1 Studio di funzioni, sviluppi di Taylor e serie

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1 Studio di fuzioi, sviluppi di Taylor sri. Esrcizi. Sia fx = x +. Dtrmiar l isim di dfiizio. Studiar il sgo. Calcolar i iti agli strmi dll isim di dfiizio. Dir s ci soo asitoti. Dtrmiar l isim di cotiuità di drivabilità. Studiar crscza dcrscza co vtuali massimi miimi rlativi. Studiar cocavità covssità co vtuali flssi. Disgar il grafico.. Assgata la fuzio x fx = cos x cos x, dtrmiar l isim di dfiizio. Dtrmiar vtuali simmtri. Dir s è priodica d vtualmt calcolar il priodo. Studiar il sgo. Dir s ci soo asitoti. Dtrmiar l isim di cotiuità di drivabilità. Studiar crscza dcrscza co vtuali massimi miimi rlativi. Studiar cocavità covssità co vtuali flssi. Disgar il grafico. 3. Scrivr lo sviluppo di Taylor ctrato i zro di ordi 5 dlla sgut fuzio: fx = si x logx Scrivr lo sviluppo di Taylor di ordi 3 dlla sgut fuzio i x 0 = 0: 5. Calcolar, s sistoo pr α = 3 α = Calcolar il sgut it fx = x + x. arcsi x x + si α x x 0 x arcsix x 0 8 x 8 8x 4x si x six Si calcoli lo sviluppo di Taylor dll sguti fuzioi fx = cos x i x = π/6, gx = log x i x = hx = 3x i x = 0. Si dtrmii ioltr la drivata 5-sima di tali fuzioi l puto idicato a fiaco.

2 8. Dir s la sgut sri covrg smplicmt +. Tal sri covrg ach assolutamt? 9. Studiar la covrgza smplic d assoluta dlla sgut sri Studiar covrgza smplic d assoluta dlla sgut sri al variar dl paramtro α R: α + α + 3 cosπ.. Studiar la covrgza smplic d assoluta dlla sgut sri. Soluzioi si.. Isim di dfiizio: R \ {0} i 0 o è dfiita /x! Sgo: poichè /x > 0 pr ogi x R \ {0}, il sgo di f è dato dal sgo di x +, duqu f è positiva i, 0 0, + gativa i,. Ioltr fx = 0 ss x =. Limiti agli strmi dll isim di dfiizio: fx = x + = + ; x + x + x x = x ± x = 0 =! x ± fx = x + = ; x x x x + fx = = x 0 x 0 x y = + y y + y y = y y = 0 = + ; x + fx = = x 0 + x 0 + x y = + y + y + y + y = y + y = 0.

3 Asitoti: la fuzio cosidrata ha u asitoto vrtical siistro di quazio x = 0 poichè x 0 fx = +. No ha asitoti orizzotali, ifatti x ± fx = ±. Vdiamo s ci soo asitoti obliqui. Calcoliamo ssdo q = m = fx x ± x = x + x ± x x + = x ± x x ± [fx mx] = x ± = x ± x x x ± x + x x ± x x x = x [ x + x ± x x y = y 0 y = = ] x = = + = 0, y = =. y 0 y Prtato la rtta y = x è u asitoto obliquo pr f. Cotiuità drivabilità: la fuzio cosidrata è cotiua drivabil ll isim i cui è dfiita poichè rapporto di fuzioi cotiu drivabili su tutto R \ {0}. Crscza dcrscza, miimi massimi: calcoliamo f x = x + x x x + x = x + x +. x x Si ha f x > 0 pr ogi x l domiio, duqu f è smpr crsct duqu o ha massimi miimi. Covssità cocavità, puti di flsso: abbiamo f x = x3 + x x x + x + x x x x 4 x = x ; x 4 x duqu f x 0 x 0 x. La fuzio proposta ll srcizio è covssa i, 0 0,, cocava i, + ha u flsso l puto, f =, /.. Isim di dfiizio: R. Simmtri: si ha f x = cos x cos x = cos x cos x = fx, poichè cos x = cos x. Duqu la fuzio assgata è pari quidi simmtrica risptto all ass y. 3

4 Priodo: fx = cos x cos x è priodica di priodo π, poichè tali soo l fuzioi cos x cos x. Possiamo studiarla i u priodo ad smpio [ π, +π]. Essdo pari bastrbb i [0, π]!!! Sgo: poichè cos x 0 pr ogi x [ π, +π], il sgo di f è dato dal sgo di cos x, duqu f è positiva i π/, π/, gativa i [ π, π/ π/, π] fx = 0 ss x = π/, 0, π/. Asitoti: la fuzio cosidrata o ha asitoti vrticali poichè dfiita su tutto R. No ha è asitoti orizzotali è obliqui poichè priodica. Cotiuità drivabilità: la fuzio cosidrata è cotiua drivabil su tutto R poichè prodotto di fuzioi cotiu drivabili su tutto R. Crscza dcrscza, miimi massimi: calcoliamo f x = si x cos x si x = si x cos x. Si ha si x 0 0 x π x [ π, π] cos x 0 cos x π/3 x π/3 x [ π, π]. Duqu f è crsct i π, π/3 0, π/3, dcrsct i π/3, 0 π/3, π, ha miimi i puti di ascissa x = π, 0, +π massimi i x = π/3, +π/3. Covssità cocavità, puti di flsso: abbiamo f x = cos x si x cos x = = cos x cos x cos x = 4 cos x cos x. S poiamo cos x = t, dobbiamo studiar la sgut disquazio 4t t 0. È facil vdr ch tal disquazio è vrificata pr Duqu t , 8 o t , 5. cos x + 33 x x x, 8 co x π/3, 0 x 0, π/3 cos x 33 8 x x 3 o x x 4, x [ π, π] co x 3 π/, π x 4 π, π/. La fuzio cosidrata è covssa pr x [ π, x 4 x, x x 3, π], cocava pr x x 4, x x, x 3 ha quattro flssi pr x = x, x, x 3, x 4. 4

5 3. Ricordiamo gli sviluppi di Taylor oti di ordi 4 dll fuzioi si x logx + ctrati i zro: si x = x x3 3! + ox4 log + x = x x + x3 3 x4 4 + ox4. Duqu lo sviluppo di ordi 5 ctrato i zro dlla fuzio assgata è si x log + x = x x3 3! + ox4 x x + x3 3 x4 4 + ox4 = = x x3 + x4 3 x5 4 x4 6 + x5 + ox5 = x x3 + x4 6 x5 6 + ox5. 4. Calcoliamo f x = xx x + x = x x x, f x = x x x x x 4 x 4 = x 3 f x = x 4. Ioltr f0 =, f 0 =, f 0 = 4 f 0 =. Duqu, ssdo lo sviluppo di Taylor di ordi 3 ctrato i zro di ua fuzio f il sgut poliomio di trzo grado abbiamo f0 + f 0x + f 0! 5. Calcoliamo il it pr α = 3 si ha x + f 0 x 3, 3! fx = x x x 3 + ox 3. arcsi x x + si 3 x arcsi x x x 0 x arcsix = x 0 x arcsix + si 3 x x 0 x arcsix. Pr il calcolo dl primo it ricordiamo lo sviluppo di Taylor di arcsi x abbiamo arcsi x = x + x3 6 + ox3 arcsix = x + ox, arcsi x x x 0 x arcsix = x 0 = x 0 x3 x + x3 6 + ox3 x xx + ox = 6 + ox3 x 3 x 3 + ox3 x 3 = Pr il scodo it ricordiamo i iti otvoli 6. arcsi x x = x 0 x x 0 arcsix = 5

6 Duqu si x x 0 x = si 3 x x 0 x 3 =. Abbiamo x 0 si 3 x x arcsix = si 3 x x 3 x 0 x 3 x 0 x arcsix =. arcsi x x + si 3 x x 0 x arcsix = 6 + = 7 6. Pr α = 4 procdiamo llo stsso modo abbiamo 6. Si ha arcsi x x + si 4 x arcsi x x x 0 x arcsix = x 0 x arcsix + si 4 x x 0 x arcsix = = 6 + si 4 x x x 0 x 4 x x 0 x 0 arcsix = = 6. 8 x 8 8x 4x x 0 si x six 3 = 6 x 0 si x x x x six 3 = Ricordiamo abbiamo = 6 x 0 si x x 3 x 0 six 3 x x x x 0 x 3. x = + x + x + x3 6 + ox3 x x x + x + x + x 3 3 x 0 x 3 = + ox3 x x x 0 x 3 = Duqu x 6 9 = + ox6 x 3 x 0 x 3 = x ox 6 x 0 x 6 x 3 = 0. 8 x 8 8x 4x x 0 si x six 3 = 6 0 = Ricordiamo ch i gral lo sviluppo di Taylor di fx ctrato i x 0 è fx = k=0 f k x 0 k! x x 0 k + ox x 0. Nl ostro caso fx = cos x x 0 = π/6. Abbiamo cos x k = cos x + k π. Duqu f k π π = cos k π.. 6

7 L sprssio assum priodicamt i valori 3/, /, 3/ /, ottiamo cos π 6 cos x = + k π x π k + o x π = k! 6 6 k=0 3 = x π 3 x π + x π 3+ 3 x π ! 6 3! 6 4! 6 Ioltr usado. abbiamo f 5 π π = cos π π = cos π + 3 π = π = cos π π = si = 6. Pr quato riguarda la fuzio g, ossrviamo ch g x = x, g x = x, g x = x 3, giv x = 3 x 4,.... duqu la drivata di ordi k di g sarà g k k k! x = x k. si può dimostrar rigorosamt pr iduzio, provat pr srcizio!. Quidi g k k k! = k k. Lo sviluppo di Taylor di g l puto x = è: g k gx = g + x k + ox k! k= k k! = log + k! k x k + ox k= k = log + k k x k + ox. k=.3 Notiamo ch avrmmo potuto procdr ach utilizzado lo sviluppo di Taylor, già oto, di logy + i zro. Ifatti [ ] x gx = log + x = log + log +, allora posto y = x /, ottiamo gx = log + k= k+ k k x +ox = k= k k k x k +ox. 7

8 Calcoliamo ioltr la 5-sima drivata di g, utilizzado la.: g 5 4 4! 4! = = 5 5. Pr h utilizziamo lo sviluppo di Taylor di y ctrato i zro: y = k=0 k! yk + oy ; poiamo y = 3x ottiamo lo sviluppo crcato: 3x = Si ha ioltr h 5 0 = 3 5. k=0 3 k k! xk + ox. 8. Vdiamo s la sri vrifica l ipotsi dl critrio di Libiz. Posto a = + / > 0 pr ogi N, si ha: i la sri è a sgi altri, cioè dlla forma ii la succsio {a } è ifiitsima, a co a 0; a = 0; + iii la succsio è mootoa dcrsct, a + < a pr ogi N. Ifatti + + < + + < + + < +, vra pr ogi. La sri assgata covrg smplicmt. Pr quato riguarda la covrgza assoluta cosidriamo la sri di moduli Applichiamo a tal sri il critrio dl rapporto. Si ha +..4 a + + = + a = <, la sri.4 covrg, duqu la sri assgata covrg ach assolutamt. 8

9 9. Studiamo iazitutto la covrgza assoluta covrgza assoluta implica covrgza smplic!!!. Cosidriamo la sri di moduli +. Tal sri divrg poichè si comporta com la sri armoica +, duqu la sri assgata o covrg assolutamt. Vdiamo s covrg almo smplicmt. Essdo la sri data a sgi altri vdiamo s possiamo applicar il critrio di Libiz. Posto a = / + si ha Ifatti < + a = 0 + a + < a. ch è vrificata pr ogi > + 5/ covrg smplicmt. + + < ++ + > 0, 0, 6. La sri proposta 0. Ossrviamo iazitutto ch cosπ = duqu la sri assgata è quivalt alla sri a sgi altri α + α + 3. Studiamo dapprima la covrgza assoluta. Distiguiamo du casi α. Allora α > 3, duqu la sri di moduli si comporta com la sri armoica gralizzata α + α = α quidi poichè α > la sri data covrg assolutamt. α <. S 3 < α <, poichè α > 3, la sri di moduli è asitotica alla sri armoica gralizzata + α =. α Ora α > α > α > 3, la sri proposta covrg assolutamt ach s 3 < α <. S ivc α 3 la sri di moduli dlla sri data si comporta com la sri armoica + 3 =, duqu divrgt. La sri assgata o covrg assolutamt. Ma ssdo asitotica alla sri armoica qusto ci dic ch covrg smplicmt pr α 3 pr il critrio di Libiz. 9

10 . Ricordiamo ch si = + o allora Duqu si = + o. si = + o = + o. La sri proposta è dfiitivamt a trmii positivi d è asitotica alla sri duqu divrgt. 0