CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato

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1 Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls (Znichelli) Esercizi di Anlisi Mtemtic 1 S. Sls, A. Squellti (Znichelli) Oppure Elementi di nlisi mtemtic 1. Versione semplifict per i nuovi corsi di lure P.Mrcellini, C.Sbordone (Liguori) Esercitzioni di mtemtic vol.1.2 P.Mrcellini, C.Sbordone (Liguori) 2 1

2 ! Simbologi Apprtiene Non pprtiene Esiste Esiste unico Contenuto strettmente Contenuto Contiene strettmente contiene 3 : Implic Se e solo se Diverso Per ogni Tle che 4 2

3 Minore o ugule Mggiore o ugule lf bet gmm, gmm,, delt epsilon sigm rho 3

4 Cenni di teori degli insiemi Per rppresentre un insieme bbimo tre possibilità: 1) Rppresentzione estensiv A = {0, 1, 2, 3, 4} Cenni di teori degli insiemi 2) Rppresentzione intensiv A = {x x N e x < 5} 3) Rppresentzione con digrmmi di Eulero - Venn

5 Operzioni tr gli insiemi Un insieme può essere contenuto in un ltro A 0 3 B Operzioni tr gli insiemi Si dice llor che B è un sottoinsieme di A: B A Insieme vuoto (insieme privo di elementi) 5

6 Operzioni tr gli insiemi Digrmmi di Eulero - Venn Intersezione Unione Complementre Operzioni tr gli insiemi Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formto dgli elementi comuni d A e B. A A B = {x : x A e x B} B 6

7 Operzioni tr gli insiemi Dti d esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l intersezione tr A e B è dt dl seguente insieme: A B = {2, 4} Operzioni tr gli insiemi Dti d esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6}, l intersezione tr A e B è dt dl seguente insieme: X 7

8 Operzioni tr gli insiemi Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che pprtengono d lmeno uno dei due insiemi dti. A B = {x X : x A o x B} A X B Operzioni tr gli insiemi Dti d esempio i due insiemi A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l unione tr A e B è dt dl seguente insieme: A B = {1,2,3,4,5,6} 8

9 Operzioni tr gli insiemi Dti d esempio i due insiemi A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l unione tr A e B è dt dl seguente insieme: A B = {x: x A o x B} Operzioni tr gli insiemi Si definisce complementre di B rispetto ll insieme X, l insieme degli elementi che stnno in X m non in B. X \ B = B c = {x X e x B} B X 9

10 Operzioni tr gli insiemi Dti due insiemi non necessrimente distinti A e B, si definisce prodotto crtesino il nuovo insieme costituito d tutte le coppie ordinte (, b) con A, bb. A x B = {(,b) : A e b B} GLI INSIEMI NUMERICI N Z Q R C 10

11 L INSIEME N L insieme dei numeri nturli è così denominto perché viene spontnemente utilizzto per ssocire gli oggetti il concetto strtto di numero 0,1,2,3,4,..., L ddizione e l moltipliczione sono operzioni ben definite (interne) in N (il risultto è sempre un numero nturle) 3+4=7 3x4=12 6+8=14 6x8=48 10x3= =13 11

12 L INSIEME dei numeri interi Z Per permettere l sottrzione tr numeri nturli si introduce l insieme dei numeri interi L insieme Z dei numeri interi:,... 3, 2, 1,0, 1, 2, 3,... N Z N Z 12

13 Le operzioni in Z L ddizione, l sottrzione e l moltipliczione sono operzioni ben definite (interne) in Z (il risultto è sempre un numero intero reltivo) -3+4= = =+7 (-3). (-4)= +12 (+3). (+4)= +12 (+3). (-4) = -12 Le operzioni in Z L divisione non è ben definit: non sempre si può eseguire (-30) : (-10) = +3 (+4) : (+5) =? 13

14 L INSIEME Q dei numeri rzionli Per dre un rispost qulsisi divisione (con denomintore diverso d zero), si introduce l insieme dei numeri rzionli m Q :, n 0, m, n Z n L INSIEME Q dei numeri rzionli Nturli Interi reltivi Decimli finiti reltivi Decimli infiniti periodici semplici reltivi Decimli infiniti periodici misti reltivi 14

15 N Z Q Q Z N Le operzioni in Q L ddizione, l sottrzione, l moltipliczione e l divisione sono operzioni ben definite in Q (il risultto è sempre un numero rzionle)

16 Le operzioni in Q L operzione di estrzione di rdice non è ben definit, non sempre si può eseguire 9 3 3,? L INSIEME dei numeri Irrzionli Per dre un rispost qulsisi rdicle con rdicndo positivo, si introduce l insieme dei numeri irrzionli

17 L INSIEME dei numeri Reli R L insieme R è costituito dll unione dei numeri rzionli con i numeri irrzionli R Q irrzionli L INSIEME R dei Reli Z N Q R 17

18 Le operzioni in R L ddizione, l sottrzione, l moltipliczione, l divisione e l rdice ennesim con rdicndo positivo sono operzioni ben definite (interne) in R (il risultto è sempre un numero rele) L estrzione di rdice non è ncor ben definit: non sempre si può eseguire cioè in R non si possono risolvere tutte le equzioni L rdice pri di un rele negtivo non si può eseguire in R: x 1 0 non h soluzione in R 18

19 L INSIEME C Si definisce l unità immginri l insieme dei numeri complessi i e si introduce I numeri complessi possono essere espressi nell form lgebric : b z ib Con e numeri reli e i 2 1 Un numero complesso, con il coefficiente dell prte immginri nullo, è un numero rele puro ib, ( b 0) R C 2 x 1 0 in C h soluzione: x i 19

20 C Z N Q R Gli ssiomi dei dei numeri reli Sono definite le operzioni di ddizione (+) e moltipliczione ( ) tr coppie di numeri reli con le seguenti proprietà:, b, c R Proprietà ssocitiv: ( b) c ( b c) 20

21 21 b b b b, Proprietà commuttiv Proprietà distributiv c b c b ) ( Esistenz degli elementi neutri: R 1 1 : 1 R 0 0 : 0 0 ) ( : ) (, R R Esistenz degli inversi: 1 ) ( : 0,, 1 1 R R

22 E definit l relzione di minore o ugule () tr coppie di numeri reli con le proprietà: - Dicotomi: per ogni coppi di numeri reli,b si h b oppure b - Proprietà simmetric: se si h contempornemente b e b llor b - Se b llor vle nche c b c - Se 0 e 0 b llor 0 b, 0 b A, B R Assiom di completezz: sino con l proprietà b, A, b B. non vuoti Allor esiste lmeno un numero rele c : c b, qulunque sino A, b B 22

23 Cenni di Topologi in R 45 Sottoinsiemi di R - INTERVALLI Dti due numeri reli e b, b, si definisce [,b] = {x R : x b} Intervllo Chiuso b (,b) = {x R : < x < b} Intervllo Aperto ],b[ b 23

24 Sottoinsiemi di R - INTERVALLI (,b] e [,b) né CHIUSO né APERTO Si può nche dire che (,b] è chiuso destr e perto sinistr (vicevers per [,b) Sottoinsiemi di R - INTERVALLI [,b) = {x R : x <b} b (,b] = {x R : <x b} b 24

25 Sottoinsiemi di R - INTERVALLI Intervllo Illimitto superiormente chiuso [b,+) = {x R : x b} b + Intervllo Illimitto superiormente perto (b,+) = {x R : x > b} b + Sottoinsiemi di R - INTERVALLI Intervllo Illimitto inferiormente chiuso (-, ] = {x R : x } - Intervllo Illimitto inferiormente perto (-, ) = {x R : x < } - 25

26 Sottoinsiemi di R - INTERVALLI Intervllo Illimitto (-, +) = {x R } - + Sottoinsiemi di R Def: Intorno di centro x 0 e rggio I(x 0, ) =(x 0 -, x 0 + ) cioè {x R : x - x 0 <, >0 } Intorno destro di x 0 (x 0, x 0 + ) cioè {x R : x 0 < x < x 0 +, > 0 } Intorno sinistro di x 0 (x 0 -, x 0 ) cioè {x R : x 0 - < x < x 0, > 0 } 26

27 Sottoinsiemi di R Intorno di : un qulunque intervllo del tipo (-, ) cioè {x R : x < } oppure (,+) cioè {x R : x > } 53 Sottoinsiemi di R Def. A R è limitto se I(0,r) che lo contiene r 0 27

28 Sottoinsiemi di R Def. kr è mggiornte (minornte) per A se: 1) k è confrontbile con ogni xa; 2) xa : x k (x k) Es. i mggiornti di intervlli del tipo (,b), (,b], (-, b), (-, b] stnno nell semirett: b + Sottoinsiemi di R Es. i minornti di intervlli del tipo (,b), (,b], (,+), [,+) stnno nell semirett:

29 Sottoinsiemi di R Def. A è limitto superiormente se kr : x k, xa, k mggiornte di A Es. (0,3), es: k = 3, etc x R: x + 3 2, es: k= -1, k=0.etc Sottoinsiemi di R A è limitto inferiormente se HR : H x, x A, Es. (0,2), H=0, etc H minornte di A x R: x , H= - 3, etc A è limitto se è limitto superiormente e inferiormente 29

30 Sottoinsiemi di R Def. Si definisce estremo superiore di A, e si indic con supa, il minimo dei mggiornti di A, se esiste. Es. [0, 5), 5 è l estremo superiore, [3,7], 7 è l estremo superiore (=mx) (-, 1), 1 è l estremo superiore x R: x 3 3 < 16, x=2 2 è il sup. Sottoinsiemi di R Si definisce estremo inferiore di A, e si indic con infa, il mssimo dei minornti di A, se esiste. Es. (1, +), 1 è l estremo inferiore [2,6], 2 è l estremo inferiore x R: x > 2, x = 1 è l estremo inferiore supa e inf A se esistono sono unici. 30

31 Sottoinsiemi di R Se supa A m 1 = supa = mssimo di A Se infa A m 2 = infa = minimo di A Es. [-1, 3), -1 è il minimo, 3 è l estremo superiore [0,1], 0 è il minimo, 1 è il mssimo (2, +), non limitto superiormente 2 è l estremo inferiore 31

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