IL RIGHELLO NELLA FASE DI MATEMATIZZAZIONE

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1 IL RIGHELLO NELLA FASE DI MATEMATIZZAZIONE Premessa Dopo aver sperimentato in classe terza e quarta varie attività di misurazione legate a problemi di confronto, ordinamento e approssimazione di numeri decimali è stato chiesto agli stessi bambini di operare con numeri-misura senza l uso del righello.

2 Obiettivi - Padronanza del significato delle tacche e degli intervalli nel righello - Conoscenza della struttura additiva sottostante la scrittura decimale - Possibilità di cogliere l approssimazione come limite dello strumento fisico - Comprensione delle relazioni esistenti fra le varie unità di misura - Comprensione della proprietà della densità nel sistema numerico dei decimali - Costruzione del numero-misura come oggetto mentale

3 Soggetti Hanno partecipato all attività, svolta nel mese di febbraio dell anno scolastico 1997/98, alunni di classe quinta. Anche questa esperienza è stata condotta dall insegnante-ricercatrice Milena Basso alla presenza dell insegnante ufficiale dell area logico-matematica.

4 Procedura A ciascun alunno è stato consegnato un foglio con riportati tre quesiti. 1. Scrivi almeno due misure tra 1 dm e 2 dm. 2. Scrivi almeno due misure tra 1,2 dm e 1,3 dm. 3. Scrivi almeno due misure tra 1,9 dm e 2 dm. Spiega come hai fatto a trovarle.

5 Metodologia di lavoro Ad ogni alunno è stato chiesto di riflettere a livello individuale sulle consegne e di rispondere per iscritto giustificando e argomentando le proprie affermazioni.

6 Analisi dei risultati Presenteremo alcuni protocolli scritti che testimoniano - il ruolo di modello concreto ma anche concettuale, che lo strumento-artefatto utilizzato, cioè il righello, ha avuto nel processo di passaggio dal numero come misura al numero come oggetto mentale; - l emergere, in termini di prospective learning, di alcune proprietà dei numeri decimali, in particolare quella di densità sulla retta reale. In particolare dai protocolli degli alunni sono emersi i diversi modi di costruzione del numero-misura come oggetto mentale. Protocollo di Moreno: 1 quesito: 11 cm 12 cm 13 cm 14 cm 15 cm 16 cm 17 cm 18 cm 19 cm. Le misure che ho fatto senza guardare il righello erano comprese tra i 10 e i 20 cm. 2 quesito: 1,21 dm 1,23 dm. Le ho fatte aggiungendo un altra cifra dopo la virgola: i millimetri. 3 quesito: 1,91dm - 1,92dm - 1,93dm - 1,94dm - 1,95dm. Le ho fatte aggiungendo un altra cifra dopo la virgola, come prima. Protocollo di Daniele: 1 quesito: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 dm. Per trovare questi numeri ho pensato che tra 1 dm e 2 dm ci sono i pezzetti più piccoli che sono i centimetri. 2 quesito: 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 dm. Devo partire da 1,2 a 1,3 e basta che aggiunga i pezzetti più piccoli cioè i millimetri. 3 quesito: 1,91dm - 1,92dm - 1,93dm - 1,94dm - 1,95dm. Ho fatto come prima, ho aggiunto i pezzetti più piccoli, cioè i millimetri. In questi primi due protocolli così come in altri [circa il 30% rispetto al totale] sono presenti modi di ragionare che rimangono vincolati ad un pensiero manipolativo e procedurale legato all immagine del righello. I numeri-misura trovati attraverso operazioni mentali nell intervallo richiesto sono infatti pensati collocati negli spazi dello strumento-artefatto. Tali ragionamenti mettono in luce alcune caratteristiche derivanti dal modello fornito dal righello. Questi alunni si rifanno mentalmente all azione fisica e manipolativa del misurare un segmento lungo ad esempio 1,21 dm: prima tracciano un segmento lungo 1 dm e segnano il suo estremo, poi da lì aggiungono un segmento di 2 cm e, infine, uno di 1 mm. In questo caso l attività manipolativa fatta precedentemente ha favorito la comprensione del significato della scrittura del numero decimale con virgola espresso con una unità di misura e l interpretazione additiva sottostante la notazione decimale. In altri protocolli [circa il 50%] il modello dato dal righello è risultato più flessibile; esso non è stato più visto come modello solo tattile e visuale, così come era accaduto nelle esperienze degli anni precedenti, ma un modello che induce anche a pensare in termini di relazioni numeriche e tra grandezze. Si è attuato un processo di passaggio dal pensare sul materiale concreto al pensare su oggetti mentali matematici. Vediamo un esempio, nel seguente protocollo di Simone. 1 quesito: 1,3 dm 1,4 dm 1,5 dm 1,6 dm 1,7 dm Io ho ragionato così: in 1 dm ci sono 10 cm. Quindi 14 cm è maggiore di 1 dm e minore di 2 dm. Siccome siamo con la marca in decimetri allora ho fatto 1,4 dm.

7 2 quesito: 1,21 dm 1,23 dm 1,24 dm 1,25 dm Io ho ragionato così: più piccoli dei centimetri ci sono i millimetri. In questo caso bisogna fare con i millimetri perché se si aggiungono o si tolgono centimetri il risultato non rientra tra 1,2 dm e 1,3 dm. Altri alunni ancora, come Pamela di cui mostreremo il protocollo, hanno eseguito delle trasformazioni e uguaglianze con passaggio da una unità di misura ad un altra in modo significativo, usando espressioni di tipo frazionario. È l avvio alla distinzione tra il valore delle cifre decimali (che rappresenta quante parti di un dato ordine di grandezza sono prese) e il valore posizionale delle cifre (che rappresenta l ordine di grandezza). Protocollo di Pamela: 1 quesito 1,3 dm 1,5 dm 1,7 dm 1,9 dm 1,06 dm 1,32dm 1,54dm 1,73dm 1,99dm 1,05 dm Per trovare queste misure non ho fatto lavorare molto il mio cervello, le ho pensate, prima pensandole tutte quelle possibili e poi ho ricavato da queste, le misure che mi sembravano più opportune. Per esempio 1,3 dm è uguale a tredici centimetri mentre 1,32 dm è uguale a tredici centimetri e due decimi di centimetro. Quindi un decimetro più tre centimetri formano tredici centimetri. 2 quesito: 1,23 dm 1,24 dm 1,25 dm 1,26 dm ma anche 1,2321 dm Per esempio 1,23 dm consiste in un decimetro, due centimetri e 3 decimi di centimetro. E lo stesso è con 1,2321 dm che vuol dire 1 dm, 2 centimetri, 3 decimi di centimetro, 2 centesimi di centimetro e 1 millesimo di centimetro, cioè 12 centimetri e 321 millesimi di centimetro. 3 quesito: 1,91dm - 1,911dm - 1,9413dm In questa consegna scriverò molto meno delle altre, perché sono tutte molto simili, ma comunque voglio spiegare il mio ragionamento: per esempio 1,9413 sono 1dm, 9cm, 4 decimi di centimetro, 1 centesimo di centimetro e 3 millesimi di centimetro, cioè 19 centimetri e 413 millesimi di centimetro. Nei protocolli seguenti è infine emerso che la suddivisione presente nel righello è decimale e che tale operazione si può continuare all infinito, anche se nello strumento è impossibile vedere i risultati di essa. Si è così intuita attraverso un processo di prospective learning la proprietà di densità dei numeri decimali. Protocollo di Selenia: Si potrebbe continuare all infinito a scrivere numeri, perché ci sono sempre spazi più piccoli che non si vedono nel righello perché sarebbe impossibile vederli tutti perché sono infiniti. Perché sul righello si vedono solo i centimetri e i millimetri. Protocollo di Veronica: Possono essere 1,22 dm 1,23 dm 1,24 dm 1,25 dm 1,26 dm 1,27 dm 1,28 dm 1,29 dm Le ho trovate in questo modo. Prima di tutto tra 1,2 dm e 1,3 dm ci sono dieci spazi e quindi posso fare così. Non ci sono soltanto queste misure, ma ce ne sono infinite perché ogni spazio continua a dividersi in 10 parti. Protocollo di Sara: 1 quesito: 1,2 dm 1,4 dm 1,6 dm 1,9 dm 1,5 dm

8 È stato molto semplice trovarle ho pensato che numeri ci sono tra 1 dm e 2 dm e fra tantissimi numeri ho scelto questi, perché l intervallo tra un decimetro e due decimetri è decimale e si divide sempre per dieci. 2 quesito: 1,21 dm 1,22 dm 1,263 dm 1,25 dm 1,299 dm Ho usato lo stesso metodo di prima e se le maestre mi consegneranno un altro esercizio di questo tipo, userò ancora lo stesso metodo. È come un ciclo che si ripete perché gli spazi dentro un centimetro sono infiniti. 3 quesito: 1,999dm - 1,974dm -1,973dm... Posso dire la stessa cosa di prima perché ogni spazio si può continuare a dividere in dieci spazi e sono infiniti.

9 Discussione e problemi aperti Si è rilevato che la capacità di scorrere mentalmente sul righello per collocare un numero-misura è una tappa che esige la formazione di operazioni mentali, che comportano la padronanza della lettura dei segni incorporati nello strumento, la consapevolezza che lo spezzettamento tra una tacca e l altra è formato da dieci spazi, la comprensione del rapporto tra le grandezze visibili nel righello. Tali conoscenze costruite dai bambini spesso non sono facilmente identificabili e valutabili da parte dell insegnante, ma sono tappe necessarie all alunno per giungere alla formazione degli oggetti mentali. Questi ultimi sono importanti strumenti che organizzano e contribuiscono alla formazione del pensiero matematico, espresso prima a parole e poi attraverso segni e simboli, secondo un processo cognitivo personale e sociale allo stesso tempo. I risultati ottenuti testimoniano inoltre il passaggio da una matematica intesa come strumento, incorporata in alcuni artefatti culturali presenti nella realtà quotidiana, (qual è il righello, caratterizzato da un particolare codice-sistema simbolico), ad una matematica come oggetto di studio. L utilizzo di questo particolare artefatto culturale, che aveva dapprima dato significato alle operazioni del misurare e ai numeri-misura e poi all insieme dei numeri decimali con virgola (si veda Basso et al., 1998), ha infine favorito l integrazione tra l agire e il pensare in matematica. Lo strumento da modello per lavorare si trasforma in modello per pensare e questa sua duplice funzione permette agli alunni di attivare, attraverso un processo di andate e ritorni, procedure di verifica e autocorrezione e di superare le difficoltà già registrate nelle indagini condotte dal nostro gruppo (si veda ad esempio Bonotto, 1993) relative all ordinamento e al riconoscimento del valore posizionale delle cifre. Ne è risultata anche favorita la comprensione della struttura additiva della notazione decimale, dell estensione e dell integrazione della struttura numerica dei numeri naturali con quella dei decimali con virgola, e del concetto di approssimazione; in qualche caso si è anche intuita, attraverso un processo di apprendimento di tipo anticipatorio, la proprietà di densità dei numeri razionali sulla retta. Noi riteniamo, in accordo con Freudenthal, che le intuizioni anticipatorie, vadano favorite e non bloccate. L insegnamento della matematica dovrebbe essere portato avanti cercando di tenere presenti entrambe le forme di apprendimento sia quello prospettivo (sfruttando le intuizioni del discente e cercando di favorire, per quanto possibile, l anticipazione dei risultati) che quello retrospettivo (che si serve di vecchie conoscenze per rivisitarle e comporle in nuovi contesti). L apprendimento prospettivo e retrospettivo mirano ad una integrazione del passato e del futuro dei processi di apprendimento; ciò si ottiene con il riannodare insieme ed intrecciare localmente i fili dell apprendimento, avendo in vista l intero processo di apprendimento come un tutto unico. Rimangono poi da affrontare e risolvere, da un punto di vista dell istruzione matematica, problemi già evidenziati da Freudenthal, quali: - come avviene che oggetti mentali si sviluppino fino a diventare concetti? - e quali criteri ci sono per giudicare che ciò sia avvenuto?

10 È un passaggio complesso in cui si richiedono all alunno attività più raffinate di pensiero e quindi di astrazione e di matematizzazione, intesa come organizzazione di fenomeni che si presentano per essere strutturati e descritti formalmente (Freudenthal, 1991). Tuttavia, come sostiene il matematico olandese, la distanza tra l oggetto mentale e il concetto dipende dai contenuti e, ancor di più, dall individuo, e tale distanza deve essere rispettata nell istruzione.