Formule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a

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1 Formule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a Dott. Simone Zuccher dicembre 006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore Indice 1 Geometria Analitica Il piano cartesiano La retta La circonferenza La parabola L ellisse L iperbole L iperbole equilatera Goniometria 6.1 Relazioni fondamentali Periodicità Formule di conversione Archi associati Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione e triplicazione Formule di bisezione Formule parametriche Formule di prostaferesi e di Werner Archi noti i

2 1 Geometria Analitica 1.1 Il piano cartesiano x1 + x Punto medio di un segmento M ; y ) 1 + y x 1 ; y 1 ), x ; y ) coordinate estremi Distanza tra due punti x x 1 ) + y y 1 ) x 1 ; y 1 ), x ; y ) coordinate punti 1. La retta Definizione: nessuna perché è un ente primitivo. Forma implicita ax + by + c = 0 tutte le rette x = c a = k retta verticale b = 0) y = c b = h retta orizzontale a = 0) Forma esplicita y = mx + q non comprende rette verticali perché m = b a, q = c a sono espressioni valide solo se a 0 Date due rette ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 si ha: a a b b a a = b b c c a a = b b = c c rette incidenti una intersezione) rette parallele nessuna intersezione) rette coincidenti infinite intersezioni) Date due rette m = m 1 x + q 1 e y = m x + q si ha: m 1 = m rette parallele m 1 m = 1 m 1 = 1 m rette perpendicolari Retta per un punto y y 0 = mx x 0 ) x 0 ; y 0 ) coordinate del punto Retta per due punti y y 1 y y 1 = x x 1 x x 1 x 1 ; y 1 ) e x ; y ) coordinate dei punti Distanza punto retta d = ax 0 + by 0 + c a + b Nota: retta in forma implicita 1

3 1. La circonferenza Definizione: luogo geometrico dei punti del piano per i quali la distanza da un punto fisso detto centro è costante e congruente ad un segmento detto raggio. Equazione noti centro Cx 0 ; y 0 ) e raggio r x x 0 ) + y y 0 ) = r Equazione canonica x + y + αx + βy + γ = 0 C α ) ; β r = α ) + β ) γ 1. La parabola Definizione: luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. La figura così ottenuta ha un asse di simmetria. Il punto di intersezione tra l asse di simmetria e la figura stessa è detto vertice. Asse parallelo all asse delle ordinate y = ax + bx + c Posto = b ac, si ha V F b a ; ) a b a ; 1 ) a x = b a y = 1 + a a > 0, a < 0 Vertice Fuoco Asse di simmetria Direttrice Asse parallelo all asse delle ascisse x = ay + by + c a > 0, a < 0 ) V F a ; b ) a 1 a ; b ) a Vertice Fuoco y = b a x = 1 + a Asse di simmetria Direttrice

4 1.5 L ellisse Definizione: luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. La figura così ottenuta ha due assi di simmetria o più semplicemente assi), il maggiore dei quali è detto asse maggiore su di esso si trovano i fuochi) e l altro asse minore. Il punto di intersezione degli assi è detto centro, i punti di intersezione tra gli assi e la figura stessa sono detti vertici. Riferita a rette parallele agli assi x x 0 ) a + y y 0) b = 1 Centro O x 0 ;y 0 ) mn > 0 mx + ny + px + qy + r = 0 p m + q n r > 0 O p m ; q n ) Riferita agli assi x a + y = 1, a > b Fuochi sull asse x, b a semiasse maggiore b semiasse minore F± a b ; 0) V ±a; 0), V 0; ±b) Riferita agli assi x a + y = 1, a < b Fuochi sull asse y, b a semiasse minore b semiasse maggiore F0; ± b a ) V ±a; 0), V 0; ±b)

5 1.6 L iperbole Definizione: luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. La figura così ottenuta ha due assi di simmetria. L asse che interseca la figura stessa è detto asse trasverso su di esso si trovano i fuochi) e l altro asse non trasverso. Il punto di intersezione degli assi è detto centro, i punti di intersezione tra l asse trasverso e la figura stessa sono detti vertici. Esistono due rette, detti asintoti, tali che la distanza tra ciasuna di esse e i punti dell ellisse tende a zero al tendere all infinito di x o y. Riferita a rette parallele agli assi x x 0 ) a y y 0) b = 1 x x 0 ) a y y 0) b = 1 mx + ny + px + qy + r = 0 p m + q n r > 0 p m + q n r < 0 { Centro O x 0 ; y 0 ) Asse trasverso orizzontale { Centro O x 0 ; y 0 ) Asse trasverso verticale mn < 0 O p m ; q ) n Asse trasverso orizzontale Asse trasverso verticale Riferita agli assi x a y b = 1 F± a + b ; 0) V ±a; 0) a semiasse trasverso b semiasse non trasverso y = ± b a x Equazioni degli asintoti Riferita agli assi x a y b = 1 F0; ± a + b ) V 0; ±b) a semiasse non trasverso b semiasse trasverso y = ± b a x Equazioni degli asintoti

6 1.7 L iperbole equilatera Definizione: iperbole con semiassi congruenti, ossia a = b. Riferita agli assi x y = a Fuochi sull asse x F±a ; 0) V ±a; 0) y = ±x Equazioni degli asintoti Riferita agli assi x y = a Fuochi sull asse y F0; ±a ) V 0; ±a) y = ±x Equazioni degli asintoti Riferita ai propri asintoti xy = k k > 0, occupa il I e III quadrante F 1 k; k), F k; k) V 1 k; k), V k; k) x = 0, y = 0 Equazioni degli asintoti Riferita ai propri asintoti xy = k k < 0, occupa il II e IV quadrante F 1 k; k), F k; k) V 1 k; k), V k; k) x = 0, y = 0 Equazioni degli asintoti Funzione omografica y = ax + b cx + d d c ; a ) c c 0, ad bc 0 Coordinate del centro x = d c, y = a c Equazioni degli asintoti 5

7 Goniometria Nota: in quanto segue, con il simbolo sin x si intende sin x). È chiaro che questa scrittura non è corretta perché sin x = sinsinx) ma, essendo entrata nell uso corrente ed essendo più veloce da scrivere, la adottiamo anche qui..1 Relazioni fondamentali Descrizione relazione matematica restrizioni Relazione fondamentale: sin x + cos x = 1 x R Definizione di tangente: tanx = sin x cosx Definizione di cotangente: cotx = 1 tanx = cosx sin x Definizione di secante: sec x = 1 cos x Definizione di cosecante: csc x = 1 sin x x + k,k Z x k,k Z x + k,k Z x k,k Z. Periodicità sinx + k) = sinx cosx + k) = cosx k Z tanx + k) = tanx cotx + k) = cotx k Z secx + k) = secx cscx + k) = csc x k Z. Formule di conversione noto sinx noto cosx nota tanx sin x = sin x ± tanx 1 cos x ± 1 + tan x cos x = ± 1 sin 1 x cos x ± 1 + tan x sin x tan x = ± 1 sin x ± 1 cos x cos x tan x Una volta noti sinx, cos x o tanx, il passaggio alle altre funzioni trigonometriche è banale essendo cot x = 1/ tan x, sec x = 1/ cos x e csc x = 1/ sin x. 6

8 . Archi associati fx) sin fx) cos fx) tanfx) cot fx) x sin x cos x tanx cot x x cos x sin x cot x tan x + x cos x sin x cot x tan x x sin x cos x tanx cot x + x sin x cos x tanx cotx x cos x sin x cot x tan x + x cos x sin x cot x tan x x sin x cos x tanx cot x Nota: questi archi associati sono deducibili immediatamente dal cerchio goniometrico, quindi è inutile memorizzarli..5 Formule di addizione e sottrazione sinx ± y) = sinxcos y ± cos x sin y cosx ± y) = cosxcos y sin x sin y tanx ± y) = tanx ± tany 1 tanxtany cotx ± y) = cotxcot y 1 cotx ± coty 7

9 .6 Formule di duplicazione e triplicazione sinx) = sin x cos x cosx) = cos x sin x = 1 sin x = cos x 1 sinx) = sin x sin x cosx) = cos x cos x tanx) = tanx 1 tan x tanx) = tanx tan x 1 tan x.7 Formule di bisezione x sin ) x cos ) x tan ) = ± = ± 1 cos x 1 + cosx 1 cos x = ± 1 + cosx = sin x 1 + cosx = 1 cos x sin x.8 Formule parametriche x t = tan,x 1 + k) k Z sin x = ) t cosx = 1 t tanx = t 1 + t 1 + t 1 t.9 Formule di prostaferesi e di Werner sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sin x + y cos x y sin x y cos x y sin x y sin x sin y = 1 [cosx y) cosx + y)] cosxcos y = 1 [cosx + y) + cosx y)] sin x cos y = 1 [sinx + y) + sinx y)] 8

10 .10 Archi noti x[rad] x[deg] sin x cos x tan x cot x Nota: sono qui riportati solo gli archi del primo quadrante in quanto gli altri sono riconducibili a tale quadrante tramite gli archi associati vedi.). 9

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