Pigreco in OpenMP. Facoltà di Ingegneria Corso di Studi in Ingegneria Informatica. Elaborato di Calcolo Parallelo. Anno Accademico 2011/2012

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1 Facoltà di Ingegneria Corso di Studi in Ingegneria Informatica Elaborato di Calcolo Parallelo Pigreco in OpenMP Anno Accademico 2011/2012 Professoressa Alessandra D Alessio Studenti Giuffrida Serena M63/ Lampognana Francesca M63/ Mele Gianluca M63/000145

2 Definizione del Problema Il punto di partenza del nostro elaborato è il calcolo di π sull architettura MIMD a memoria condivisa a 64 CPU (16 x Intel Xeon E5410 quad-core@2.33ghz 64 bit) offerta dall Università degli Studi di Napoli Federico II attraverso l infrastruttura S.Co.P.E.. L obiettivo è la valutazione dell efficienza dell algoritmo da noi implementato, valutazione a cui giungeremo raccogliendo i risultati dei diversi test eseguiti (che si differenziano per cifre di precisione richieste e/o per il numero di threads coinvolti) in tre parametri fondamentali: tempo impiegato dall algoritmo parallelo con p threads T(p), speed-up S(p) ed efficienza E(p). Per la realizzazione dell algoritmo abbiamo utilizzato l API OpenMP per gestire il parallelismo shared memory multi threaded, lavorando su un solo nodo dell infrastruttura SCOPE. Tale libreria viene messa a disposizione da quasi tutti i compilatori C ed è uno dei motivi che ci ha spinti ad utilizzare questo linguaggio di programmazione per l algoritmo da noi sviluppato. 2

3 Descrizione dell algoritmo Nome capitolo Il calcolo del π è stato realizzato attraverso l approssimazione dell integrale: dx 4 arctan 2 x x 1 0 con la somma della serie: N i h i h 2 con h 1 N avendo diviso l intervallo [0,1] in N intervalli di dimensione h. Tramite questa serie noi calcoleremo il valore di pi greco come somma delle aree dei rettangoli la cui base è uguale ad h. 3

4 Quanto più N è grande, tanto più ridotta sarà la base dei rettangoli e, quindi, tanto più precisa sarà l approssimazione del valore pi. Passiamo ora alla descrizione dell algoritmo da noi implementato. Come riferimento per la verifica della correttezza di ogni esecuzione, confronteremo il risultato ottenuto con il valore di pi greco con precisione di 25 cifre: Il nostro obiettivo è quello di calcolare il valore del pi greco per ottenere una determinata precisione, specificata all interno del parametro precision. A partire dal valore di precisione richiesto non possiamo dedurre il valore di N, numero di intervalli, quindi all inizio lo imposteremo ad un valore di default (es N=1000). Eseguiremo un ciclo while, all interno del quale calcoleremo il valore di pigreco secondo la formula citata. Le iterazioni di tale ciclo proseguiranno, incrementando N, fintanto che l errore tra il valore di pi greco da noi calcolato e quello a 25 cifre è maggiore della precisione richiesta. All interno del ciclo while, come detto in precedenza, il valore di pi greco verrà calcolato mediante la somma di una serie. Tale somma viene implementata mediante un ciclo for ed è la parte di codice che andremo a parallelizzare mediante l API OpenMp. Useremo la direttiva #pragma omp parallel, che forma un team di thread ed avvia un esecuzione parallela. In particolare la nostra direttiva sarà una parallel for, la quale specifica che le iterazioni del ciclo contenuto al suo interno devono essere distribuite tra i thread del team. Il numero di thread è specificato mediante la clausola num_threads(/*numero di threads su cui è richiesta l esecuzione*/). Il modo in cui le iterazioni vengono ripartite tra i thread è specificato tramite la clausola schedule(type, chunk). Nel nostro caso, abbiamo scelto di utilizzare lo schedule dynamic, in quanto effettuando diverse prove abbiamo notato che la differenza in termini di tempi d esecuzione era irrisoria e non significativa. Tale schedule a fronte di eventuali rallentamenti dei threads, offre un autonoma gestione del carico di lavoro a fronte di una 4

5 necessità di sincronizzazione tra gli stessi. Mediante lo schedule dynamic le iterazioni vengono divise in blocchi di dimensione chunk e assegnate dinamicamente ai threads; quando un thread termina un chunk, ne ha assegnato un altro. Di default chunk=1. Ulteriori clausole inserite nella direttiva parallel for sono le clausole shared e private: mediante queste è possibile specificare rispettivamente quali variabili sono condivise tra i thread e quali sono private per gli stessi (ogni thread ne avrà una copia). Tra le variabili che vanno dichiarate come shared vi sono: n, numero degli intervalli N ed h, inverso di quest ultimo rappresentante la base dei rettangoli usati per il calcolo integrale. Tali variabili devono poter essere viste da tutti i threads e non saranno modificate da essi. Tra le variabili che vanno dichiarate come private vi sono: le variabili x e f che sono variabili d appoggio per il calcolo di pi greco, mentre l indice i dell iterazione non va dichiarato come private in quanto è settato automaticamente come tale dalla direttiva. Tali variabili private vengono modificate durante le iterazioni del ciclo. Invece, per quanto riguarda la variabile sum, a causa dell utilizzo della clausola reduction(+:sum) vi sarà una copia locale di essa, contenente le somme parziali, per ogni thread. Tali copie locali saranno poi sommate da ogni thread alla variabile shared sum. Per ottenere dati riguardanti il tempo, abbiamo utilizzato la funzione omp_get_wtime() in due differenti punti dell algoritmo e, facendone la differenza, abbiamo ottenuto il tempo di esecuzione. 5

6 Analisi del software Adesso concentreremo l attenzione sulle tabelle e i grafici relativi al calcolo del tempo di esecuzione T(p), dello speed-up S(p) e dell efficienza E(p). Tempo di esecuzione T(p) Nella tabella che segue sono riportati i valori del tempo di esecuzione registrati al variare del numero di threads P e del numero di intervalli N in cui è diviso l intervallo [0,1] per il calcolo integrale. Quindi muovendoci lungo la colonna possiamo capire se c è un vantaggio o meno legato all aumento del numero di threads coinvolti. Tutti i valori del T(p) sono espressi in secondi, mentre ciascuno dei valori in tabella è stato ottenuto eseguendo la media sui campioni ottenuti eseguendo una quindicina di prove; un analogo discorso si estende anche ai valori mostrati nelle tabella del S(p) e dell E(p). N 1M 10M 100M 1G P 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , Tabella 1: Tempo di esecuzione T(p) 6

7 Figura 1: T(p) al variare del numero di processori e del numero di elementi da sommare Guardando la Figura 2 e la Tabella 1 possiamo notare che, avendo effettuato i test su degli input abbastanza grandi, l utilizzo di un architettura multithread risulta sempre positivo. L ordine di questa convenienza nell uso di tale architettura è però molto diverso. Per gli input N=1M ed N=10M è quasi indifferente l impiego di più threads, mentre iniziamo ad apprezzarne i vantaggi a partire da N=100M e ad avere dei tempi particolarmente soddisfacenti per N=1G. Negli ultimi due casi citati i tempi migliori si registrano con p=8. Invertendo il punto di vista, fissando quindi il numero di processori p e variando il valore di N, è possibile notare un ragionevole aumento dei tempi; nel caso di un p pari a 8 si avranno tempistiche abbastanza vicine, nonostante le differenze tra gli ordini di grandezza degli N considerati. 7

8 Speed-up S(p) Nella tabella che segue sono riportati i valori dello speed-up, ricordiamo che esso misura, a parità di n, la riduzione del tempo di esecuzione rispetto all algoritmo su 1 processore. Il valore è stato ottenuto a partire dal T(p) medio calcolato a partire da una decina di campioni. S( p) T (1) T ( p) N 1M 10M 100M 1G P 2 1, , , , , , , , , , , , Tabella 2: Valori dello Speed-up S(p) al variare di N e di P Figura 2: Speed up S(p) al variare di N e di p 8

9 Il punto di riferimento per giudicare lo speed-up delle nostre esecuzioni è la linea tratteggiata, che rappresenta il valore ideale. Per N=1M siamo ancora lontani dall approssimarci al miglior caso possibile, come accade invece per gli altri tre valori della N. Valori prossimi a quelli ideali si registrano già per N=10M e p=2, mentre per o=4 tale N è ancora leggermente lontana dall idealità. Notiamo che valori nei dintorni di quelli ideali sono stati registrati per p=2 e p=4 con N=100M e N=1G; con p=8 a partire da N=100M traiamo dei notevoli benefici dall impiego dell architettura parallela, ma non al punto da essere ottimi come nei due casi su menzionati. Efficienza E(p) Nella tabella che segue sono riportati i valori dell efficienza, indicativa di quanto l algoritmo sfrutti il parallelismo del calcolatore. E( p) S( p) p N 1M 10M 100M 1G P 2 0, , , , , , , , , , , , Tabella 3: Valori dell Efficienza E(p) al variare di N e p Il valore di riferimento di E(p) è rappresentato nella Figura 4, in rapporto allo stesso scopriamo che i nostri test forniscono un risultato interessante per N=10M con p=2 e con p=4, mentre sugli stessi processori per N=100M ed N=1G si ottengono valori quasi ideali. In tutti gli altri casi all aumentare di p l efficienza degrada; ciò in piena aderenza con le osservazioni suggeriteci dai grafici di T(p) ed S(p). 9

10 Figura 3: Efficienza E(p) al variare di N e di p 10

11 Esempi d uso, correttezza e codice In questo capitolo verranno illustrati degli esempi d uso dell algoritmo. Mostreremo in che modo verrà richiamato il programma e le interazioni possibili. Inoltre, mostreremo qui il codice del programma da noi sviluppato, il quale sarà correlato da una documentazione interna che ne spiegherà il funzionamento. Esempi d uso Mostriamo un esempio del risultato che si ottiene a video andando a eseguire il programma richiedendo una precisione di 2 cifre. Si nota che vengono mostrate a video le informazioni sulla precisione richiesta, la visualizzazione del valore reale di pi greco, il tempo totale impiegato per il calcolo e, infine, il risultato dell elaborazione. 11

12 Correttezza L analisi della correttezza dell algoritmo da noi implementato è stata fatta confrontando il risultato dell elaborazione con il valore di pi greco a 25 cifre: L'algoritmo da noi sviluppato riesce a raggiungere le 8 cifre di precisione dopo la virgola in tempi ragionevoli. Per precisioni superiori il programma funziona ma non restituisce alcun risultato in tempi ragionevoli. Si noti che, tentando di raggiungere la precisione di 9 cifre significative, abbiamo tenuto in esecuzione il programma per 3 ore. Stampando a video l'errore ottenuto ad ogni iterazione fatta si è notato il seguente andamento:

13 Ciò evidenzia come ogni iterazione del ciclo while contenuto nel codice andasse a effettuare un calcolo che si avvicinava con molta lentezza al valore reale di pi greco. Codice del programma Riportiamo qui di seguito il codice da noi scritto per la realizzazione di questo programma. Abbiamo utilizzato il linguaggio di programmazione C. Il codice è stato corredato di una documentazione interna che spiega le varie istruzioni utilizzate. #include <stdio.h> #include <omp.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> int main(int argc, char **argv) { //Definizione delle variabili unsigned long int i, n = 1000; //Valore di inizializzazione per N, numero degli intervalli double x, h, f, sum; int nt=8; //numero di threads richiesti double precision=0.001; //precisione richiesta double pi,error=1; double tempotot,start,end; double pi25 = ; //valore reale di pigreco a 25 cifre printf("precisione: %2.10f\n",precision); printf("valore reale: %2.15f\n",pi25); start=omp_get_wtime(); //Inizio calcolo dei tempi //Ciclo while per raggiungere la precisione richiesta while(error>precision){ sum=0.0; //Reset delle variabili per il calcolo del pi greco h=1.0/((double)n); pi=0.0; //Inizio della parte parallela #pragma omp parallel for schedule(dynamic) reduction(+:sum) num_threads(nt) shared(n,h) private(x,f) for (i=1;i<=n;i++) { x = h*((double)i); f = 4.0/(1.0+x*x); sum = sum+f; } pi = h*sum; end=omp_get_wtime(); //Fine del calcolo dei tempi 13

14 tempotot=1.e6*(end-start); error=fabs(pi25-pi); n=n+1; //Alla fine del ciclo while la variabile n viene incrementata per //migliorare il successivo calcolo di pigreco } printf("tempo totale : %f\n",tempotot); printf("valore di p calcolato su %ld intervalli: %2.10f\n",n-1,pi); } return 0; 14

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