ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1

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1 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1 Logica e connettivi logici Esercizio 0.1. Si costruiscano le tabelle di verità delle seguenti espressioni booleane; cioè, al variare dei valori di verit delle variabili P, Q, R, si determino i valori di verità delle seguenti espressioni booleane. i. P P ( principio di non contraddizione); ii. P P ( principio del terzo escluso); iii. (P Q) ( (P Q)) = ( P = Q) iv. (P (P Q)) Q ( modus ponens); v. ( Q ( P Q)) P ( modus tollens); vi. ((P Q) (Q R)) (P R). vii. P Q, ( P Q); viii. P Q, Q P, Q P ; ix. (P Q) = ( P Q); (P Q) = ( P Q); ( leggi di De Morgan) x. P (Q R), (P Q) R; xi. P (Q R), (P Q) (P R). Esercizio 0.2. Sia X un insieme e A X X. Possiamo costruire tramite quantificatori varie espressioni: 1. x X y X (x, y) A, 1. y X x X (x, y) A, 2. x X y X (x, y) A, 2. y X x X (x, y) A, 3. x X y X (x, y) A, 3. y X x X (x, y) A, 4. x X y X (x, y) A, 4. y X x X (x, y) A. Alcune di queste proposizioni sono equivalenti fra loro, quali? Mettendo x = y al posto di (x, y) A, si calcolino i valori booleani delle espressioni così ottenute. Si scrivano le negazioni di 1,2,3,4. Esercizio Si scrivano le negazioni delle seguenti proposizioni i. x R y R z R x < y + z ii. x R ( y R y = x) ( z R z > x) iii. x R ( y R y > x 2 + 1) ( z R z = x) 1

2 2 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1 Elementi di insiemistica Esercizio 0.4. Siano A, B, C insiemi. Si dimostrino le seguenti uguaglianze tra insiemi: i. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C (associatività); ii. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (distributività); Esercizio 0.5. Introdotto un insieme X, si definisce come complementare dell insieme A in X l insieme A c := X \ A. Si dimostrino le seguenti uguaglianze (leggi di De Morgan): i. (A B) c = A c B c ; ii. (A B) c = A c B c. Esercizio 0.6. Nel libro di testo si è scelto per chiarezza espositiva di non risparmiare sugli assiomi; ad esempio, avremmo potuto introdurre la coppia ordinata a; b come l insieme C[a, b] := {{a}, {a, b}}. Mostrare che questo insieme soddisfa l assioma 5, cioè C[a, b] = C[x, y] se e solo se a = x e b = y. Esercizio 0.7. Sia Ω una famiglia di insiemi. Allora esiste un insieme X tale che X / Ω. Inoltre questo insieme X può essere scelto in modo che X / X. Relazione tra insiemi e proposizioni Esercizio 0.8. Dato un insieme X e una propietà che dipende da x X (vale a dire un predicato a un argomento P [x]), si definisca A[P ] := {x X : P [x] è vera}. Siano P [x], Q[x] predicati a un argomento, si verifichino le relazioni 1. A[P ] A[Q] = A[P Q]; 2. A[P ] A[Q] = A[P Q]; 3. ( x X P [x] Q[x]) A[P ] A[Q]; 4. X \ A[P ] = A[ P ]. Funzioni Esercizio 0.9 (su insiemi contenuti in un insieme ed appartenenti allo stesso insieme). Determinare due insiemi A e B tali che si abbia ( 1 ): A B e A B.

3 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1 3 Esercizio 0.10 (sul prodotto cartesiano). Si scelga un insieme A come campione e ci si renda conto di come siano fatti gli insiemi che seguono ( 2 ): P[A], P[P[A]], A P[A], A P[P[A]], P[A P[A]]. Esercizio 0.11 (sul prodotto cartesiano). Siano A e B insiemi. ( 3 ): Si dimostri che B = e A = ( 4 ): È vero che A B = B A se e solo se A = B? Esercizio 0.12 (sull insieme delle funzioni da un insieme ad un altro). Siano X e Y insiemi qualsiasi. Si dimostri quanto segue 1 ( 5 ): Y = { }, in particolare, = { }, ( 6 ): X =, per X. Esercizio 0.13 (sulle funzioni idempotenti). Sia X un insieme non vuoto. Una funzione f : X X è detta idempotente su X, se ( 7 ) f[f[x]] = f[x] perognix R. Si scelga un insieme finito X e si elenchino tutte le funzioni idempotenti. Nel caso che X contenga 1, 2, 3, 4 o 5 elementi si calcoli il numero di funzioni idempotenti su X. Esercizio 0.14 (sulle funzioni involutive o involuzioni). Sia X un insieme non vuoto. Una funzione f : X X è detta involuzione su X, se ( 8 ) f[f[x]] = x per ogni x R Si scelga un insieme finito X e si elenchino tutte le funzioni involutive. Nel caso che X contenga 1, 2, 3, 4 o 5 elementi si calcoli il numero di involuzioni. Esercizio Sia X := {0, 10, 3, 5} e Y := {3, 4, 1, 5}. Quali dei seguenti insiemi è una funzione da X a Y? ( 9 ): {(3; 3), (5; 5), (0; 0), (10; 1)}, {(3; 3), (5; 5), (0; 3), (10; 1)}, ( 10 ): {(3; 3), (5; 5), (3; 1), (0; 3), (10; 1)}, {(3; 3), (0; 3), (10; 1)}. Esercizio Sia X := {0, 10, 3, 5} e Y := {5, 3, 4, 1, 5}. Quali dei seguenti insiemi è una funzione da X a Y e quale è una funzione iniettiva e/o suriettiva? ( 11 ): {(3; 3), (5; 5), (0; 4), (10; 1)}, {(3; 3), (5; 5), (0; 5), (10; 1)}, {(3; 3), (5; 5), (0; 3), (10; 1)}. 1 f Y X f X Y, x X y Y ( f ({x} Y ) = {(x; y)} ) f X Y, X = {x X : y Y ( f ({x} Y ) = {(x; y)} ) }.

4 4 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1 Esercizio Sia X un insieme. Si dimostri che P[X] X, cioè si dimostri che esiste un sottoinsieme di X che non appartiene ad X stesso. [Sugg.: si ragioni come nel Paradosso di Russell; es di [Lez].] Esercizio Siano A, B insiemi e x, y oggetti qualsiasi. Si dimostrino le seguenti proprietà: (4): x A {x} A (5): x = y x {y} (6): x = y {x} {y} (7): A B A P[B] 1. Alcune soluzioni viste in aula Esercizio 9. (A proposito dell uguaglianza) Si dimostri che l uguaglianza è riflessiva, simmetrica e transitiva. In altre parole si dimostri (usando gli assiomi) che ognuna delle seguenti tre proprietà (1): (riflessività) x = x, (2): (simmetria) x = y = y = x (3): (transitività) x = y, y = z = x = z vale per ogni oggetto x, y, z. Soluzione: Si usi l assioma 1 (principio di Leibniz). La relazione di appartenenza e quella di inclusione sono anch esse riflessive, simmetriche e transitive? Esercizio 10. (A proposito della relazione di appartenenza) Quale di queste tre proprietà (1 ): (riflessività) x x, (2 ): (simmetria) x y = y x (3 ): (transitività) x y, y z = x z vale per ogni insieme x, y, z In caso di risposta affermativa, si dia una dimostrazione; invece, in caso di risposta negativa si dia un controesempio. Soluzione: Nessuna delle tre proprietà vale. Ecco i tre controsempi. Per la riflessività, si osservi che, grazie all assioma 8 (sull insieme vuoto). Per la simmetria si noti che { }, ma { }, grazie all assioma 7 (sul singoletto) e all assioma 8 (sull insieme vuoto). Infine, a proposito della transitività, si osservi che { } e { } {{ }}, ma {{ }} grazie all assioma 7 (sul singoletto) all assioma 8 (sull insieme vuoto).

5 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1 5 Esercizio 11. (A proposito della relazione di inclusione) Quale di queste tre proprietà (1 ): (riflessività) A B, (2 ): (simmetria) A B = B A (3 ): (transitività) A B, B C = A C vale per ogni insieme A, B, C. In caso di risposta affermativa, si dia una dimostrazione; invece, in caso di risposta negativa si dia un controesempio. Soluzione: La riflessità e la transitività valgono; la loro dimostrazione segue immediatamente dalla definizione stessa di inclusione. Invece, la simmetria non vale; un controesempio è ottenuto ponendo A := e B := { }.