione lineare iniettiva e sia g : V W un applicazione lineare suriettiva tali che Imf + Kerg = V. Se dim U > dim W, è possibile che la somma Imf + Kerg sia diretta? 2

3 Soluzioni 1. Si ha f(v) = f(1, 1, ) = (k, 2, 3). Poiché f(v) X se s solo se f(v) dipende linearmente da x 1 e da x 2, si deve avere k 2 3 = 0 e questo accade per k = La matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica è A = (a) Poiché A = 0, l applicazione f è invertibile. (b) Poiché si ha A = , 0 1 f (x, y, z) = ( 2x + 2y + z, x y, x + z). 3. (a) Poiché le immagini dei vettori della base canonica sono F (1) = (1, 1, 1) F (x) = (0, 1, 2) F (x 2 ) = (0, 2, 4), la matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche è A = (b) Poiché F (x + 1) = (1, 2, 3) = 3(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 0) F (x 2 x) = (0, 0, 2) = 2(1, 1, 1) 2(1, 1, 0) F (x 2 + x + 1) = (1, 3, 7) = 7(1, 1, 1) 4(1, 1, 0) 2(1, 0, 0), la matrice rappresentativa rispetto alle basi B e C è B = (c) Poiché A = 2 0, l applicazione lineare f è invertibile, ossia è un isomorfismo. (d) Dato un polinomio f(x) = a + bx + cx 2 si ha F (f(x)) = (a, a + b + c, a + 2b + 4c). Quindi F (f(x))) = v se e solo se (a, a + b + c, a + 2b + 4c) = (1, 2, 1), ossia se e solo se a = 1 a = 1 a + b + c = 2 b = 2 a + 2b + 4c = 1 c =. Quindi la controimmagine di v è f(x) = 1 + 2x x 2. 3

4 4. (a) L insieme F dei punti fissi di f è l insieme dei vettori x R 3 tali che f(x) = x, ossia tali che a x = 0. ossia tali che x sia parallelo ad a. Pertanto F = a = (1, 1, 1). (b) Si ha f(e 1 ) = e 1 + a e 1 = (1, 1, ) f(e 2 ) = e 2 + a e 2 = (, 1, 1) f(e 3 ) = e 3 + a e 3 = (1,, 1). Pertanto, la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica è A = (c) Si ha f(b 1 ) = b 1 + a b 1 = (2, 0, 2) f(b 2 ) = b 2 + a b 2 = (1, 5, 3) f(b 3 ) = b 3 + a b 3 = (6, 2, 0). Pertanto, la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi B ed E B = è 5. (a) Iniziamo col determinare il nucleo di A. Tale nucleo ha equazione Ax = 0, ossia è determinato dal sistema x + y + 3z + t = 0 x 3y z + t = 0 x y + z + t = 0 dal quale si ricava z = y e t = x + 2y. Pertanto, si ha KerA = {(x, y, y, x + 2y) : x, y R} = (1, 0, 0, ), (0, 1,, 2). Quindi, il nucleo di f è generato dai due vettori ossia Kerf = (2,, 4, 4). x 1 = b 1 b 4 = (1, 0, 2, 4) x 2 = b 2 b 3 + 2b 4 = (0, 3, 3, 4), (b) Poiché dim Kerf = 2, per il teorema delle dimensioni si ha dim Imf = 4 Kerf = 4 2 = 2. Poiché le prime due colonne di A sono linearmente indipendenti, si ha ImA = (1, 1, 1), (1, 3, ). Di conseguenza, l immagine di f è generata dai due vettori ossia Imf = (4, 3, 6), ( 6, 1, 2). y 1 = c 1 + c 2 + c 3 = (4, 3, 6) y 2 = c 1 3c 2 c 3 = ( 6, 1, 2), 6. Le matrici che rappresentano f e g, rispetto alle basi canoniche, sono A = M(f) = e B = M(g) =

5 Pertanto, le matrici che rappresentano le applicazioni composte sono M(g f) = M(g)M(f) = BA = = e M(f g) = M(f)M(g) = AB = = Primo modo. Utilizzando la definizione di f, si ha f(b 1 ) = f(1, 1, 2) = ( 4, 0, 3) = 5c 1 + c 2 c 3 f(b 2 ) = f(1,, 1) = (3, 2, 4) = 3c 2 c 3 f(b 3 ) = f(2,, 1) = (4, 0, 3) = 5c 1 c 2 + c 3. Pertanto, i vettori delle coordinate delle immagini f(b 1 ), f(b 2 ) e f(b 3 ) rispetto alla base C fissata nel codominio sono f(b 1 ) C = 5 1, f(b 1 ) C = 0 3, f(b 1 ) C = 5. 1 Pertanto, la matrice che rappresenta f rispetto alle due basi B e C Secondo modo. Sia H la matrice che rappresenta l applicazione identità rispetto alle basi B ed E. Sia K la matrice che rappresenta l applicazione identità rispetto alle basi C ed E. Allora si ha H = [ b 1E b 2E b 3E ] = K = [ c 1E c 2E c 3E ] = Se E è la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica, allora 1 3 E = e A = K EH. Quindi, si ha ossia A = = = = è 5

6 8. (a) Poiché A = 0, f è un automorfismo. (b) Poiché f è un automorfismo, f è biunivoca e quindi è iniettiva e suriettiva. Di conseguenza, si ha Kerf = {0} e Imf = R 3. (c) Primo modo. Poiché la colonna j-esima della matrice rappresentativa A dà le coordinate dell immagine del vettore b j, si ha f(b 1 ) = c 1 + 2c 2 + c 3 = (2, 0, 0) = 2e 1 Poiché f(b 2 ) = c 1 + c 2 c 3 = (3,, 2) = 3e 1 e 2 2e 3 f(b 3 ) = c 2 c 3 = (2, 2, ) = 2e 1 2e 2 e 3. b 1 = e 1 + e 3 b 2 = e 1 e 2 + e 3 b 3 = e 2 e 3, per la linearità di f, si ottiene il seguente sistema f(e 1 ) + f(e 3 ) = 2e 1 f(e 1 ) f(e 2 ) + f(e 3 ) = 3e 1 e 2 2e 3 dal quale si ottiene f(e 2 ) f(e 3 ) = 2e 1 2e 2 e 3 f(e 1 ) = 5e 1 3e 2 3e 3 f(e 2 ) = e 1 + e 2 + 2e 3 f(e 3 ) = 3e 1 + 3e 2 + 3e 3. Pertanto, la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica è 5 3 E = Secondo modo. Sia H la matrice che rappresenta l applicazione identità rispetto alle basi B ed E. Sia K la matrice che rappresenta l applicazione identità rispetto alle basi C ed E. Allora si ha H = [ b 1E b 2E b 3E ] = K = [ c 1E c 2E c 3E ] = Se E è la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica, allora A = K EH e quindi E = KAH. Pertanto, si ha E = = = =

7 (d) Poiché l applicazione f è definita da per ogni (x, y, z) R Ex = x 5x y 3y y = 3x + y + 3z, z 3x + 2y + 3z f(x, y, z) = (5x y 3y, 3x + y + 3z, 3x + 2y + 3z) 9. Per determinare la matrice rappresentativa della simmetria f, basta scegliere una base opportuna. Una tale base può essere scelta come l insieme formato dai vettori di una base del sottospazio V π associato al piano π e da un vettore a ortogonale al piano π stesso. Poiché il generico vettore di V π ha la forma v = (x, 2x + 3z, z), si ha V π = v 1, v 2, dove v 1 = (1, 2, 0) e v 2 = (0, 3, 1). Inoltre, un vettore ortogonale a π è dato, ad esempio, dal vettore a = (2,, 3). Scegliamo, quindi, come base di R 3, l insieme B = {v 1, v 2, a}. L azione dell applicazione f sui vettori di questa base si determina facilmente. Infatti, si ha f(v 1 ) = v 1 f(v 2 ) = v 2 f(a) = a. Di conseguenza, rispetto a questa base (fissata sia nel domino che nel codominio), la matrice rappresentativa di f è A = La matrice che rappresenta l applicazione identità rispetto alle basi B ed E H = [ v 1E v 2E a E ] = Pertanto, la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica è E = HAH, ossia In conclusione, si ha E = = = = f(x, y, z) = 1 (3x + 2y 6, 2x + 6y + 3, 6x + 3y 2z). 7 è 10. Sia A una matrice che rappresenta f rispetto a una data base di V. Se f 2 = V, allora si dovrebbe avere A 2 = I e quindi A 2 = I, ossia A 2 = () 2n+1 I, ossia A 2 =. Poiché quest ultima condizione è impossibile sul campo reale, non è possibile che esista un applicazione lineare f che soddisfi la proprietà richiesta. 7

8 11. Poiché f è iniettiva, si ha dim Kerf = 0. Poiché g è suriettiva, si ha dim Img = dim W. Quindi, per il teorema delle dimensioni, si ha ossia dim U = dim Kerf + dim Imf = dim Imf dim V = dim Kerg + dim Img = dim Kerg + dim W dim Imf = dim U dim Kerg = dim V dim W. Pertanto, essendo Imf + Kerg = V, per la formula di Grassmann, si ha dim(imf Kerg) = dim Imf + dim Kerg dim(dim Imf + dim Kerg) = dim U + dim V dim W dim V = dim U dim W. Poiché per ipotesi si ha dim U > dim W, si ha dim(imf Kerg) 1 e la somma Imf +Kerg non può essere diretta. 8