TRIGONOMETRIA. Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto.

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1 TRIGONOMETRIA DA RICORDARE: Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 80 Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90 Due angoli si dicono opposti quando la loro somma è pari a 0 Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è pari a 60 Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto. Un altro modo per misurare gli angoli sono i radianti che corrisponde alla lunghezza della parte di circonferenza di raggio r sottesa dall angolo che si vuole misurare diviso r ovvero r AB/r. B r A Un angolo giro misura 60 e la circonferenza misura r quindi r 60 r/r Possiamo quindi affermare che un angolo giro misura Un angolo piatto misura un angolo retto misura / un angolo di 45 misura /4 E detta circonferenza goniometrica una circonferenza orientata a cui è associato un sistema di riferimento ortogonale cartesiano avente l origine nel suo centro e unità di misura al raggio Il punto A è detto origine degli archi ed è l intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse (asse x). A cura di P. Paciulli

2 DEFINIZIONE Si dice SENO dell angolo a il rapporto tra il segmento HP ed il raggio della circonferenza goniometrica ovvero L ORDINATA del punto P. Cioè SEN a HP/OP ma essendo OP allora SEN HP quindi: sen00; sen90 ; sen80 0; sen70-; sen60 0 DEFINIZIONE Si dice COSENO dell angolo a il rapporto tra il segmento OH ed il raggio della circonferenza goniometrica ovvero L ASCISSA del punto P. Cioè cosaoh/op ma essendo OP allora cos OH. quindi: cos0 ; cos90 0; cos80 -; cos70 0; sen60 DEFINIZIONE Si dice TANGENTE dell angolo il rapporto tra il segmento HP ed il segmento OH ovvero DEFINIZIONE Si dice COTANGENTE dell angolo il rapporto tra il segmento OH ed il segmento HP ovvero A cura di P. Paciulli

3 PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA sen +cos Per il teorema di Pitagora abbiamo che il quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma dei cateti costruiti sui cateti quindi: OH + AH Dividendo tutto per OH OH AH + AH + otteniamo O A H Da cui ricordando la definizione di seno e coseno si ottiene sen +cos Da questa relazione è possibile ricavare le formule inverse che sono le seguenti: sen -cos cos -sen sen ± cos cos ± sen ARCHI PARTICOLARI Come si ottengono i valori delle funzioni per gli angoli di:. 0 Π/6: Si considera sulla circonferenza trigonometrica un angolo di 0, il triangolo che si forma OHA è un triangolo rettangolo in H, quindi l'angolo in A è di 60. Si costruisce in modo simmetrico A cura di P. Paciulli

4 rispetto all'asse x un triangolo identico OHB, quindi il triangolo B che ne risulta è un triangolo equilatero di lato unitario (il raggio misura ) Di conseguenza il lato AH corrispondente al seno dell'angolo di 0 misurerà la metà di ovvero /. Di qui applicando il teorema di Pitagora in cui AH +OH si ottiene OH. DI 60 / Si consideri sulla circonferenza trigonometrica un angolo di 60. Il triangolo che viene a formarsi H è rettangolo in H e l'angolo in A è di 0. Si riporti quindi sulla stessa circonferenza il triangolo 'H' dell'esempio precedente. I due triangoli OHA e OH'A' sono uguali avendo l'ipotenusa e gli angoli uguali. Quindi per similitudine avremo cos60 / e sen60 di 45 /4: Sulla circonferenza goniometrica venga preso in considerazione un angolo di 45. Il triangolo OHA che si viene a formare è rettangolo in H, quindi l'angolo in A misura 45. Il triangolo OHA è quindi rettangolo isoscele quindi i lati OH e HA sono uguali e la loro misura è ottenuta mediante il teorema di Pitagora secondo il quale: A cura di P. Paciulli 4

5 AH +OH da cui: AH +OH AH +AH AH quindi AH / che equivale a dire, dopo l'estrazione della radice e della relativa razionalizzazione AHOHsen45 cos45 VARIAZIONI DI SENO COSENO TANGENTE E COTANGENTE SULLA CIRCONFERENZA ARCHI ASSOCIATI a 80 Due archi si dicono associati quando hanno funzioni trigonometriche uguali o opposte. sen(80 - ) sen cos(80 - ) -cos tg (80 - ) -tg cot g (80 - ) -cotg sen(80 + ) sen cos(80 + ) -cos tg (80 + ) tg cot g (80 + ) cotg sen(60 ) sen cos(60 ) + cos tg (60 ) tg cot g(60 ) cotg A cura di P. Paciulli 5

6 ARCHI ASSOCIATI a 90 sen(90 - ) cos cos(90 - ) sen tg (90 - ) cotg cot g (90 - ) tg sen (90 + ) + cos cos(90 + ) -sen tg (90 + ) tg cot g(90 + ) cotg sen (70 ) cos cos(70 ) sen tg (70 ) + cotg cot g(70 ) + tg sen (70 + ) cos cos(70 + ) + sen tg(70 + ) cotg cot g (70 + ) tg FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI SOMME E DIFFERENZE DI ARCHI Consideriamo l arco AB che sottende un angolo β e l arco AC che sottende l angolo. B D L arco BC è uguale all angolo -β C A Prendiamo poi l arco AD BC I punti A,B,C, e D avranno come coordinate: B(;senβ) C(cos;sen) A(;0) D(cos( β);sen( β)) Poiché ad archi uguali corrispondono corde uguali avremo ADCB e quindi AD CB Misuriamo la loro lunghezza con la formula per il calcolo della distanza tra due punti e otteniamo: AD [ cos( β)-] +[ sen( β)-0] CB [ cos- ] +[ sen- senβ] Da cui applicando alluguaglianza AD CB otterremo, dopo aver svolto i calcoli ed eseguite le opportune semplificazioni cos( β) cos + senβ sen Se a β sostituiamo β otterremo invece: A cura di P. Paciulli 6

7 cos( + β ) cos cos β senβ sen Applicando le regole degli archi associati sostituendo con /- otterremo sen( β) sen senβ cos e sen ( + β ) sen cos β + senβ cos dal rapporto di queste formule appena calcolate si ottengono poi tg + tgβ tg( + β ) tgtgβ cot g cot gβ cot g( + β ) cot g + cot gβ tg ( β) tg tg β + tg tg β cotg cotgβ + cotg( β) cotg cotgβ FORMULE DI DUPLICAZIONE Queste formule servono, noti i valori di sen, cos e tg a calcolare i valori dell angolo doppio. Derivano dalle formule di addizione e sottrazione quando a β si sostituisce si ottiene quindi sen ( + ) sen cos + sen cos sen cos cos( + ) cos cos sen sen cos sen quindi riepilogando: sen sen cos tg tg tg cos cos sen cos cos cos sen cot g cot g cot g FORMULE DI BISEZIONE Queste formule servono, noti i valori di sen, cos e tg a calcolare i valori dell angolo metà. Derivano dalle formule di duplicazione del coseno. cos sen da cui sen ± cos A cura di P. Paciulli 7

8 ± cos + cos cos da cui cos dividendo membro a membro si ottengono i valori di tg e cotg cos tg ± + cos cot g ± + cos cos FORMULE DI PROSTAFERESI Queste formule servono per la trasformazione di una somma o differenza di seni o coseni in prodotti. Le formule inverse o di Werner, trasformano un prodotto in somma o differenza. PROSTAFERESI senp + senq sen cos cos p + cos q cos cos senp senq cos sen cos p cos q sen sen WERNER sen cos β cos cos β sensenβ [ sen( + β ) + sen( β )] [ cos( + β ) + cos( β )] [ cos( + β ) cos( β )] APPLICAZIONE AD UN TRIANGOLO RETTANGOLO Dalla definizione di seno su una circonferenza goniometrica si ottiene per analogia che il seno dell angolo è dato dal rapporto tra il segmento BC ed il segmento AB ovvero: senbc/aba/c da cui segue come formula inversa che ac sen ovvero: La misura di un cateto in un triangolo rettangolo è data dal prodotto tra la misura dell ipotenusa ed il seno dell angolo opposto al cateto stesso. Analogamente si può affermare che: cosac/abb/c A cura di P. Paciulli 8

9 da cui segue come formula inversa che bc cos ovvero La misura di un cateto in un triangolo rettangolo è data dal prodotto tra la misura dell ipotenusa ed il coseno dell angolo adiacente al cateto stesso. L applicazione del teorema di Pitagora diventa quindi: c a +b c sen +c cos da cui dividendo per c si ottiene sen +cos che è la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA ESERCIZI: ARCHI NOTI. sen 90 + sen80 4sen70. 5 cos90 + cos 0 + cos80 cos 70. sen 0 cos 70 + cos80 cos0 4. cot g 90 + cos 90 tg0 + sen70 sen60 5. cos sen + sen tg sen cos + tg + sen 4 tg 7. sen 4( cos 5sen ) + sen 8. cot g 4tg sen + + sen cos 5 9. asen 70 b cos80 + ( a + b)sec0 0. ( a + b) sen 4ab cos + atg ARCHI ASSOCIATI. sen( ) + sen(90 + ) + cos(70 + ) cos(70 ). sen ( ) + cos ( ) + cot g( ) tg( ). tg ( + ) + sen( + ) sen( ) + sen(90 + )cos( ) A cura di P. Paciulli 9

10 sen ( ) + cos ( ) 4. + sec( ) sen 5. sen ( ) tg( + ) + sen( + ) tg( ) 6. sen ( + ) tg( ) sen( + )cot g( + ) 7. cos( ) tg ( + ) sen( + ) sen( ) tg( )cos( + ) IDENTITA. tg sen tg sen. sen sen tg sen + sen. ( + sen cos) ( + sen )( cos) 4. sen ( sen + cos + )( sen + cos) 5. tg sen tg sen 6. tg + (sec ) cosec tg 7. cos( + )cos( ) 4 4 cos sen cos + sen 8. cos 4 sen 9. sen( + β ) + sen cos β sen( + ) 0. β sen + tg sen ctg + cosec cos EQUAZIONI Per la soluzione di equazioni trigonometriche Formulario di trigonometria Si riportano di seguito le formule relative alla trigonometria utili per la risoluzione di uguaglianze, equazioni e disequazioni trigonometriche A cura di P. Paciulli 0

11 PRIMA REGOLA FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA: sen + cos FORMULE INVERSE : sen tg cos g cos cot sen sen cos sen ± cos cos sen cos ± sen ARCHI ASSOCIATI 80 : sen(80 -) sen cos(80 - ) -cos tg (80 - ) -tg cot g (80 -) -cotg sen(80 + ) sen cos(80 + ) -cos tg (80 + ) tg cot g (80 + ) cotg sen(60 ) sen cos(60 ) + cos tg (60 ) tg cot g (60 ) cotg seno coseno tangente Cotangente ARCHI ASSOCIATI 90 sen(90 -) cos cos(90 -) sen sen (90 + ) + cos cos(90 + ) -sen tg (90 -) cotg tg (90 + ) tg cot g (90 -) tg cot g(90 + ) cotg sen(70 ) cos cos(70 ) sen tg (70 ) + cotg cot g(70 ) + tg sen(70 + ) cos cos(70 + ) + sen tg(70 + ) cotg cot g (70 + ) tg FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE sen( + β) sen + senβ cos cos( + β) cos senβ sen tg + tgβ tg( + β) tgtgβ cot g cot gβ cot g( + β) cot g + cot gβ sen( β) sen senβ cos cos( β) cos + senβ sen tg tg β tg ( β) + tg tg β cotg cotgβ + cot g( β) cotg cotgβ FORMULE DI PROSTAFERESI senp + senq sen cos cos p + cos q cos cos FORMULE DI DUPLICAZIONE sen sen cos cos cos sen cos cos cos sen tg cot g tg cot g tg cot g FORMULE DI BISEZIONE ± cos ± cos + sen cos cos + cos tg ± cot g ± + cos cos senp senq cos sen cos p cos q sen sen A cura di P. Paciulli

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