Algebra di Boole. Le reti logiche

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1 Algebra di Boole Le reti logiche Tutte le informaioni trattate finora sono codificate tramite stringhe di bit Le elaboraioni da compiere su tali informaioni consistono nel costruire, a partire da determinate configuraioni di bit, altre configuraioni che, nella codifica prefissata, rappresentano i risultati richiesti I circuiti elettronici che realiano tali operaioni sono detti circuiti di commutaione (switching circuits) o reti logiche

2 Progetto di reti logiche Il progetto delle reti logiche si svolge in primo luogo tenendo conto delle funionalità del circuito, indipendentemente dalla realiaione fisica (progetto logico) Ciò consente: di prescindere dai particolari realiativi di risolvere a livello logico eventuali problemi implementativi Strumento fondamentale: l algebra di Boole L algebra di Boole Consente di descrivere in forma algebrica le funioni dei circuiti Fornisce dei metodi per l analisi e la sintesi (a livello logico) dei circuiti Tramite l algebra di Boole si stabilisce una corrispondena biunivoca tra operaioni dell algebra e componenti elementari espressioni algebriche e circuiti

3 L algebra di Boole Nel progetto delle reti logiche si impiega un sistema algebrico in cui ogni variabile può assumere solo uno tra due valori: e Sulle variabili si applicano le operaioni: prodotto logico (*) o AND somma logica (+) o OR negaione (!) o NOT Operaioni binarie Operaioni unaria AND OR NOT *= +=!= *= +=!= *= += *= +=

4 Proprietà dell algebra di Boole Commutativa: a+b=b+a a*b=b*a Associativa: (a+b)+c=a+(b+c) (a*b)*c=a*(b*c) Idempotena: (a+a)=a (a*a)=a Assorbimento: a+(a*b)=a a*(a+b)=a Distributiva: a*(b+c)=a*b+a*c a+(b*c)=(a+b)*(a+c) Min e ma: a*= a+= Elem.to neutro: a+=a a*=a Complemento: a*(!a)= a+(!a)= De Morgan:!(a+b)=!a*!b!(a*b)=!a+!b Funioni logiche Una variabile può essere definita come funione di altre variabili: w=f(,,) Si dicono funioni logiche elementari le funioni: =* (funione AND) =+ (funione OR) =! (funione NOT) Quante sono le possibili funioni in 2 variabili?

5 Corso di Calcolatori Elettronici F. Tortorella f(,) AND XOR OR EQU Corso di Calcolatori Elettronici F. Tortorella Funioni ed espressioni Una funione logica può essere definita, oltre che in forma tabellare (tabella di verità), tramite espressioni algebriche Esempio: f = +*!+!* f = *!+*+*!+!* f Espressioni equivalenti Come passare dall una all altra?

6 Letterali, mintermini, matermini Letterale: variabile affermata o negata f Termine: prodotto o somma di letterali Mintermine: prodotto di letterali di tutte le variabili di una certa funione Matermine: somma di letterali di tutte le variabili di una certa funione Esempio Mintermine:! Matermine:!++ Forme canoniche f Una funione definita tramite tabella di verità può essere espressa algebricamente in due diverse forme canoniche: Somma di mintermini f =!!+!!+!!+!+!+ Prodotto di matermini f =(++)(!++)

7 Equivalena con i circuiti logici Esiste una equivalena tra le funioni logiche e le porte elementari delle reti logiche (Shannon) =* =+ =! Equivalena con i circuiti logici L equivalena si estende alle espressioni ed ai circuiti = +!!

8 Minimiaione delle funioni logiche Ad una funione descritta tramite tabella di verità possono essere associate più espressioni algebriche. Quale scegliere? Vista l equivalena con i circuiti, conviene scegliere l espressione corrispondente al circuito a minimo costo ( minimiaione) Il costo può esprimersi in base a: numero di porte numero di ingressi eterogeneità delle porte Minimiaione delle funioni logiche I metodi per la minimiaione si basano sulle proprietà dell algebra di Boole. Esempio: f =!!+!!+!!+!+!+!!+! =!(!+) =!!+ = (!+) =!+ = (!+) =!!+! =!(!+) =!!!+! =!(!+) =!!!+! =!(!+) =!!+ = (!+) = +! = (+!) = Forma minima: f = +!+!

9 Le mappe di Karnaugh Due mintermini si dicono adiacenti se differiscono in un solo letterale. Le mappe di Karnaugh sono una rappresentaione grafica che evidenia l adiacena tra mintermini!!!!!!!!!!! Forma minima: f = +!+! f Funioni non completamente specificate Si verificano quando ci sono combinaioni delle variabili di ingresso che non sono possibili o, in corrispondena delle quali, il valore di uscita non è influente. f = don t care Ai fini del progetto, i valori don t care possono essere specificati in modo da minimiare l espressione della funione

10 Funioni non completamente specificate Le soluioni ottenibili sono diverse. La scelta va fatta sulla base delle specifiche del progetto e sulla conveniena complessiva f =!+! f =!+! Fasi del progetto di una rete logica. Definiione delle specifiche Identificaione delle variabili in ingresso e in uscita 2. Definiione della tabella di verità della funione 3. Minimiaione 4. Definiione del circuito