LEZIONE N 3 STATO LIMITE ULTIMO PER TORSIONE

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1 LEZIONE N 3 STTO LIITE ULTIO PER TORSIONE Posizione del problema La orsione di ravi in c.a - I sadio: il comporameno elasico la orsione nelle sezioni monoconnesse La orsione nelle sezioni biconnesse La orsione di ravi in c.a - III sadio: SLU quadro fessuraivo di una rave in c.a. soggea a orsione Il modello a raliccio Il progeo delle armaure longiudinali Il progeo delle armaure rasversali Indicazioni normaive Le prescrizioni del D Le prescrizioni dell Eurocodice EC2 La conemporanea presenza di Torsione e aglio Esempio: calcolo dell armaura a orsione di una rave a ginocchio

2 SLU per orsione in ravi in c.a. (Posizione del Problema) Le azioni orceni sono preseni in mole siuazioni sruurali essendo i carichi difficilmene applicai al cenro di aglio della rave. Tuavia, nella praica progeuale esse vengono in genere rascurae sia perché le sruure sono normalmene considerae piane, sia perché in effei, a pare casi paricolari, esse non producono rilevani effei indesiderai. Torsione Primaria (Balconi, Scale, ec.) Torsione Secondaria

3 SLU per orsione in ravi in c.a. (Posizione del Problema) Il comporameno di ravi in calcesruzzo soggee a orsione è molo differene al variare del livello di solleciazione. Per bassi livelli di solleciazione la rave si compora con buona approssimazione come una rave di De Sain-Venan, dunque con sezione ineramene reagene (I Sadio). l crescere del momeno orcene la rave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza orsionale. La resisenza della rave allo sao limie ulimo è fornia da una pare limiaa della sezione e dalle armaure preseni. crescene I Sadio III Sadio

4 La orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI ONOCONNESSE (SEZIONI RETTNGOLRI) l I sadio la rave si compora approssimaivamene come una rave di De Sain-Venan soggea a omeno Torcene. Le ensioni angenziali presenano un andameno lineare che si annulla a meà dello spessore. ndameno delle ensioni angenziali τ Tensioni Tangenziali τ max ψ 2 b h Rigidezza Torsionale K h / b ψ h / b 3 3 βgb h θ h / b β h / b 1/ 3 ngolo di orsione: Roazione ra due sezioni a disanza uniaria

5 SLU per orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI ONOCONNESSE (SEZIONI RETTNGOLRI) Nelle ravi con sezione decomponibile in più reangoli, il momeno orcene agene nei singoli reangoli si valua in proporzione alla rigidezza orsionale dei reangoli sessi. omeno Torcene e ensioni angenziali nel reangolo i-mo 1 2 τ max,i i K i K i i τ ψ max,i i b i 2 i hi 3 N.B. il procedimeno per la valuazione dei singoli momeni orceni i è in realà esaa solo per h/b, ma può essere acceaa con ollerabile approssimazione anche in sezioni con spessore non rascurabile.

6 SLU per orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI CVE (VLUTZOINE TENSIONI TNGENZILI) Nelle ravi a sezione cava le relazioni precedeni non sono applicabili. Per sezioni di piccolo spessore esise una eoria approssimaa dovua a Bred che permee di valuare la ensione media lungo lo spessore. Ω La forza elemenare agene sul rao di sezione di lunghezza ds risula essere pari a: df q ds Il momeno eserno dovrà essere equilibrao dalla somma dei momeni che le forze df hanno rispeo al baricenro della sezione: qdsr q ds r q rds 2qΩ Cosanza flusso delle ensioni τ 2Ωh Formula di Bred se hcos

7 SLU per orsione in ravi in c.a. (I sadio) SEZIONI CVE (VLUTZIONE RIGIDEZZ TORSIONLE) La rigidezza orsionale di ravi cave di piccolo spessore si può rovare facilmene uilizzando il principio di conservazione dell energia. Uguagliando infai l energia di deformazione al lavoro delle forze eserne si ha: Lavoro Eserno 1 L e θ 2 Energia di deformazione L i τ γ dv 2 4GΩ θ K ds θ h Rigidezza Torsionale τ 2Ωh L i L e 1 2 θ τ γ dv Ponendo γ τ G G E 2(1 + ν )

8 LINEE ISOSTTICHE DI UN TRVE SOGGETT TORSIONE Le linee isosaiche di una rave cava soggea a momeno orcene sono quelle schemaicamene indicae nella figura in basso. Fessura

9 STTO FESSURTIVO E ODELLO TRLICCIO Nel momeno in cui la rave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo parzialmene alla solleciazione. llo sao limie ulimo è ragionevole adoare un modello a raliccio, considerando come pare reagene della sezione una sezione cava di spessore h. L andameno delle linee isosaiche prima illusrao suggerisce il modello indicao in figura cosiuio da bielle compresse di cls e bielle ese rappresenae dall armaura in ognuna delle quaro facce eserne. Quesi quaro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediane armaure longiudinali. h

10 CLCOLO RTURE LONGITUDINLI Consideraa un porzione della sezione di lunghezza uniaria la forza su di esse (scorrimeno) vale τh dove h è lo spessore della sezione ubolare. Per l equilibrio quesa forza si scompone in una forza nell armaura long. (F l ) e un alra nella biella compressa (C). d 0.4<coα<2.5 τ h1 C sinα F l Ccosα l Fp l f yd 2Ωsinα 2Ω anα p 2Ω anα f p perimero sezione ubolare yd

11 CLCOLO RTURE TRSVERSLI La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componene orizzonale equilibraa dall armaura longiudinale. La componene vericale deve essere invece equilibraa da un armaura rasversale (saffe) F s Csinα 2Ω 2 f l p yd anα N saffe inerceare da una biella di cls n n s s d coα s 1,s f yd 2 Ω s s p l an 2 α

12 CLCOLO RTURE TRSVERSLI La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componene orizzonale equilibraa dall armaura longiudinale. La componene vericale deve essere invece equilibraa da un armaura rasversale (saffe) s s p l an 2 α Fissao l angolo α e deerminaa la quanià di armaura longiudinale l si può deerminare l area delle saffe per unià di lunghezza della rave. In alernaiva, fissaa l armaura rasversale si può deerminare l angolo α di inclinazione delle fessure e il momeno orcene ulimo

13 VERIFIC BIELLE COPRESSE La forza di compressione C deve essere compaibile con la resisenza del cls. In paricolare la ensione nella biella di cls compresa ra due fessure a disanza uniaria, la cui area resisene è pari a 1 x h x cosα σ c C Ωh sin 2α Se α 45 σ c C Ωh u,c f cd Ωh omeno ulimo per roura del cls

14 RIFERIENTI NORTIVI (D , puno 4.2.3) Le normaive danno indicazioni su come scegliere lo spessore della sezione ubolare reagene. In paricolare il D prescrive che lo spessore si pari ad 1/6 del raggio del massimo cerchio inscrio nel poligono che ha come verici le armaure longiudinali d h 6 N.B. (puno ) Per la verifica delle bielle compresse si deve assumere una resisenza pari a ½ f cd

15 RIFERIENTI NORTIVI (EUROCODICE 2) h L eurocodice impone che lo spessore sia pari al rapporo ra l area racchiusa dal perimero eserno e il perimero eserno p sesso. h p area racchiusa dal perimero eserno p L EC2 impone inolre che per la verifica delle bielle compresse la resisenza sia ridoa del faore ν ν fck Nelle ravi a a cassone se le saffe sono dispose su enrambe le facce ν può essere 0.5

16 L CONTEPORNE PRESENZ DI TGLIO E TORSIONE Nella maggior pare dei casi gli elemeni sruurali sooposi a orsione sono anche in genere sooposi anche a aglio. Si pensi ad esempio ad una rave che garanisca l equilibrio dell aggeo di un balcone e conemporaneamene garanisca l equilibrio ai carichi vericali rappresenai dal peso del solaio e della amponaura, olre che al preso proprio. La conemporanea azione di aglio e V orsione produce un cero grado di d (Taglio di calcolo) inerazione ra le due solleciazione che uavia nella praica progeuale si d (omeno orcene di calcolo) riiene opporuno rascurare. Le armaure così calcolae si sommano semplicemene. Occorre però verificare la seguene condizione (D ): d u + V V d u 1 u momeno orcene ulimo V u Taglio ulimo

17 ESEPIO Progeare le armaure della sezione reangolare indicaa nella figura seguene seguendo le indicazioni della normaiva ialiana (D ): omeno orcene di calcolo d 30 knm h Dai sezione Base b 35 cm lezza c 50 cm b Dai aeriali CLS Rck 30 pa cciaio FeB44K

18 ESEPIO: CLCOLO RTURE SECONDO IL D Ω Ω