Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tensioni normali: applicazioni BOZZA

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1 Lezione n. 1 Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tenioni normali: applicazioni Nel eguito i riportano alcuni eempi di applicazione delle procedure decritte nel paragrao precedente. Si conidereranno le eguenti caratteritice per i materiali impiegati: calcetruzzo: R ck 30 (R ck 30 N/mm ): tenione di progetto: ck 0.83 R ck N / mm 4.90 MPa ck 4.90 cd N / mm MPa γ c 1.6 acciaio per armature: FeB44k ( yk 430 N/mm ): tenione di progetto: yk N / mm 374 MPa γ ε E Eempio #1 Calcolo del dominio reitente di una ezione rettangolare Conideriamo una ezione rettangolare di bae 30 cm (b300 mm), altezza 50 cm (500 mm), ditanza del baricentro delle armature dal bordo della ezione 4 cm (quindi d 40 mm, d-d 460 mm), armatura comprea cotituita da 3Ø16 (A mm ), armatura tea 5Ø0 (A mm ). La ezione in eame è quindi caratterizzata da un rapporto di armatura pari a A' 603 α A 1570 Si determineranno alcuni punti caratteritici del dominio, in particolare quelli corripondenti alle eguenti poizioni dell ae neutro (e delle deormazioni in corripondenza della ibra maggiormente comprea di cl e dell armatura tea, negative e allungamenti): p.to # ae neutro ε c ε Tipo rottura Sezione uniormemente tea: rottura lato acciaio Limite ezione interamente tea: rottura lato acciaio d Condizione di rottura bilanciata d Acciaio teo al limite elatico: ε 3.5 ε rottura lato calcetruzzo Acciaio teo carico: 5 d rottura lato calcetruzzo d' Limite ezione interamente comprea: rottura lato calcetruzzo Sezione uniormemente comprea: rottura lato 7 + calcetruzzo Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

2 l Lezione n. 1 pag. XXI. Campo degli allungamenti Campo degli accorciamenti ε 8 A Allungamento limite dell'armatura 0 d 0 5, 0 3 ε 1 4 O Ae di rierimento delle deormazioni d punto #1, -, ε c -10, ε -10 Ovviamente ance ε -10, da cui (indicando con il egno negativo gli orzi normali di trazione): ' 374 N / mm C' A' ' N 55 N 5.5 kn 374 N / mm T A 6 C 8 + B 4 7 d εc ed tei ozzurt e lc ac iml it ne mia cr occ A N N 587. kn c 0 N / mm C 0 kn e quindi N rdu C + C' + T kn dove il egno negativo evidenzia il atto ce di orzo normale di trazione i tratta. Analogamente: M rdu C C' knmm ( ) ( ) knm punto #, 0, ε c 0, ε -10 Occorre ricavare il valore di ε : d' 40 ε ' : d' : d ε' < ε d 460 L acciaio uperiore è quindi ancora in ae elatica. Di coneguenza i a ε' 40 ' E ε' MPa ε 460 e quindi ' 179 N / mm C' A' ' N N kn Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

3 Lezione n. 1 pag. XXI N / mm T A c 0 N / mm C 0 kn C + C' + T kn N rdu M rdu C C' N N 587. kn ( 50 40) ( ) knmm knm punto #3, 0.59 d, ε c 3.5, ε -10 Ance in queto cao occorre ricavare il valore di ε : 0.59 d mm 119 mm d' ε ' : d' : ε' > ε 119 L acciaio uperiore è quindi nervato, di coneguenza ' 374 MPa C' A' ' N 55 N 5.5 kn ( ) 374 MPa T A N N 587. kn ( 0.8 ) ( ) N kn C 0.85 cd b N rdu C + C' + T kn M rdu C C' ( ) ( 50 40) ( ) knmm 47.1 knm È da notare ce, nel cao peciico della ezione analizzata, la condizione di rottura bilanciata individua ance il punto in cui i a N rdu 0, oia la condizione di aenza di orzo normale. Il atto è abbatanza cauale e, in generale, la condizione di rottura per leione pura non comporta la concomitanza con il bilanciamento delle maime deormazioni a rottura. punto #4, /( ε ), ε c 3.5, ε ε d mm ε Dovremmo ance in queto cao calcolare la deormazione nell acciaio compreo; è tuttavia evidente ce, dal momento ce ripetto al punto precedente (dove già l acciaio compreo riultava ad una deormazione maggiore ripetto a ε ) l ae neutro i trova in una poizione ineriore, l acciaio compreo dovrà riultare nervato ance in queto cao. Inatti i a: d' ε ' : ( d' ) : ε' > ε 119 e quindi ' 374 MPa C' A' ' N 55 N 5.5 kn 374 MPa T A N N 587. kn ( 0.8 ) ( ) N kn C 0.85 cd b N rdu C + C' + T kn M rdu C C' ( ) ( 50 40) ( ) knmm knm Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

4 Lezione n. 1 pag. XXI.4 punto #5, d, ε c 3.5, ε 0 Ance in queto cao l acciaio compreo è nervato d' ε ' : d' : ε' > ε 460 mentre l acciaio teo è carico, quindi ' 374 MPa C' A' ' N 55 N 5.5 kn 0 T 0 kn ( ) ( 0.8 ) ( ) N kn C 0.85 cd b N rdu C + C' + T kn M rdu C C' ( ) ( 50 40) knmm knm punto #6,, ε c 3.5, ε d / Analogamente al cao precedente l acciaio uperiore è evidentemente nervato d' ε ' : d' : ε' > ε 500 mentre l acciaio ineriore è anc eo compreo al valore d' 40 ε : d' : ε' < ε 500 quindi in campo elatico; la tenione nell armatura ineriore vale ε 40 E ε MPa ε 500 Si a quindi: ' 374 MPa C' A' ' N 55 N 5.5 kn ( ) 58 MPa T A N N 91.1 kn ( 0.8 ) ( ) N kn C 0.85 cd b N rdu C + C' + T kn M rdu C C' ( ) ( 50 40) 91.1 ( 50 40) knmm knm punto #7, +, ε c, ε La ituazione di ezione uniormemente comprea è ovviamente caratterizzata dallo nervamento di entrambe le armature (ce riultano compree) e quindi i a ' 374 MPa C' A' ' N 55 N 5.5 kn 374 MPa T A N N 587. kn C 0.85 cd b N kn E da notare ce in queto cao non i ua lo tre-block, in quanto il calcetruzzo è ottopoto ad una tenione uniorme, e quindi è l intera area ad intervenire nella ormula della riultante. Del reto, la Normativa riciede ce, per poizioni dell ae neutro eterne alla ezione e ezione interamente comprea, l altezza del diagramma rettangolare dello tre-block ia pari a Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

5 Lezione n. 1 pag. XXI.5 e quindi, per ce tende a, converge al valore. Inoltre la riultante del calcetruzzo paa per il baricentro della ezione, quindi non dà contributo al momento lettente ultimo. N rdu C + C' + T kn M rdu C' 5.5 ( 50 40) 587. ( 50 40) knmm knm Il valore è ciaramente uguale, a parte il egno, a quello ricavato per il punto #1. Ricapitolando quindi i a: p.to # ae neutro Tipo rottura 1-0 Sezione uniormemente tea: rottura lato acciaio Limite ezione interamente tea: rottura lato acciaio N rdu [kn] M rdu [knm] d Condizione di rottura bilanciata d Acciaio teo al limite elatico: ε rottura lato calcetruzzo 5 d Acciaio teo carico: rottura lato calcetruzzo 6 Limite ezione interamente comprea: rottura lato calcetruzzo 7 + Sezione uniormemente comprea: rottura lato calcetruzzo Occorre ricordare ce la normativa impone una limitazione ul maimo orzo normale (di compreione) ce può eere applicato alla ezione. Il valore i trova riducendo la tenione maima del calcetruzzo introducendo un valore di γ c maggiorato del 5% (e quindi pari a ) ed ipotizzando una condizione di deormazione uniorme (pari al ) nell intera ezione. Si a quindi: ' 374 MPa C' A' ' N 55 N 5.5 kn 374 MPa T A N N ck 4.90 cd 1.45 N / mm 1.45 MPa 1.5 γ.00 c C 0.85 cd b N kn N ma C + C' + T kn 587. kn Nella igura eguente è riportato il dominio ce i è ottenuto, unitamente a quello ce i arebbe ottenuto utilizzando molti più punti, e coniderando ance valori negativi per la ollecitazione leionale (oia ritenendo tea la parte uperiore della ezione e comprea quella ineriore). Si può notare come, ance con un numero limitato di punti, i ottenga comunque una buona approimazione dell eettivo andamento del dominio reitente. Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

6 Lezione n. 1 pag. XXI.6 M [knm] N [kn] Eempio # Progetto e veriica di una ezione rettangolare emplicemente inlea Si upponga di dover progettare una ezione rettangolare in grado di reitere ad un momento ollecitante M du 0 tm00 knm in aenza di orzo normale (N du 0). Si auma b5 cm (50 mm), d 4 cm (40 mm), e i celga α0.5 (armatura comprea pari alla metà di quella tea). La condizione di rottura bilanciata e di aenza di orzo normale impone ce ω α e quindi i ottiene la diequazione di econdo grado α α ' cd b d d d Mdu ( 1 α) ( 1 α) d [ ( ) d ] 10 in cui i ono epree tutte le grandezze in N e mm. Riolvendo l equazione di uguaglianza tra momento reitente e momento ollecitante d 7386 d 10 0 i ottiene (come radice poitiva) d 403 mm e quindi la diequazione riulta oddiatta e d 403 mm 5 6 Nma 7 Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

7 Lezione n. 1 pag. XXI.7 Si aume d410 mm ( mm) e i ottiene A ω b d cd ω A 1501 mm b d cd 374 per cui i può cegliere un armatura tea pari, ad eempio, a 5Ø0 (A mm ); l armatura comprea riulta, di coneguenza, pari a A ' α A mm equivalente, ad eempio, a 4Ø16 (A mm ). L armatura dipota in zona tea ornice una percentuale ripetto all area totale della ezione di conglomerato pari a A 1570 ρ % b quindi uperiore ripetto al minimo ricieto (0.5%). È a queto punto emplice determinare i valori di orzo normale e momento reitente corripondenti alla ezione celta, in condizioni di rottura bilanciata: 0.59 d mm 106 mm d' ε ' : ( d' ) : ε' > ε 106 L acciaio uperiore è quindi nervato, di coneguenza ' 374 MPa C' A' ' N N kn 374 MPa T A N N 587. kn ( ) N 80.4 kn C C + C' + T kn N rdu M rdu C C' d' T d 80.4 ( ) ( 5 40) ( 410 5) 1546 knmm 15.5 knm Quindi i è ottenuto un valore dello orzo normale reitente non nullo (ma proimo a zero) ed un valore del momento reitente leggermente più elevato (a caua delle necearie approimazioni introdotte, pecialmente nella celta delle armature). Il calcolo di progetto può quindi diri concluo e la veriica della ezione è oddiatta. Volendo individuare eattamente il valore del momento reitente in aenza di orzo normale, dovremmo riolvere l equazione in N rdu 0 C + C' + T 0 ( 0.8 ) + A' ' A cd b A A' ' A A' ' cd b 0.68 cd b quindi (dato ce quai certamente, pur eendo incognito, entrambe le armature riulteranno nervate) ( A A' ) ( ) mm 0.68 cd b oia > 0.59 d 410 quindi iamo in preenza di una rottura non più bilanciata ma leggermente potata vero la rottura lato calcetruzzo, con l armatura comprea nervata: Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

8 Lezione n. 1 pag. XXI.8 d' ε ' > ε 108 In queta ituazione di rottura i a C' A' ' N N kn T A N N 587. kn ( ) N 85.7 kn C C + C' + T kn N rdu M rdu C C' d' T d 85.7 ovviamente maggiore (di circa l 8%) ripetto al momento ollecitante. ( ) ( 5 40) ( 410 5) 1601 knmm 16. knm Eempio #3 Progetto e veriica di una ezione rettangolare preo-inlea (pilatro) Supponiamo di dover progettare una ezione rettangolare di bae b300 mm, in grado di reitere ad un momento ollecitante M du 40 tm 400 knm in preenza di uno orzo normale pari a N du 50 t 500 kn. Conviene inizialmente individuare il valore dell eccentricità Mdu 400 e m 0.8 m 800 mm Ndu 500 valore ce non riulta troppo piccolo da poter aimilare il regime di orzo come proimo ad una compreione emplice (oia tale da tracurare la preenza del momento lettente), e, contemporaneamente, non coì grande da ritenere la ezione come emplicemente inlea (e quindi tracurare la preenza dello orzo normale). Di coneguenza, la ituazione individuata, corriponde probabilmente ad una rottura ce (ad eccentricità iata) vede la poizione dell ae neutro interna alla ezione. Ci i può rendere conto dell aermazione appena atta, coniderando il eguente calcolo. Se i avee oltanto orzo normale, ed ipotizzando un armatura comprea uguale a quella tea, con una percentuale totale di armatura pari all 1% ρ + ρ' 0.01 i avrebbe (ipotizzando un valore di d 40 mm) cd N rdu 0.85 b + ( A + A' ) Ndu.0 e quindi cd 0.85 b b Ndu.0 cd 0.85 b b Ndu.0 da cui Ndu mm 161 mm cd b Ovviamente la ezione eettiva avrà dimenioni enz altro maggiori, ma la valutazione eettuata ci permette di aermare ce il valore dell eccentricità è uicientemente grande ripetto alla dimen- Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

9 Lezione n. 1 pag. XXI.9 ione traverale della ezione ce deriverà dal calcolo, per cui i può procedere ipotizzando una poizione dell ae neutro interna alla ezione. Eettuando quindi il calcolo di progetto, con le tee ipotei vite in precedenza, i ottiene Ndu mm 158 mm 0.68 cd b A ρ 0.5% b d ρ d d + ( e 0.4 ) cd d + d 158 ( ) d + 79 d ce ornice la radice poitiva d 619 mm Cercando di cegliere una ezione con lati multipli di 5 cm, i può cegliere d660 mm, 700 mm (*), ottenendo A A' mm mm 1140 mm Tale armatura riulta contenuta nei limiti ricieti dalla Normativa: inatti è uperiore al valore minimo pari a NSd A l mm 374 e rappreenta, ripetto all area di calcetruzzo, una percentuale pari a A + A ' ρ % b quindi comprea ra lo 0.3% e il 6% della ezione eettiva. Si ottiene quindi: Ndu mm 158 mm 0.68 cd b (ce deriva dal atto ce la riultante C uguaglia T), e quindi d 660 iamo cioè in condizioni di rottura lato acciaio: i a 158 ε c d d' ε ' εc > ε ' 374 MPa 158 Di coneguenza C' A' ' N N 46.4 kn T A N N 46.4 kn ( ) N kn C N rdu C + C' + T kn (*) L epreione di progetto ce i ta utilizzando è un epreione approimata. Conviene quindi, in generale, cegliere un altezza della ezione uicientemente maggiore di quella ce deriva dal calcolo, onde evitare di dover ucceivamente modiicare le dimenioni della ezione tea in quanto inuicienti a reitere alle ollecitazioni di progetto (indicativamente conviene abbondare del 5-10% circa). Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev

10 Lezione n. 1 pag. XXI.10 M rdu C C' d' T d La ezione riulta quindi veriicata, in quanto N,M > N, M ( ) ( ) ( ) knmm 408. knm ( ) ( ) rdu rdu du du Gianni Bartoli/Maurizio Orlando Appunti di Tecnica delle Cotruzioni SOGGETTA A REVISIONE rev