METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 Barlow Points In teoria potremmo valutare tensioni e deformazioni, o i gradienti per altri tipi di analisi, in qualsiasi punto interno all elemento. Tuttavia le tensioni e le deformazioni previste dal metodo degli elementi finiti risultano più accurate solo in particolari punti, questi punti sono definiti i Barlow points. Nei Barlow points l accuratezza nel calcolo delle tensioni e delle deformazioni eguaglia quella raggiunta per il calcolo degli spostamenti. Ricordiamo per esempio che per gli elementi lineari l errore nel calcolo degli spostamenti era proporzionale a h 2, mentre l errore nel calcolo delle tensioni era proporzionale a h. Per gli elementi lineari nei Barlow points l errore nel calcolo delle tensioni è proporzionale ad h 2 come per gli spostamenti. In questi punti le tensioni e le deformazioni, o i gradienti per altri tipi di analisi, risultano superconvergenti.

2 Barlow Points Le coordinate dei Barlow points sono quelle dei punti dell integrazione numerica di Gauss. I punti di Gauss da scegliere per dato elemento si determinano considerando il numero di punti di integrazione necessari per integrare esattamente la matrice di rigidezza dell elemento considerato, i Barlow points sono locati nei punti di Gauss individuati sottraendo una unità a tale numero di punti di integrazione. Ricordiamo che nell'elemento isoparametrico a 4 nodi in [B] sono presenti termini lineari in r ed s, nell'integrando termini quadratici in r ed s: 2x2 punti di integrazione assicurano l'integrazione esatta. In questo caso abbiamo un solo Barlow point, quello relativo all integrazione numerica di Gauss con un solo punto di integrazione, ed è locato in r=0 e s=0. Nel caso dell'elemento isoparametrico a 8 nodi in [B] sono presenti termini quadratici e nell'integrando termini quartici in r ed s: 3x3 punti di integrazione assicurano l'integrazione esatta. In questo caso abbiamo 4 Barlow points, quello relativo all integrazione numerica di Gauss con due punti di integrazione, e sono locati in 1) r= +1/ 3 e s= +1/ 3, 2) r= +1/ 3 e s= -1/ 3, 3) r= -1/ 3 e s= +1/ 3, 4) r= -1/ 3 e s=-1/ 3

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4 Elementi Lineari

5 Elementi Quadratici

6 GENERAZIONE AUTOMATICA DELLA DISCRETIZZAZIONE DI UNA SUPERFICIE La discretizzazione di un corpo con elementi finiti si può eseguire in diversi modi, che possono classificarsi come segue. -Generazione manuale. In questo caso vengono definite le posizioni dei nodi e successivamente vengono definiti gli elementi, specificando per ognuno di essi i nodi cui sono connessi. Questo approccio è utilizzabile convenientemente, in pratica, per domini con geometrie semplici e numero di elementi non eccessivamente elevato o per domini che comunque devono essere discretizzati con un numero molto ridotto di elementi. - Generazione semiautomatica. La discretizzazione di un dominio è generata a partire da un campo di nodi e/o elementi definito preliminarmente, ed eseguendo su di esso operazioni elementari di copiatura e trasformazione di traslazione, rotazione, simmetria (v. parte alta della figura nella prossima slide).

7 In certi casi, quando il dominio è racchiuso da un contorno triangolare o quadrangolare, si può definire un elemento esteso quanto il dominio e lo si divide successivamente nel desiderato numero di volte (v. parte bassa della figura).

8 Nella figura sono riportati i casi di generazione per suddivisione e per copiatura di un campo di elementi e successivo ribaltamento attorno ad un asse di simmetria; sono riportati anche i casi di generazione di modelli tridimensionali a partire da una discretizzazione piana.

9 -Generazione automatica. La discretizzazione automatica viene eseguita in genere definendo preliminarmente le entità geometriche che individuano il corpo, fissando i parametri per la definizione del tipo e delle dimensioni degli elementi ed utilizzando dei criteri per la individuazione delle posizioni dei vertici degli elementi all interno del corpo; sono infine individuate le posizioni dei nodi e sono creati gli elementi connessi ad essi, facendo in modo, tra l altro, che il contorno venga modellato con i lati degli elementi. Generalmente le dimensioni degli elementi derivano dalla definizione, per ogni linea di contorno, o della lunghezza massima del lato dell elemento sovrapposto a quel segmento di contorno o del numero di elementi; per definire diversi gradi di infittimento in due regioni, nel secondo caso viene generalmente definito anche il rapporto tra le dimensioni degli elementi estremi della linea di contorno: in tal caso per consentire la variazione continua delle dimensioni degli elementi tra le due regioni, le dimensioni degli elementi interni sono caratterizzati da rapporti intermedi. Le discretizzazioni possono effettuarsi utilizzando elementi quadrangolari, triangolari o quadrangolari e triangolari insieme.

10 Tecniche per la generazione semiautomatica ed automatica della discretizzazione sono utilizzati nei programmi di preprocessamento, che generalmente accompagnano il modulo solutore di codici commerciali basato sul metodo degli elementi finiti. Si riportano nel seguito due metodi per la generazione automatica della discretizzazione di una superficie.

11 GENERAZIONE AUTOMATICA DELLA DISCRETIZZAZIONE DI UNA SUPERFICIE Si può eseguire soltanto su superfici triangolari o quadrangolari; nel primo caso sui tre lati deve fissarsi lo stesso numero di divisioni, che deve essere pari, nel secondo le divisioni devono essere uguali sui lati opposti Metodo di trasferimento della discretizzazione Il metodo si basa sulla discretizzazione di una superficie regolare ausiliaria e sul suo successivo trasferimento alla superficie data per mezzo di funzioni di interpolazione.

12 GENERAZIONE AUTOMATICA DELLA DISCRETIZZAZIONE DI UNA SUPERFICIE Si supponga di voler eseguire la discretizzazione di un quadrilatero. Le quantità: - n=numero di divisioni su un lato (deve essere uguale sui lati opposti); - s lunghezza ultima divisione lunghezza prima divisione - lunghezza iesima divisione dopo la prima lunghezza prima divisione i n 1 si s i con =1,2,3,...,n-2 consentono di definire in numero e dimensioni gli elementi lungo ogni lato. Si consideri adesso un quadrato di lato unitario e si riportino sui suoi lati i punti individuati da n, s ed si. Congiungendo ordinatamente con segmenti di retta i punti sui lati opposti si individuano i vertici e gli elementi che li connettono. Utilizzando delle funzioni del tipo delle funzioni di interpolazione alle coordinate naturali, è possibile effettuare la trasformazione delle coordinate dei vertici individuati nel quadrato di lato unitario nelle coordinate dei vertici degli elementi del quadrilatero dato e definire gli elementi corrispondenti.

13 La trasformazione delle posizioni dei nodi è governata da una relazione del tipo {x} =[N] {c}, che lega le coordinate dei nodi della superficie reale ({x}) a quelli della superficie ausiliaria ({c}), con [N] costituita da funzioni lineari. I vantaggi nell'impiego di questo metodo sono più evidenti nei casi di: Lati curvi In questo caso sarà necessario definire un punto intermedio per ogni lato. Nella legge di trasformazione dei nodi, in [N] compaiono funzioni quadratiche.

14 Contorni poligonali In questo caso occorre: 1 -Trasformare il poligono in un poligono a quattro lati o tre lati, fittizi, concatenando due o più lati del poligono originario. 2 -Fare in modo che nel caso di poligono a quattro lati sui lati opposti ci sia lo stesso numero di divisioni o che per un triangolo ci sia lo stesso numero, pari, di divisioni sui tre lati. 3 -Discretizzare il poligono ausiliario. 4 -Trasferire la discretizzazione al poligono reale.

15 Nelle figure successive è mostrato come un poligono con un numero qualunque di lati possa essere assimilato ad un triangolo e possa essere discretizzato con elementi quadrilateri, mediante opportuni concatenamenti dei lati (indicati con linee doppie) e scelta del numero di divisioni.

16 Le figure che seguono sono riferite ad una superficie assimilata ad una superficie quadrangolare mediante concatenamento dei lati a, b, c, d ed f, g, h; la discretizzazione è effettuata con elementi quadrilateri, avendo assegnato uguali numeri di divisioni sui lati opposti. In generale per una superficie discretizzata con elementi quadrilateri il numero di elementi vale:. superficie quadrilatera: n l n 2 se n l ed n 2 sono le divisioni su due lati non opposti del quadrilatero;. superficie triangolare 3(n/2) 2

17 I poligoni con i contorni concatenati in modo da dare luogo a triangoli fittizi sono spesse volte adoperati nelle regioni di transizione da una regione ad un'altra caratterizzata da un diverso grado di infittimento. Tale possibilità è illustrata nella figura seguente, nella quale utilizzando la proprietà che le superfici triangolari possono discretizzarsi con elementi quadrangolari assegnando lo stesso numero (pari) di divisioni sui tre lati, le superfici con quattro lati sono assimilate a superfici triangolari concatenando due lati consecutivi, potendo così ottenere sui suoi lati opposti un numero di divisioni diverso e quindi un grado di infittimento diverso. In particolare per i contorni della superficie evidenziata si sono definite a divisioni su due lati e c e d divisioni, rispettivamente, sugli altri due, tali che c+d=a; concatenando questi ultimi due lati la superficie viene assimilata ad un'area triangolare, consentendo così la discretizzazione automatica con elementi quadrilateri e la variazione del grado di infittimento.

18 Discretizzazione con elementi triangolari Si può eseguire su superfici di forma qualunque Metodo dell'avanzamento del fronte Anche questo metodo prevede che sia data la divisione del contorno. Il procedimento è iterativo e consiste dei seguenti passi:. inizializzazione del fronte (il contorno);. analisi del fronte: a) determinazione delle zone di inizio della discretizzazione (nelle quali sono creati uno o più elementi); b) aggiornamento del fronte;. analisi del fronte: => a), b). Algoritmo di generazione Il fronte iniziale è definito dai segmenti del contorno. L'analisi del fronte è basata sull'esame delle proprietà geometriche dei segmenti che lo costituiscono, ottenuti in seguito alla divisione operata. Deve essere considerato l'angolo α formato tra due segmenti consecutivi del fronte. Possono determinarsi le tre situazioni seguenti:

19 < /2 : i due segmenti formanti l'angolo α diventano due lati dell'elemento triangolare creato (fig. 1); /2 2 /3 : i due segmenti danno luogo ad un vertice (S) e a due triangoli (fig. 2); >2 /3 : è generato il vertice S, utilizzato insieme al segmento più lungo per creare un triangolo (fig. 3). La posizione di un vertice è stabilita in modo che la forma dell'elemento sia la più regolare possibile. Quando /2 2 /3 il vertice è preso sulla bisettrice di α ad una distanza dal vertice: s = d SS = 1 ( 2d 6 + 2d + d + d 3 S2S3 S3S4 S1S 2 S4S5 )

20 Nel caso in cui e non sono troppo grandi o troppo piccoli, cioè nel caso in cui è, come si considera nella pratica: /5 (, ) 2 - /5. In caso contrario è utilizzata la costruzione della figura 1). Durante l'avanzamento del fronte viene verificato che i nodi generati siano interni alla superficie da discretizzare e non cadano all'interno di altri elementi esistenti. Per questi motivi, in genere, la discretizzazione non risulta uniforme.

21 Differenze eccessive nelle dimensioni dei segmenti di partenza possono determinare la non convergenza del procedimento. Il numero di elementi della discretizzazione finale non è calcolabile a priori. Questa tecnica può essere impiegata anche per creare discretizzazioni costituite da triangoli e quadrilateri.