Svolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)

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1 Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a due variabili Disegnare l insieme di definizione della funzione f(x, y) = 1 x + 8 y eventuali punti di massimo e di minimo relativo. xy e determinare gli Il dominio della funzione è tutto il piano euclideo tranne gli assi, ovvero D = (x, y) R 2 : x 0, y 0} (disegnare tutto il piano tratteggiando gli assi coordinati). Per determinare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo di f andiamo alla ricerca dei suoi punti critici. Le derivate parziali prime sono f x (x, y) = 1 x 2 y f y (x, y) = 8 y 2 x perciò risolviamo il seguente sistema f y (x, y) = 0 = 1 x 2 y = 0 y = 1 8 = x 2 y 2 x = 0 8x 4 x = 0 (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima) y = 1 x 2 x(8x 3 + 1) = 0 x = 0 oppure 8x = 0 x = 0 oppure x = 1/2 si ottengono perciò due sistemi y = 1 x 2 y = 1 nessuna soluzione OPPURE x 2 x = 0 x = 1/2 = ( 1/2, 4) In definitiva otteniamo ( 1/2, 4) come unico punto critico per f. Ne studiamo la natura calcolando il determinante hessiano di f in tale punto: f xx (x, y) = 2 x 3 = f xx( 1/2, 4) = 16 1

2 f xy (x, y) = 1 = f yx (x, y) f yy (x, y) = 16 y 3 = f yy( 1/2, 4) = 1/4 Hf( 1/2, 4) = /4 = 4 1 = 3 > 0, f xx( 1/2, 4) < 0 = il punto ( 1/2, 4) è di massimo relativo per f. Calcolare gli estremi relativi ed assoluti della funzione: f(x, y) = xy + x 2 + y 2 + 2x, nel rettangolo 2 x 0, 0 y 1. Innanzitutto cerco gli eventuali punti critici interni al rettangolo: fx (x, y) = y + 2x + 2 = 0 f y (x, y) = x + 2y = 0 = x = 2y y 4y + 2 = 0 = x = 2y 3y = 2 y = 2/3 x = 4/3 dunque P ( 4/3, 2/3) è un punto critico per la funzione f e cade all interno del rettangolo assegnato. Per vedere la sua natura calcolo l hessiana di f in P : f xx (x, y) = 2, f xy (x, y) = 1 = f yx (x, y), f yy (x, y) = 2 H f (P ) = = 4 1 = 3 > 0 Essendo f xx (P ) = 2 > 0 il punto P è di minimo relativo per la funzione f. Passo ora a studiare la funzione lungo la frontiera del rettangolo, ovvero lungo i lati del rettangolo e nei suoi vertici V 1 (0, 0), V 2 (0, 1), V 3 ( 2, 0), V 4 ( 2, 1). Si ha f(v 1 ) = 0, f(v 2 ) = 1, f(v 3 ) = 0, f(v 4 ) = 1. Inoltre: - lungo il lato y = 0, 2 x 0 la funzione vale f(x, 0) = x 2 + 2x e la sua derivata è 2x x 1 quindi nell intervallo 2 x 0 tale restrizione di f è descrescente fra 2 e 1 ed è crescente fra 1 e 0. Dunque ( 1, 0) è un punto di minimo relativo per f e f( 1, 0) = 1 mentre i vertici V 1 e V 3 sembrerebbero entrambi punti di massimo relativo per f. - lungo il lato y = 1, 2 x 0 la funzione vale f(x, 1) = x 2 + 3x + 1 e la sua derivata è 2x x 3/2 quindi nell intervallo 2 x 0 tale restrizione di f è descrescente fra 2 e 3/2 ed è crescente fra 3/2 e 0. Dunque ( 3/2, 0) è un punto di minimo relativo per f e f( 3/2, 0) = 5/2 mentre i vertici V 2 e V 4 sembrerebbero punti di massimo relativo per f. - lungo il lato x = 0, 0 y 1 la funzione vale f(0, y) = y 2 e la sua derivata è 2y 0 per ogni 0 y 1 quindi non ci sono punti di massimo o di minimo relativi interni a questo intervallo. Il vertice V 1 sembrerebbe un punto di minimo relativo per f mentre il vertice V 2 sembrerebbe un punto di massimo relativo per f. - lungo il lato x = 2, 0 y 1 la funzione vale f( 2, y) = y 2 2y e la sua derivata è 2y 2 0 y 1 mai per 0 y 1 quindi non ci sono punti di massimo o di minimo relativi interni a questo intervallo. Il vertice V 3 sembrerebbe un massimo relativo per f mentre V 4 un punto 2

3 di minimo relativo per f. Concludendo, i punti di massimo e di minimo relativo per f nel rettangolo sono: - P punto di minimo relativo con f(p ) = 4/3 - ( 1, 0) punto di minimo relativo con f( 1, 0) = 1 - ( 3/2, 0) punto di minimo relativo con f( 3/2, 0) = 5/2 - V 2 punto di massimo relativo per f con f(v 2 ) = 1 ( 1 ) - V 3 punto di massimo relativo per f con f(v 3 ) = 0 ( 2 ) Infine, visto che f è una funzione continua e il rettangolo è un insieme compatto del piano, per il teorema di Weierstrass esistono sicuramente massimo e minimo assoluto di f nel rettangolo. Da un confronto tra i valori della f assunti nei punti di massimo e minimo relativi sopra elencati si vede subito che il minimo assoluto di f è 5/2 mentre il suo massimo assoluto è 1. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x, y) = 1 1 x + y + x 2 + y 2. Innanzitutto osserviamo che il dominio della funzione è tutto R 2 in quanto x 2 + y 2 x + y per ogni (x, y) R 2. Infatti, come si vede da conto che segue, il primo membro si può scrivere come somma di due quadrati e di una costante positiva e quindi non si potrà annullare mai: x 2 + y 2 x + y + 1 = (x 1/2) 2 + (y + 1/2) 2 1/4 1/4 + 1 = (x 1/2) 2 + (y + 1/2) 2 + 1/2 Calcoliamo le derivate parziali prime f x (x, y) = 1 2x (1 x + y + x 2 + y 2 ) 2, f y(x, y) = 1 2y (1 x + y + x 2 + y 2 ) 2 e risolviamo il sistema f y (x, y) = 0 = 1 2x = 0 1 2y = 0 = x = 1/2, y = 1/2. 1 V 2 è un punto di massimo relativo perchè lo è lungo entrambi i lati di cui è estremo 2 V 3 è un punto di massimo relativo perchè lo è lungo entrambi i lati di cui è estremo. I vertici V 1 e V 4 invece non sono nè di massimo nè di minimo. 3

4 Abbiamo un solo punto stazionario. Determiniamo la sua natura: Allora f xx (x, y) = 2(1 x + y + x2 + y 2 ) 2 (1 2x)2(1 x + y + x 2 + y 2 )( 1 + 2x) (1 x + y + x 2 + y 2 ) 4 = (1 x + y + x2 + y 2 )[ 2(1 x + y + x 2 + y 2 ) + 2(1 2x) 2 ] (1 x + y + x 2 + y 2 ) 4 = 2(1 x + y + x2 + y 2 ) + 2(1 2x) 2 (1 x + y + x 2 + y 2 ) 3 f xy (x, y) = (1 2x)2(1 x + y + x2 + y 2 )(1 + 2y) (1 x + y + x 2 + y 2 ) 4 = (2x 1)(1 + 2y) (1 x + y + x 2 + y 2 ) 3 f yy (x, y) = 2(1 x + y + x2 + y 2 ) 2 ( 1 2y)2(1 x + y + x 2 + y 2 )(1 + 2y) (1 x + y + x 2 + y 2 ) 4 = (1 x + y + x2 + y 2 )[ 2(1 x + y + x 2 + y 2 ) + 2(1 + 2y) 2 ] (1 x + y + x 2 + y 2 ) 4 = 2(1 x + y + x2 + y 2 ) + 2(1 + 2y) 2 (1 x + y + x 2 + y 2 ) 3 f xx (1/2, 1/2) = 8, f xy (1/2, /2) = 0, f yy (1/2, 1/2) = 8 H f (1/2, 1/2) = 64 > 0, f xx (1/2, 1/2) = 8 < 0 = (1/2, 1/2) punto di massimo relativo per f. Calcolare gli eventuali punti di minimo e massimo relativo della funzione: f(x, y) = (x 2 + xy + 2y 2 ) e x. f x (x, y) = (x 2 + xy + 2y 2 ) e x + (2x + y) e x = e x (x 2 + xy + 2y 2 + 2x + y) f y (x, y) = (x + 4y) e x f y (x, y) = 0 x 2 + xy + 2y 2 + 2x + y = 0 x + 4y = 0 x = 4y 14y 2 7y = 0 x = 4y 14y 2 7y = 0 x = 4y y(2y 1) = 0 Soluzioni del sistema Derivate seconde: (0, 0), ( 2, 1/2). f xx (x, y) = e x (x 2 + xy + 2y 2 + 4x + 2y + 2) f xy (x, y) = e x (x + 4y + 1) f yy (x, y) = 4e x 4

5 Determinante della matrice Hessiana in (0, 0) = 7. (0, 0) punto di minimo relativo. Determinante della matrice Hessiana in ( 2, 1/2) e 2 ( 3/2) e 2 = e 4 ( 6 1) < 0. e 2 4e 2 ( 2, 1/2) niente. Calcolare gli eventuali punti di minimo e massimo relativo della funzione: f(x, y) = x y + 27 x y. Si osserva innanzitutto che il dominio D di f è tutto il piano cartesiano privato degli assi x = 0 e y = 0. Calcoliamo le derivate parziali prime di f in D: f x (x, y) = 1 y 27 x 2, f y(x, y) = x y 2 1; f y (x, y) = 0 1 y 27 x 2 = 0 x y 2 1 = 0 x 2 27y = 0 x y 2 = 0 y 4 27y = 0 x = y 2 y(y 3 27) = 0 x = y 2 y = 0 oppure y = 3 x = y 2 (0, 0), ( 9, 3) Si ha un solo punto stazionario, ( 9, 3), visto che l origine non appartiene al dominio. Per studiarne la natura calcoliamo il valore della matrice hessiana di f in tale punto: f xx (x, y) = 54 x 3, f xy(x, y) = 1 y 2, f yy(x, y) = 2x y ( 9) H f ( 9, 3) = 3 9 = > 0, f xx( 9, 3) = < ( 9) 3 quindi ( 9, 3) è un punto di massimo relativo. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo, relativi ed assoluti, della funzione f(x, y) = 2y 2 + 3xy + 2x nel triangolo chiuso delimitato dalle rette di equazione y = 1, y = x e y = x. 5

6 La funzione assegnata è continua, il triangolo è un insieme chiuso e limitato = il teorema di Weierstass ci assicura l esistenza di massimo e minimo assoluto di f, essi possono essere assunto o all interno del triangolo o lungo la sua frontiera. - All interno del triangolo: cerchiamo i punti critici di f, ovvero i punti che risolvono il seguente sistema f y (x, y) = 0. Si ha f x (x, y) = 3y + 4x, f y (x, y) = 4y + 3x quindi 3y + 4x = 0 = (0, 0) che non è interno al triangolo quindi non lo consideriamo. 4y + 3x = 0. - Lungo la frontiera del triangolo: abbiamo 3 vertici e 3 lati. I vertici sono O(0, 0), V 1 (1, 1) e V 2 ( 1, 1) e la funzione in essi vale f(0, 0) = 1, f(1, 1) = 2, f( 1, 1) = 8. Vediamo cosa accade lungo i lati restringendo la funzione lungo di essi. A tal fine abbiamo bisogno di parametrizzare i lati: lato l 1 di vertici O e V 1 : y = x con 0 < x < 1 f l1 = f(x, x) = 2x 2 3x 2 + 2x = x =: f 1 (x) f 1(x) = 2x 0 0 < x < 1 = lungo questo lato non ci sono punti di massimo o di minimo per f 1 e quindi neppure per f; lato l 2 di vertici O e V 2 : y = x con 1 < x < 0 f l2 = f(x, x) = 2x 2 + 3x 2 + 2x = 7x =: f 2 (x) f 2(x) = 14x 0 1 < x < 0 = lungo questo lato non ci sono punti di massimo o di minimo per f 2 e quindi neppure per f; lato l 3 di vertici V 1 e V 2 : y = 1 con 1 < x < 1 f l3 = f(x, x) = 2 3x + 2x = 2x 2 3x + 3 =: f 3 (x) f 3(x) = 4x 3 0 x 3 4 = la funzione f 3 decresce per 1 < x < 3/4, cresce per 3/4 < x < 1 e il punto x = 3/4 è di minimo relativo per f 3 con f 3 (3/4) = 3/4. Quindi il punto (3/4, 1) è di minimo relativo per la funzione f e f(3/4, 1) = 3/4. Conclusione: mettendo a confronto i valori che la funzione assume nei vertici e nei punti di massimo o minimo trovati lungo i lati e nei punti critici interni (che in questo caso non ci sono) si deduce che il suo minimo assoluto è pari a 3/4 ed è raggiunto nel punto (3/4, 1) mentre il suo massimo assoluto è pari a 8 ed è assunto nel vertice V 2. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione f(x, y) = (x y 2 ) e x+4y. 6

7 La funzione ha come dominio tutto R 2. Per effettuare la ricerca dei punti critici calcoliamo le derivate parziali prime di f f x (x, y) = e x+4y (x y 2 ) e x+4y = e x+4y (1 x + y 2 ) f y (x, y) = 2ye x+4y + 4(x y 2 ) e x+4y = 2e x+4y ( y + 2x 2y 2 ) e risolviamo il seguente sistema f y (x, y) = 0 = e x+4y (1 x + y 2 ) = 0 2e x+4y ( y + 2x 2y 2 ) = 0 = (visto che e x+4y 0 sempre) x = 1 + y 2 x = = 5 y y 2 2y 2 = 0 y = 2 = y = 2 1 x + y 2 = 0 y + 2x 2y 2 = 0 = (5, 2) punto critico per f. Per stabilire la natura di tale punto calcoliamo le derivate seconde e il determinante hessiano di f in (5, 2). f xx (x, y) = e x+4y (1 x + y 2 ) + e x+4y ( 1) = e x+4y ( 2 + x y 2 ) f xx (5, 2) = e 3 f xy (x, y) = 4e x+4y (1 x + y 2 ) + e x+4y (2y) = 2e x+4y (2 2x + 2y 2 + y) f xy (5, 2) = 4e 3 f yy (x, y) = 8e x+4y ( y+2x 2y 2 )+2e x+4y ( 1 4y) = 2e x+4y ( 8y 2 8y+8x 1) f yy (5, 2) = 18e 3 Hf(5, 2) = e3 4e 3 4e 3 18e 3 = 18e6 16e 6 = 2e 6 > 0. Visto che f xx (x, y) < 0 il punto (5, 2) è di minimo relativo per f. Data la funzione f(x, y) = y 4 2y 3 xy 2 determinare eventuali punti di massimo o di minimo relativi per f. La funzione è definita in tutto il piano. Troviamo i punti critici di f risolvendo il seguente sistema fx (x, y) = y 2 = 0 f y (x, y) = 4y 3 6y 2 y = 0 x = 0 (0, 0). 2xy = 0 Per studiare la natura del punto critico (0, 0) calcoliamo le derivate seconde f xx (x, y) = 0, f xy (x, y) = 2y, f yy (x, y) = 12y 2 12y 2x da cui si ha che H f (0, 0) = 0. Occorre quindi un analsi locale. Se (0, 0) fosse un punto di minimo relativo dovrebbe esistere un intorno (un disco di centro (0, 0) e raggio r > 0) in cui f(x, y) f(0, 0) y 4 2y 3 xy 2 0 y 2 (y 2 2y x) 0 y 2 2y x 0 ovvero x y 2 2y. Dopo aver disegnato la parabola x = y 2 2y e individuato la regione rappresentata da x y 2 2y (ovvero la parte interna alla parabola) si osserva che l origine appartiene alla parabola e quindi qualunque intorno si consideri si avranno regioni in cui il punto sembra di minimo e regioni in cui il punto sembra di massimo, ragion per cui il punto è di sella. 7

8 Determinare massimi e minimi relativi della funzione f(x, y) = log(1 x 2 y 2 ) nel proprio dominio. Il dominio D di f è dato da 1 x 2 y 2 > 0, ovvero x 2 + y 2 < 1, ovvero dei punti interni alla circonferenza di centro l origine degli assi e raggio 1. In tale dominio si studia il seguente sistema fx (x, y) = 2x = 0 1 x 2 y 2 f y (x, y) = 2y = x = y = 0 = (0, 0). = 0 1 x 2 y 2 Si osserva che f(0, 0) = log 1 = 0 e che f(x, y) f(0, 0) log(1 x 2 y 2 ) 0 1 x 2 y 2 1 x 2 + y 2 0 ovvero non esiste un intorno di (0, 0) in cui (0, 0) risulti un punti di minimo, dunque l origine è un punto di massimo assoluto per f in D. 8