Teoria delle reti e piccoli mondi

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1 Teoria delle reti e piccoli mondi Sguardo d insieme alla network analysis e breve storia di un idea Giuseppe Vittucci Marzetti 1 Settimana della Sociologia Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca Milano, 7 Febbraio Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, giuseppe.vittucci@unimib.it Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 1/24

2 Layout La scienza delle reti: uno sguardo d insieme 1 La scienza delle reti: uno sguardo d insieme Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali 2 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti 3 Dilemma del prigioniero Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 2/24

3 Reti e grafi La scienza delle reti: uno sguardo d insieme Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali In analisi combinatoria, un grafo è una coppia G = (V, E) di insiemi tale che E V 2...Gli elementi di V sono i vertici (o nodi, o punti) del grafo G, gli elementi di E sono gli edge (o linee) (Diestel, 2005). In matematica e computer science, la teoria delle reti (network analysis) va sotto il nome di teoria dei grafi (graph theory). Contributi seminali: Eulero e i sette ponti di Königsberg (1736): A Königsberg c erano sette ponti. Era possibile attraversare ciascun ponte una o una sola volta? Eulero dimostrò che questo tour non esisteva; Il problema dei quattro colori nel XIX secolo: occorrono al massimo quattro colori per disegnare le regioni su una mappa in modo tale da colorare in modo differente le regioni confinanti? Sembra di sì... Erdös & Rényi (1959, 1960) e la random graph theory. I ponti di Königsberg Mappa con 4 colori Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 3/24

4 Analisi delle reti sociali Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali Una rete sociale (social network) consiste di un insieme finito di attori e di relazioni definite tra di loro. (Wasserman & Faust, 1996) L analisi delle reti di relazioni interpersonali in sociologia e antropologia va sotto il nome di Social Network Analysis (SNA). Contributi seminali: Levy Moreno (1947) e la sociometria; Granovetter (1973) e la forza dei legami deboli ; La teoria del piccolo mondo (small-world theory) e i sei gradi di separazione (Milgram, 1967); La robust action di Cosimo de Medici (Padgett & Ansell, 1993). Rete dei legami matrimoniali tra le famiglie nobiliari fiorentine nel XVI secolo Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 4/24

5 Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali Analisi delle reti sociali Temi e misure Prestigio e potere: centralità di grado (degree centrality), di interposizione (betweenness centrality), di Bonacich (1987); Bilanciamento strutturale (structural balance) e transitività: grafi segnati (signed graph), analisi diadica e triadica (dyad/triad census) (Davis, Holland & Leinhardt, 1970; 1975; 1979); Coesione sociale: densità, componenti, k-core, clique; Affiliazioni: reti unimodali e bimodali (one-mode/two-mode networks); Ranking e gerarchie sociali: Symmetric-Acyclic Decomposition (Doreian, Batagelj & Ferligoj, 2000), analisi delle triadi; Ruoli sociali e structural equivalence: clustering gerarchico, (generalized) blockmodeling (Doreian, Batagelj & Ferligoj, 2005); Brokerage e bridge: betweenness centrality, structural hole (Burt, 2003; 2005);... Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 5/24

6 Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali Dalla teoria dei grafi casuali all analisi delle reti complesse Un network è un insieme di oggetti (vertici o nodi) con connessioni tra loro (edge, link o tie) (Newman, 2003). In fisica statistica e teoria dei sistemi complessi, la complex network analysis deriva da: random graph theory (Erdös & Rényi, 1959, 1960); teoria della percolazione (Stauffer & Aharony, 1994). Contributi seminali: Modello di Ising (1925) delle interazioni ferromagnetiche; Modello di Price (1965) delle citazioni scientifiche; Small-world network di Watts & Strogatz (1999); Scale-free network di Barabasi & Albert (1999). Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 6/24

7 Complex network analysis Temi Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali Transizioni di fase nelle reti complesse; Dinamica e crescita delle reti: analisi delle relazioni tra processi casuali decentrati e caratteristiche globali della rete; Resilienza, cioè grado di riduzione della connettività a seguito della rimozione di nodi o collegamenti (Albert et al., 1999; Cohen et al., 2000; 2003); Diffusione delle epidemie: modelli SIR e SIS in reti complesse (Pastor-Sartorras & Vespignani, 2001; 2002) Ricerca nelle reti (Kleinberg, 2006); Fallimenti a cascata (cascading failures) (Watts, 2002); Community Structure Detection (Newman, 2006). Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 7/24

8 Analisi delle reti economiche e sociali Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali In economia, l analisi delle reti sociali ed economiche è fatta: 1 applicando gli strumenti della complex network analysis sviluppata da matematici e fisici statistici alle reti economiche; 2 unendo network analysis con teoria dei giochi (evolutiva). Contributi seminali nel secondo filone: Blume (1993, 1995): analisi delle evolutionary stable strategy nei modelli con interazioni locali; Morris (2000): analisi del contagio nei giochi di coordinamento con interazione locale; Modelli di teoria dei giochi di formazione delle reti: Jackson & Wolinsky (1996): analisi della pair-wise stability nel symmetric connections model; Bala & Goyal (2000): linear access model. Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 8/24

9 Teoria dei grafi Social Network Analysis Complex network analysis Analisi delle reti economiche e sociali Analisi delle reti economiche e sociali Temi Analisi descrittiva di: Network di collaborazione scientifica (Fafchamps et al., 2006) Reti del commercio internazionale (Fagiolo, Reyes, & Schiavo, 2008). Reti finanziarie (Minoiu & Reyes, 2011);... Contagio finanziario (Allen & Gale, 2007; DelliGatti et al., 2010) Effetti delle esternalità di rete sulla formazione strategica di link in: reti di R&D tra imprese (Goyal & Moraga-Gonzalez, 2001); reti con structural-holes (Goyal & Vega-Redondo, 2007); reti di risk-sharing (Bramoullé & Kranton, 2007); network games con complementi/sostituti strategici (Galeotti, Goyal, Jackson, Vega-Redondo & Yariv, 2008); Co-evoluzione di reti e comportamenti (Ehrhardt, Marsili, & Vega-Redondo, 2008); Social learning e formazione del consenso nelle reti (Bala & Goyal, 1998; De Marzo, Vayanos & Zwiebel, 2003); Networked markets (Kranton & Minehart, 2001); Diffusione di prodotto e adozione di innovazioni (Jackson, 2006);... Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 9/24

10 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti Sei gradi di separazione: un mondo piccolo Small-world theory, originariamente proposta da Frigyes Karinthy, scrittore ungherese, nel racconto breve Catene; Stanley Milgram (1967): esperimento utilizzando 160 lettere; Tjaden & Wasson (1996) The Oracle of Kevin Bacon basato sull Internet Movie Database: Numero di Erdős la rete di collaborazione di Erdős sul sito di J. Grossman: Kirby & Sahre, Six degrees of Monica, New York Times, 1998; Watts (2001): replica dell esperimento di Milgram con l utilizzo di . Stanley Milgram ( ) Kevin Bacon Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 10/24

11 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti La prospettiva di Erdős & Rényi (1959) Casualità del grafo come facile spiegazione della bassa distanza media nella rete: ipotizzando che ciascun vertice sia connesso in modo casuale con k altri vertici, vi sarebbero (al massimo) k i vertici entro i gradi di separazione. Un esempio: Popolazione mondiale: 6,712,151,215 Se ciascuna persona conosce in media 50 altre persone, allora abbiamo: 50 6 = 15, 625, 000, 000 Questioni: reti sociali non casuali alto clustering; reti regolari hanno un alto coefficiente di clustering, ma anche un alta distanza media (characteristic path length). Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 11/24

12 La forza dei legami deboli Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti Analisi pionieristica di Granovetter (1973): Legami forti vs. deboli; Importanza dei legami deboli come ponti sociali (social bridges); Evidenza empirica nel mercato del lavoro: 84% del campione trova lavoro tramite legami deboli (Granovetter, 1973, 1983). Mark Granovetter Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 12/24

13 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti La soluzione di Watts & Strogatz (1998) La lunga strada di Duncan Watts: da lucciole, grilli, e battiti di mano agli scambi di mano. La ricetta di Watts & Strogatz: aggiungere solo un pizzico di caos nell ordine alto coefficiente di clustering; bassa distanza media. Steven H. Strogatz (1959 Figura: Procedura di random rewiring di Watts & Strogatz Duncan J. Watts (1971) Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 13/24

14 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti La soluzione di Watts & Strogatz (1998) Source: Watts & Strogatz (1998). Figura: Coefficiente medio di clustering e distanza media Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 14/24

15 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti Small-world network in biologia, fisica, sociologia ed economia rete di collaborazione degli attori (Watts & Strogatz, 1998) rete elettrica degli USA (WS, 1998); rete neurale del verme Caenorhabditis elegans (WS, 1998); rete delle connessioni neurali (Latora & Marchiori, 2002; Fernández et al., 2001) rotte aeree (Amaral et al., 2000); rete delle collaborazioni scientifiche (Newman, 2001); rete delle citazioni scientifiche (Redner, 1998); rete delle relazioni sessuali (Liljeros et al., 2001); rete degli interlocking directorates (Davis, 2003) Internet (Faloutsos, 1999); World Wide Web (Réka, Jeong & Barabási, 1999). Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 15/24

16 Strani (piccoli) mondi Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti...il concetto di distribuzione power-law è controintuitivo, perché il fenomeno può mancare di qualsiasi scala caratteristica. (Mantegna & Stanley, 2001) Alcuni small-world network hanno la centralità di grado dei nodi (numero di collegamenti) che tende a seguire (almeno in alcuni tratti) distribuzioni a legge di potenza (power-law distribution); Distribuzione power-law (o scale-free): Pr(X > x) = Kx α Pr(X > 2x) Pr(X > x) = K(2x) α Kx α = }{{} 2 α costante Esempi: Internet (Faloutsos, 1999); World Wide Web (Réka, Jeong & Barabási, 1999); rete delle collaborazioni scientifiche (Newman, 2001); rete delle citazioni scientifiche (Redner, 1998); rete delle relazioni sessuali (Liljeros et al., 2001);... Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 16/24

17 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti L emergere della scalabilità nei random network Poiché a chiunque ha sarà dato, ed egli sovrabbonderà; ma a chi non ha sarà tolto anche quello che ha. (Matthew 25:29) Spiegare gli hub Rich Get Richer legge di Zipf (1932); legge di Yule (1944); preferential attachment (Newman, 2001); effetto Matteo (Matthew effect) (Merton, 1968, 1973). La legge in azione: scale-free networks (Barabási & Réka, 2001). Albert-Làszlò Barabàsi (1967) Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 17/24

18 Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti Un esempio di gigantesco scale-free network: internet Source: Cheswick & Birch Figura: Mappa delle connessioni internet wired Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 18/24

19 Due libri per approfondire Small-world e i sei gradi di separazione Le reti small-world di Watts & Strogatz (1998) Hub e leggi di potenza nelle reti piccolo-mondo Approfondimenti Buchanan Mark (2004), Nexus. Perché la natura, la società, l economia, la comunicazione funzionano allo stesso modo, Mondadori; Barabàsi Albert-Làszlò (2004), Link. La scienza delle reti, Einaudi. Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 19/24

20 Dilemma del prigioniero Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione In una prospettiva sociologica, le reti sociali possono far emergere comportamenti cooperativi; In teoria dei giochi, per spiegare l emergere di tali comportamenti occorre ipotizzare giochi ripetuti. Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 20/24

21 Dilemma del prigioniero Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione Un classico esempio: il dilemma del prigioniero Due giocatori: N = {A, B}; Strategie: S A = S B = {D, C}; Unico equilibrio stabile (D, D) nessuno ha incentivo a cambiare strategia, anche se entrambi preferirebbero (C, C)... Il comportamento cooperativo non è un equilibrio nel gioco one-shot. A B D C D 5, 5 0, 7 C 7, 0 1, 1 Tabella: Matrice dei payoff Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 21/24

22 Dilemma del prigioniero Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione Dilemma del prigioniero ripetuto e paradosso della catena di vendita Se il dilemma del prigioniero è ripetuto un numero finito di volte, può mostrarsi per induzione a ritroso (backward induction) che l unico equilibrio (di Nash) è ancora quello di non cooperazione: Nell ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare dall equilibrio cooperativo; Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche vantaggio a non deviare;... Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare... Questa proposizione, dimostrata da Selten (1978), è nota come paradosso della catena di vendita (chain store paradox). Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 22/24

23 Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione In ciascuno di T periodi, due giocatori (A e B) giocano un dilemma del prigioniero come quello in tabella; I giocatori sono impazienti e scontano i payoff futuri ad un tasso δ (0 < δ < 1); Il payoff di ogni giocatore è dato dal flusso scontato dei payoff generati in ciascun gioco costituente: G i = u i (s 1,0, s 2,0 ) + δu i (s 1,1, s 2,1 ) δ T u i (s 1,T, s 2,T ) T = δ t u i (s 1,t, s 2,t ) t=0 A D B C D d,d w,l C l,w c,c Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w) Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 23/24

24 Dilemma del prigioniero Dilemma del prigioniero ripetuto Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione Dilemma del prigioniero ripetuto ed emergere della cooperazione Il passaggio dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa emergere possibili equilibri cooperativi (C, C) nel gioco costituente; Trigger strategy (Friedman, 1971): ogni giocatore inizia giocando C; continua a giocare C fino a quando l altro gioca C; gioca D per sempre in caso contrario. È un equilibrio (di Nash) se, per ciascuno dei due giocatori: i guadagni della cooperazione: t=0 δt c; sono maggiori della defezione e conseguente punizione da parte dell altro: ( w + t=1 δt d ) ; cioè se: ( ) δ t c w + δ t d t=0 t=1 δ w c w d = c 1 δ w δd 1 δ 0 Giuseppe Vittucci Marzetti Teoria delle reti e piccoli mondi 24/24