Massimi e minimi di una funzione razionale fratta Francesco Daddi - 18 maggio 2010

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1 Francesco Daddi - 18 maggio 2010 Esempio 1. Studiare la funzione f x 4 x 8 x 2 3 x 3. R (si osservi che il denominatore non si annulla mai); la funzione ha uno zero in x 2. La funzione è positiva per x 2 ed abbiamo che l'asse x è asintoto orizzontale in quanto il grado del numeratore è minore del grado del denominatore. Andiamo a studiare la derivata della funzione: f ' x 4 x2 16 x 12 x 2 3 x 3 2 dal momento che il denominatore è sempre positivo, studiamo solo il segno del numeratore: f ' x 0 1 x 3 quindi la funzione è crescente per 1 x 3 ed è decrescente per x 1 e per x 3. La funzione presenta quindi un minimo per x 1 (il valore della funzione per tale x è f 1 4 ) e un massimo per x 3 (il valore della funzione per tale x è f ).

2 Francesco Daddi - 18 maggio 2010 Esempio 2. Studiare la funzione f x 6 12 x x 2 2 x 5. Soluzione. Il dominio della funzione è D f R (si osservi che il denominatore non si annulla mai); la funzione ha uno zero in x 1 2. La funzione è positiva per x 1 ed abbiamo che l'asse 2 x è asintoto orizzontale in quanto il grado del numeratore è minore del grado del denominatore. Andiamo a studiare la derivata della funzione: f ' x 12 x2 12 x 72 x 2 2 x 5 2 dal momento che il denominatore è sempre positivo, studiamo solo il segno del numeratore: f ' x 0 x 2 x 3 quindi la funzione è crescente per x 2 x 3 ed è decrescente per 2 x 3. La funzione presenta quindi un minimo per x 3 (il valore della funzione per tale x è f ) e un massimo per x 2 (il valore della funzione per tale x è f 2 6 ).

3 Esempio 3. Studiare la funzione f x x2 2 x x 2 x 2. R (si osservi che il denominatore non si annulla mai); la funzione ha due zeri in x 0 e in x 2. La funzione è positiva per x 2 x 0 ed abbiamo che la retta y 1 è asintoto orizzontale in quanto il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore. Andiamo a studiare la derivata della funzione: f ' x 3 x2 4 x 4 x 2 x 2 2 dal momento che il denominatore è sempre positivo, studiamo solo il segno del numeratore: f ' x x 2 quindi la funzione è crescente per 2 3 x 2 ed è decrescente per x 2 3 x 2. La funzione presenta quindi un minimo per x 2 3 (il valore della funzione per tale x è f ) e un massimo per x 2 (il valore della funzione per tale x è f 2 2 ).

4 Esempio 4. Studiare la funzione f x 2 x2 8 x 6 x 2 x 2. R (si osservi che il denominatore non si annulla mai); la funzione ha due zeri in x 1 e in x 3. La funzione è positiva per x 1 x 3 ed abbiamo che la retta y 2 è asintoto orizzontale in quanto il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore. Andiamo a studiare la derivata della funzione: f ' x 6 x2 4 x 10 x 2 x 2 2 dal momento che il denominatore è sempre positivo, studiamo solo il segno del numeratore: f ' x 0 x 1 x 5 3 quindi la funzione è crescente per x 1 x 5 3 ed è decrescente per 1 x 5 3. La funzione presenta quindi un minimo per x 5 3 (il valore della funzione per tale x è f ) e un massimo per x 1 (il valore della funzione per tale x è f 1 4 ).

5 Esempio 5. Studiare la funzione f x x2 6 x 13 x 3. R 3 ; la funzione non ha zeri in quanto il numeratore non si annulla mai. La funzione è positiva per x 3 ed ammette i seguenti asintoti: la retta x 3 (asintoto verticale) e la retta y x 3 (asintoto obliquo), ottenuta con la divisione polinomiale. Andiamo ora a studiare la derivata della funzione: f ' x x2 6 x 5 x 3 2 risulta (si faccia attenzione al fatto che x 3 è escluso dal dominio della funzione) f ' x 0 x 1 x 5 la funzione è crescente per x 1 x 5 ed è decrescente per 1 x 3 3 x 5. La funzione presenta quindi un minimo relativo per x 5 (il valore corrispondente è f 5 4 ) e un massimo relativo per x 1 (il valore della funzione per tale x è f 1 4 ).

6 Esempio 6. Studiare la funzione f x x2 x 2 x 2 5 x 4. R 1 ;4 ; gli zeri sono x 1 e x 2. La funzione è positiva per x 1 1 x 2 x 4 ed ammette i seguenti asintoti: le rette x 1 e x 4 (asintoti verticali) e la retta y 1 (asintoto orizzontale), ottenuta osservando che il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore. Andiamo ora a studiare la derivata della funzione: f ' x 4 x2 12 x 14 x 2 5 x 4 2 risulta (si faccia attenzione al fatto che x 1 e x 4 sono esclusi dal dominio della funzione) f ' x 0 per nessun valore di x la funzione è decrescente per x 1 1 x 4 x 4. La funzione non presenta, quindi, né punti di massimo né punti di minimo.

7 Esempio 7. Studiare la funzione f x 7 x 35 x 2 8 x 16. R 4 ; la funzione ha un unico zero: x 5. La funzione è positiva per x 5 ed ammette i seguenti asintoti: la retta x 4 (asintoto verticale) e la retta y 0 (asintoto orizzontale), ottenuta osservando che il grado del numeratore è minore del grado del denominatore. Andiamo ora a studiare la derivata della funzione: f ' x 7 x2 70 x 168 x 2 8 x 16 2 risulta (si faccia attenzione al fatto che x 4 è escluso dal dominio della funzione) f ' x 0 4 x 6 la funzione è crescente per 4 x 6, mentre è decrescente per x 4 x 6. La funzione presenta un massimo per x 6 e il corrispondente valore della funzione è f

8 Esempio 8. Studiare la funzione f x 5 x 2 24 x 33 x 2 9. R 3;3 ; la funzione non ha zeri. La funzione è positiva per x 3 x 3 ed ammette i seguenti asintoti: le rette x 3 e x 3 (asintoti verticali) e la retta y 5 (asintoto orizzontale), ottenuta osservando che il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore. Andiamo ora a studiare la derivata della funzione: f ' x 24 x2 156 x 216 x risulta (si faccia attenzione al fatto che x 3 e x 3 sono esclusi dal dominio della funzione) f ' x 0 x 3 3 x 2 x 9 2 la funzione è decrescente per 2 x 3 3 x 9 2. La funzione presenta un massimo relativo per x 2 (il corrispondente valore della funzione è f 2 1 ) e un minimo relativo per x 9 2 (il corrispondente valore è f ).

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