SCIENZE: Compiti delle vacanze Estate 2013

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1 SCIENZE: Compiti delle vacanze Estate 2013 Classe II a Per agevolare lo svolgimento degli esercizi ho realizzato questa breve dispensa che, se ben utilizzata, ti permetterà di ripassare gli argomenti svolti durante l anno, che qui di seguito riporto: Grandezze vettoriali e operazioni tra vettori...2 L equilibrio rispetto alla traslazione...10 Il piano inclinato...13 Ogni capitolo inizia con dei cenni di teoria dove vengono anche riportate le principali formule necessarie per la risoluzione degli esercizi e prosegue con esercizi di esempio che vanno comunque letti e capiti seguendo attentamente la soluzione proposta. Infine seguono esercizi da svolgere in autonomia! Ti auguro di trascorrere una bella vacanza: divertente, riposante e ricca d esperienze. Arrivederci a settembre! P.A. Bonaiti 1

2 Grandezze vettoriali e operazioni tra vettori Alcune grandezze (e tra queste le forze) per essere completamente definite hanno bisogno, oltre che di un numero che definisce la loro intensità, anche di vedere specificate la loro direzione ed il verso: queste prendono il nome di grandezze vettoriali. Per descrivere queste grandezze utilizziamo i vettori, cioè dei segmenti orientati la cui lunghezza fornisce, rispetto ad una scala, l intensità (o modulo) della grandezza rappresentata. La lunghezza è il modulo del vettore e viene rappresentata con il simbolo solito, il vettore viene invece rappresentato sovrapponendo una freccia allo stesso simbolo. F= modulo F vettore Operazioni tra vettori Le operazioni tra vettori seguono regole particolari; ad esempio fare la somma di due vettori significa trovare il vettore risultante, cioè quel vettore che rappresenta l effetto complessivo dei due vettori di partenza e può quindi essere sostituito ad essi. Somma di vettori con la stessa direzione 1. Forze uguali e di verso contrario: la risultante è uguale a zero! 2. Forze con lo stesso verso: risultante con lo stesso verso e modulo dato dalla somma dei moduli. 3. Forze con verso opposto: risultante con lo stesso verso della forza con modulo maggiore e modulo dato dalla differenza dei moduli. ESEMPIO 1: Esegui graficamente la somma vettoriale (risultante) delle coppie di vettori rappresentati in figura; determina il modulo nell ipotesi che ad un quadratino corrispondano 5 N. c=20 N e=45 N R=c+d=65 N a=20 N b=20 N R=a-b=0 d c d R d=15 N e=30 N R=e-d=15 e N R Somma di vettori con direzione qualsiasi: regola del parallelogramma e del poligono Quando i vettori da sommare hanno direzione qualsiasi, per calcolare l intensità e la direzione della risultante dobbiamo utilizzare il metodo grafico del parallelogramma Si applicano i due vettori allo stesso punto, e dalla punta di ciascuno di essi si traccia la semiretta parallela all altro vettore, ottenendo così un parallelogramma. La diagonale di questo che parte dal punto di applicazione dei vettori rappresenta la risultante. 2

3 Quando i vettori da sommare sono più di uno si può utilizzare più volte la regola del parallelogramma, oppure più semplicemente la regola del poligono. Questa consiste nel disegnare i vettori consecutivamente uno dopo l altro, facendo coincidere la punta del primo con il punto d applicazione di quello successivo, e così via. La risultante sarà il vettore con punto d applicazione coincidente con quello del primo e punta dell ultimo! ESEMPIO 2: Dati i vettori e della figura, disegna il loro vettore somma modulo, nell ipotesi che ad un quadratino corrispondano 7 N b e trova il loro R b R b a=42 N b=56 N R a 2 b N L intensità (o modulo) del vettore risultante è pari a 70 N. Prodotto di un vettore per un numero La risultante è un vettore che ha modulo dato dal prodotto del numero per il modulo del vettore, stessa direzione e verso se il numero è positivo; stessa direzione e verso opposto se il numero è negativo. ESEMPIO 3: Partendo dal vettore rappresentato in figura, disegnare i vettori: ; 3 ; 3 Vettore opposto e differenza di vettori Il vettore opposto ad un vettore è un vettore che ha lo stesso modulo, stessa direzione, ma verso opposto, e viene indicato con, e per definizione, sommato con dà un vettore nullo. Quindi: 3

4 ( a) 0 L uguaglianza, letta da destra verso sinistra, costituisce la definizione di differenza di vettori: la differenza di due vettori e è uguale alla somma del primo con l inverso del secondo. ( b) ESEMPIO 4: Esegui graficamente la differenza della coppia di vettori -, e la differenza della coppia c - d rappresentati in figura: b c d d c d Componenti di un vettore lungo 2 direzioni perpendicolari Scomporre il vettore lungo due direzioni significa trovarne le 2 componenti lungo le direzioni assegnate. Il solo caso utile si ha quando le due direzioni sono perpendicolari: in questo caso la somma delle componenti fornisce il vettore iniziale. Le due componenti costituiscono il lato di un triangolo rettangolo; se ne deduce che conoscendole si può determinare l intensità della risultante applicando il teorema di Pitagora. 2 2 F F F F F F Un vettore può essere espresso in forma analitica attraverso la scomposizione nelle sue due componenti lungo gli assi ed. La punta del vettore individua un punto le cui coordinate rispetto al punto di applicazione corrispondono alle componenti ed del vettore stesso. Una coordinata positiva indica una componente diretta nel verso dell asse; una negativa nel verso opposto. analitica: 7u 3u Ad esempio il vettore rappresentato in figura espresso in forma 4

5 ESEMPIO 5: Esprimere in forma analitica i 3 vettori rappresentati in figura. c 2u 4u 6u 3u c 7u 2u Ciò facilita le operazioni con i vettori, ad esempio, per quanto riguarda la somma di due vettori, conoscendone le componenti, si nota che la risultante ha per componenti la somma delle componenti lungo le due direzioni, cioè: la somma di due o più vettori è un vettore le cui componenti e sono rispettivamente date dalla somma delle componenti e dei vettori iniziali; la differenza di due o più vettori è un vettore le cui componenti e sono rispettivamente date dalla differenza delle componenti e dei vettori iniziali. Ad esempio, se voglio eseguire in forma analitica la somma dei due vettori 4u 6u 12u 2u c ( 4 12) u (6 2) u 16u 8u ESEMPIO 6: Esegui in forma grafica (dopo averli disegnati) ed analitica la somma dei due vettori 4u 5u 3u 3u b 7u 2u 4u 5u 3u 3u (4 3) u 7u 2u (5 3) u 5

6 ESERCIZI DA SVOLGERE: 1) Per ogni coppia di vettori rappresentati in figura disegna la risultante (somma vettoriale) e determina il modulo nell ipotesi che ad un quadratino corrispondano 5 N. N.B.: I due vettori hanno lo stesso punto d applicazio ne!! c d d e 2) Dati i vettori a e della figura, disegna il vettore somma s b e trovane il modulo, assumendo come unità di misura la lunghezza di un quadretto, pari a 2 N. b 3) Partendo dal vettore rappresentato in figura, disegna i vettori: modulo nell ipotesi che 1 cm = 10 N ; 3 e determinane il 3 6

7 4) Disegna la somma delle due coppie di vettori rappresentati in figura: c d 5) Disegna la differenza delle coppie di vettori a b e c d rappresentati in figura: d c 6) Scrivi in forma analitica i 3 vettori rappresentati in figura. c 7) Disegna i due vettori 4u 5u 6u 2u partendo dallo stesso punto di applicazione. Disegna poi il vettore risultante s b e scrivilo in forma analitica. 8) Determina la risultante di 3 forze, rispettivamente di 12 N orizzontale e rivolta verso destra, di 5 N verticale e rivolta verso l alto, e di 8 N orizzontale e rivolta verso sinistra. 7

8 9) Utilizzando il metodo del poligono funicolare, disegna la risultante dei vettori 6u 2u 2u 4u c 6u d 2u 3u e 7u f 12u 3u Esegui poi la somma vettoriale (risultante) in modo analitico e confronta i risultati ottenuti. 10) Determina analiticamente e disegna la somma dei due vettori a b, dove 6u 2u ; 2u 5u. Calcola poi il modulo (o intensità) del vettore risultante. 8

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10 L equilibrio rispetto alla traslazione Per studiare l equilibrio di un corpo rispetto alla traslazione è utile identificarlo con un punto materiale, che coincide con il baricentro del corpo, cioè il punto in cui si può immaginare concentrata tuta la massa del corpo. Tutti i corpi che ci circondano sono sottoposti a vincoli che ne limitano la libertà di movimento, come le rotaie per un treno, i cardini per una porta (può ruotare ma non traslare), il pavimento per una pallina (può rotolare ma non cadere di sotto). I vincoli producono delle forze, dette reazioni vincolari, che, insieme alla forza di gravità (peso) e ad eventuali forze esterne applicate al corpo, determinano l equilibrio dei corpi. Ricapitolando, ad un corpo in equilibrio sono applicate le seguenti forze: forza di gravità (forza peso) reazioni vincolari forze esterne (eventuali) La condizione affinché un punto materiale rimanga in equilibrio statico (cioè sia fermo e continui a restare fermo) rispetto alla traslazione è che la somma vettoriale delle forze ad esso applicate sia uguale a zero. F1 F2 F3... Fn 0 Approfondiamo il meccanismo con il quale i vincoli generano le forze di reazione, chiamate come detto reazioni vincolari. Innanzitutto va detto che la reazione sviluppata da un vincolo non ha sempre la stessa intensità, ma varia in relazione a quanto è sollecitato; tale reazione aumenta con la forza che lo sollecita, fino a un valore massimo oltre il quale c è la rottura. Ciò è dovuto al fato che ogni corpo (vincolo), quando è sollecitato, cerca d riportarsi nel suo stato normale, sviluppando delle forze che si oppongono alla deformazione, sono quindi dirette in direzione opposta alla deformazione; queste forze sono appunto le reazioni vincolari. Esempio:. Libri appoggiati ad uno scaffale. ESEMPIO 1: I cilindretti della figura sono in equilibrio sotto l azione di due dinamometri, inclinati l uno rispetto all altro di 120, e che indicano la stessa forza di 1,2 N. Qual è il peso complessivo dei cilindretti? Soluzione: Il sistema peso dinamometri si trova per ipotesi in equilibrio statico; in particolare il nodo centrale al quale sono appesi i cilindretti si trova in equilibrio. Questo è sottoposto alle seguenti forze: 1. Peso dei cilindretti (incognita) 2. Forze sviluppate dai dinamometri (uguali tra loro ed in direzione opposta 10

11 all allungamento del dinamometro) Per essere in equilibrio il sistema, la risultante delle forze sviluppate dai dinamometri deve essere equilibrata dalla forza peso dei cilindretti. Le due forze F 1 ed F 2, essendo inclinate di 60, formano tra loro un angolo di 120, quindi la diagonale del parallelogramma che ha per lati le due forze lo divide in due triangoli equilateri, e la risultante delle due forze coincide con uno dei lati, quindi ha la stessa lunghezza, cioè la stessa intensità. P = F = 1,2 N ESEMPIO 2: Il dinamometro indica una forza di 1,8 N, ed il cilindro pesa 3,1 N. Che forza deve sviluppare la cordicella, tendendosi, per mantenere il cilindro nella posizione di equilibrio? Soluzione: La cordicella, sottoposta alla forza peso del cilindro e alla forza di richiamo dei dinamometri, si deforma allungandosi, e produce quindi a sua volta una forza di richiamo che cerca di riportarla nella situazione iniziale, quindi diretta verso il gancio che la vincola a terra. Indicando con T la tensione della corda, affinché il sistema permanga in equilibrio, questa deve essere equilibrata dalla risultante delle forze F e P. Queste due sono ortogonali tra di loro, quindi il modulo della loro risultante può essere trovato applicando il teorema di Pitagora T R F P 1,8 3,1 12,85N 3, 6N ESERCIZI DA SVOLGERE: 11) Le due persone di destra esercitano un tiro nella fune rispettivamente di 30 N (b) e 40 N (c). Se l angolo = 90, quale forza deve esercitare l uomo di sinistra (a) per contrastare i due di destra e mantenere così il sistema in equilibrio? (a) ( (b) (c) 11

12 12) Due cavi, che formano con la direzione orizzontale un angolo di 45 sono tesi con una forza di 49,5 N ciascuno e sostengono un insegna pubblicitaria. Determinare il peso dell insegna. 13) I cilindretti della figura sono in equilibrio sotto l azione di due dinamometri, inclinati l uno rispetto all altro di 120, e che indicano la stessa forza di 35 N. Qual è il peso complessivo dei cilindretti? 14) Il dinamometro indica una forza di 60 N, ed il cilindro pesa 80 N. Che forza deve sviluppare il cavo, tendendosi, per mantenere il cilindro nella posizione di equilibrio? 12

13 Il piano inclinato Spingere un oggetto su un piano inclinato è meno faticoso che sollevarlo direttamente, e la fatica diminuisce al diminuire dell inclinazione del piano, vediamo il perché analizzando le forze che sono in gioco. Come sappiamo la forza peso dell oggetto, cioè il suo peso P, è diretto verticalmente verso il basso (cioè perpendicolarmente alla superficie terrestre); scomponiamola in due componenti P 1 diretta perpendicolarmente al piano e P 2 diretta parallelamente al piano. La componente P 1 è neutralizzata dalla reazione vincolare del piano (vincolo di appoggio) R, altrimenti l oggetto sprofonderebbe nel piano inclinato! La componente P 2 invece resta attiva, ed è quella che tende a fare scivolare l oggetto lungo il piano verso il basso. Per evitare ciò bisogna applicare una forza F uguale e contraria a P 2, che risulta minore del peso P, e che diminuisce al diminuire dell inclinazione del piano. Per valutare l intensità delle componenti P 1 e P 2 si deve analizzare la geometria del piano inclinato. P h Attraverso la similitudine dei triangoli ABC ed A B C, si può ricavare: P2 che rappresenta l la componente della forza peso parallela al piano. Per mantenere in equilibrio il corpo bisogna applicare una forza uguale e contraria a P 2. Quindi la forza che mantiene in equilibrio un oggetto su un piano inclinato si ottiene moltiplicando il suo peso per h/l, ed è sempre minore di P, in quanto h/l è sempre minore di uno!. ESEMPIO 1: Un automobile la cui massa è di 1000 kg è ferma su una strada di montagna che ha una pendenza del 12%. Quale forza di attrito deve agire sulle ruote per tenerla ferma? Soluzione: Innanzitutto calcoliamo il peso dell automobile: N P m g 1000kg 9,8 9800N kg Avendo la strada una pendenza del 12%, corrisponde ad un piano inclinato con base 100 m ed altezza 12 m, quindi lunghezza l 2 2 determinabile con il teorema di Pitagora: l , 7m La forza di attrito deve uguagliare la componente del peso parallela al piano, ricavabile con la P h 9800N 12m formula P2, quindi F P2 1168N l 100,7m 13

14 ESERCIZI DA SVOLGERE: 15) Un corpo, del peso di 20 N è posto su un piano inclinato liscio alto 20 cm e con base 40 cm. Dire quale forza, parallela al piano e diretta verso l alto è necessario applicare perché il corpo rimanga in equilibrio. 16) La massa m = 5 kg è trattenuta da una fune su un piano senza attrito e inclinato di 30 rispetto all orizzontale. Calcolare la tensione della fune e la forza perpendicolare esercitata dal piano inclinato sulla massa m. 14