ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 421 E SEGUENTI

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1 ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 421 E SEGUENTI ESERCIZIO N. 6 PAG. 418 z vincoli Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo Determino le coordinate dei tre vertici O, A, B vertice A per cui A(20;20) 1

2 Vertice B 20 per cui: B( ;0) 3 Vertice O(0;0) Si calcola il valore di z nei tre vertici z( A) z( B) ,667 3 z( O) Pertanto la funzione assume valore massimo nel vertice A e valore minimo nel vertice B 2

3 ESERCIZIO N. 10 PAG. 419 z vincoli Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo Calcolo il valore di z nei tre vertici: z( A) z( B) z( C) Si può osservare che la funzione ha un massimo nel vertice C ( ; ) e 9 9 un minimo nel vertice A(0;48) 3

4 ESERCIZIO N. 12 PAG. 419 z x 2 vincoli Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo Si osserva che si tratta di una regione aperta con vertici A, si rappresenta quindi la linea di livello passante per l'origine (K0) e si individua la direzione di crescita (indicata dalla freccia ). 4

5 Si deduce pertanto che la funzione z non ha massimi, mentre ammette minimo nel vertice A(30;0) z3.360 Descrizione del metodo per soluzioni di un problema con regione ammissibile aperta: Si rappresentano le linee di livello della funzione obiettivo (rette, in quanto la funzione obiettivo è un piano nello spazio). Si rappresenta la linea di livello corrispondente a z 0 (retta guida ), che divide il piano in due parti in una delle quali z > 0 e nell altra z < 0. Il semipiano in cui z > 0 può essere facilmente individuato in quanto è quello che contiene il punto P(a; b) (funzione obiettivo z a x + b y). Infatti il valore assunto da z in P(a; b) è a a + b b a 2 + b 2. Unendo l origine O con il punto P e disegnando la freccia avente verso da O a P si individua il semipiano in cui z > 0. Questa freccia che prende il nome di vettore di origine O ed estremo P, risulta sempre perpendicolare al piano z ax + by. Il vettore OP indica il verso di crescita della funzione obiettivo z ax + by. P(1,3) z x + 3y z>0 z3 z<0 z0 z-1 z1 5

6 ESERCIZIO N. 13 PAG x x z x x x x x x Regione ammissibile vuota. Non ci sono soluzioni. 6

7 ESERCIZIO N. 22 PAG. 421 (Per chi trova difficoltà nella soluzione di questo esercizio, prima di vedere la soluzione indicata di seguito provi a fare l esercizio n. 21 pag. 420, già risolto dall autore del testo.) Il modello matematico è dato da: Si determina il PROFITTO UNITARIO per ognuno dei due tipi di kit, tenuto conto del prezzo di acquisto e di quello di vendita dato da Per KIT primo tipo: : ( )450; Per KIT secondo tipo: ( )420. Funzione obiettivo da massimizzare: z vincoli che possono essere riscritti nella forma Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile è data dal triangolo (regione chiusa) OAB. 7

8 Essendo la regione ammissibile un poligono la funzione ammette massimi e minimi e si trovano in corrispondenza dei vertici del triangolo. Si terminano pertanto le coordinate dei vertici : Determinazione vertice A: 500x Risolvendo il sistema mediante il metodo di sostituzione si ottiene: x quindi A(35;27) Determinazione del vertice B: sostituendo si ottiene B(60;0) Si valuta il valore della funzione nei tre vertici: z ( O) 0 ; z ( A) z( B) Il profitto massimo si ha nel punto A. La situazione ottimale, di massimo guadagno, è data dall acquisto di 35 kit del primo tipo e 27 kit del secondo tipo. ESERCIZIO N.23 PAG 421 Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Stampo A X 1 Stampo B Resina Ore lavoro Ricavo unitario X 2 Disponibilità Il modello matematico è dato da: 8

9 z funzione obiettivo da massimizzare vincoli Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile è data dal poligono OPQR, pertanto essendo la regione chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici Calcoliamo le coordinate dei vertici della regione ammissibile: 9

10 Vertice Q: risolvendo con il metodo di riduzione, facendo la differenza termine a termine tra le due equazioni si ottiene e quindi Q(168;30) Vertice R: sostituendo si ottiene R(180;0) Vertice P: sostituendo si ottiene P(0;100) Si valuta il valore della funzione nei quattro vertici: z ( O) z ( Q) z( R) z( P) Il ricavo massimo si ha nel punto Q. La situazione ottimale, di massimo ricavo, si ottiene producendo 68 stampi del tipo A e 30 stampi del tipo B. 10

11 Esercizio n. 24 pag. 421 z funzione obiettivo da massimizzare Vincoli: 0,4 + 0,2 80 0,05 + 0, ; 11

12 12

13 ESERCIZIO. 25 pag. 422 Dai dati della tabella il modello matematico di programmazione lineare del problema è dato da: z funzione obiettivo da massimizzare vincoli + 1, ,5 + 1,6 400 Si determina la regione ammissibile ottenendo: 13

14 La regione ammissibile è data dal poligono OABC, pertanto essendo la regione ammissibile chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici. Vertice B: + 1, ,5 + 1,6 400 Risolvendo il sistema si ottiene : B(133;41) Vertice A: 0 + 1,6 200 ottenendo A(0;125) Vertice C: 0 2,5 + 1,6 400 ottenendo C(160;0) Si valuta il valore della funzione nei quattro vertici: z ( O) z ( A) z( B) z( C) Dal confronto dei valori della funzione del profitto si ha: 14

15 massimo guadagno 1126 in B(133;41), producendo quindi 133 cassette del primo tipo e 41 cassette del secondo tipo. ESERCIZIO n. 26 pag. 422 Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Merce A X 1 Merce B X 2 Disponibilità Spazio disponibile in dm 3 Capitale disponibile in euro Costi giornalieri di magazzino 0,6 0,45 Il modello matematico è dato da: z 0,6 + 0, 45 funzione obiettivo (funzione del costo giornaliero di magazzino) della quale si deve determinare il massimo e il minimo. vincoli Si rappresenta la regione ammissibile: 15

16 La regione ammissibile è data dal poligono OABC, pertanto essendo la regione ammissibile chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici. Vertice B: Risolvendo il sistema si ottiene : B(166;466,7) Per il vertice A: ottenendo A(0;600) Per il vertice C: ottenendo C(400;0) Si valuta il valore della funzione nei tre vertici: z ( A) 0, , z( B) 0,6 166,7 + 0,45 466,7 z( C) 0, , Dal confronto dei valori della funzione dei costi giornalieri di magazzino si ha: costo minimo 240 in C(400;0) e costo massimo 310 in B(166,7;466,7). ESERCIZIO n. 28 pag. 422 Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Armadi del I tipo X 1 Armadi del II tipo Costo materiale usato Costo assemblaggio Guadagno unitario Il modello matematico è dato da: X 2 Disponibilità z funzione obiettivo (funzione del guadagno) della quale si deve determinare il massimo. vincoli

17 Si rappresenta la regione ammissibile: 17

18 La regione ammissibile è data dal poligono OABC, pertanto essendo la regione ammissibile chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici. Vertice B: Risolvendo il sistema si ottiene : B(2;10 ) Per il vertice A: ottenendo A(0;13,3) Per il vertice C: ottenendo C(6;0) Si valuta il valore della funzione nei tre vertici: z ( A) , z( B) z( C)

19 Dal confronto dei valori della funzione del profitto si ha: un punto di massimo in B(2;10) Per realizzare il massimo guadagno, che è uguale a 5400, l azienda dovrà produrre giornalmente 2 armadi del primo tipo e 10 armadi del secondo tipo. Esercizio n. 29 pag Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Capo tipo A Capo tipo B Disponibilità X 1 Lana in hg 3 3,5 100 Cotone in hg 0,5 0,8 20 Guadagno unitario Il modello matematico è dato da: z funzione obiettivo (funzione del guadagno) della quale si deve determinare il massimo. X 2 vincoli 3 + 3, ,5 + 0, ; Si rappresenta la regione ammissibile: La regione ammissibile è una regione chiusa essendo costituita dal poligono di vertici.. 19

20 Esercizio n. 32 pag Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Capo tipo A X 1 Capo tipo B X 2 Disponibilità lana in grammi terital in grammi rayon in grammi Si determina il guadagno per metro dato da: Risorse Capo tipo A Capo tipo Costo lana per un metro di tessuto Costo terital per un metro di tessuto Costo rayon per un metro di tessuto Costo al metro Guadagno al metro X 2 Il modello matematico è dato da: z funzione obiettivo (funzione del guadagno) della quale si deve determinare il massimo. vincoli ; Si rappresenta la regione ammissibile:. 20

21 Essendo una regione chiusa i massimi e minimi della funzione si trovano nei vertici del poligono. 21