UD 3.5a: Searching (parte 1) ALGORITMO DI RICERCA SEQUENZIALE. Dispense, cap

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1 UD 3.5a: Searching (parte 1) ALGORITMO DI RICERCA SEQUENZIALE Dispense, cap

2 Ricerca di un'informazione in una tabella Determinare se una parola X è presente in un dizionario (cioè in una lista di parole). La parola X può essere il nome di una persona, il titolo di un libro, il numero di una carta di credito, o altro. Supponiamo che N differenti parole siano immagazzinate in N celle di memoria contigue in un elaboratore. Si deve costruire un algoritmo che prenda in input la parola X e dia in output la posizione J in cui appare X. Pertanto, se X è presente, il risultato sarà compreso tra 1 ed N; se invece X non si trova in memoria, il risultato sarà 0.

3 Algoritmo di Ricerca Sequenziale Collocare le N parole in memoria, nelle posizioni da 1 ad N Esaminare ogni parola, a partire dall ultima, tornando indietro verso la prima Alla fine Se la parola X si trova nel Dizionario, l algoritmo fornisce in uscita la sua posizione, J, e poi si ferma Se la parola X non è presente nel dizionario, l algoritmo si ferma con 0 in uscita.

4 Algoritmo di Ricerca Sequenziale Vediamo, adesso, prima il flow chart dell algoritmo e poi il programma Pascal corrispondente (il programma legge il valore n da input - in questo esempio, per semplicità, n 30 - e poi legge n linee dal file di testo DIZ.TXT, ognuna contenente una parola ) La variabile K non fa parte della computazione, ma serve per poter determinare se il corpo del ciclo va eseguito o se bisogna uscire da esso in caso di presenza di Parola nel vettore Dizionario. Infatti si esce dal ciclo se J=0 (non c è Parola in Dizionario) oppure se K=0 L algoritmo funziona sempre, anche per n=0.

5 Algoritmo di Ricerca Sequenziale

6 Algoritmo di Ricerca Sequenziale program ricerca_sequenziale; var Dizionario: array [1..30] of string; Parola : string; N, i,j,k : integer; DIZ Begin : Text; assign (Diz, 'c:\esami\diz.txt'); reset (Diz); for i:=1 to 30 do readln (Diz, Dizionario[i]); close (Diz); read (Parola); J := 30; K := 1; while (K>0) AND (J>0) do begin end; if Parola = Dizionario[J] writeln (J) end. then K := 0 else J:=J-1;

7 Algoritmo di Ricerca Sequenziale Tale algoritmo risolve sicuramente il problema ma la soluzione non sembra molto efficiente. Infatti, quando il numero di parole diventa grande (ad es ) la ricerca sequenziale richiede, nel caso peggiore, un numero di passi computazionali molto elevato ( per il nostro esempio). Tale algoritmo equivale alla ricerca di un numero telefonico fatta consultando l elenco degli abbonati pagina per pagina a partire dalla prima pagina, colonna per colonna, una riga alla volta.

8 UD 3.5b: Searching (parte 2) ALGORITMO DI RICERCA BINARIA Dispense, cap. 5.3

9 Algoritmo di Ricerca Binaria Su un archivio ordinato è possibile utilizzare una tecnica di ricerca ottimale, la Ricerca Binaria, L ordinamento comporta un vantaggio sostanziale perché in ogni punto dell'elenco è sufficiente un semplice sguardo per eliminare una grande quantità di elementi La Ricerca Binaria permette di cercare un elemento in un archivio con un numero di operazioni pari al logaritmo in base 2 del numero degli elementi presenti nell archivio.

10 Algoritmo di Ricerca Binaria ALGORITMO DI RICERCA BINARIA Si controlla l elemento centrale del dizionario. Se esso è proprio la parola cercata, ci si ferma. In caso contrario, se il dato da cercare segue l elemento centrale si ripete la ricerca nella parte di archivio a destra di quello centrale, scartando i dati contenuti nella semi tabella di sinistra (che precedono sicuramente quello cercato). se il dato da cercare precede l elemento centrale si ripete la ricerca nella parte di archivio a sinistra di quello centrale, scartando tutti i dati contenuti nella semi tabella di destra (che precedono quello cercato). Ad ogni passo si dimezza la dimensione dell archivio.

11 Algoritmo di Ricerca Binaria Situazione iniziale schedario

12 Algoritmo di Ricerca Binaria Ogni volta elimino la metà delle schede, oppure mi fermo perché ho trovato la scheda cercata Ogni volta divido il numero N delle schede per 2, mi fermo quando N è diventato 1 o 0 Al più eseguo x passi dove x è il logaritmo in base 2 di N Scheda cercata!

13 Algoritmo di Ricerca Binaria Innanzitutto dobbiamo stabilire cosa fare quando la tabella contiene un numero pari di elementi. Infatti in questo caso non c è un (unico) elemento centrale. L elemento centrale verrà calcolato come: (sin+des)/2 Le parentesi significano arrotonda per difetto all intero più vicino. Ad es. se sin=1 e des=10, allora (sin+des)/2 = 11/2 = 5,5 = 5

14 Algoritmo di Ricerca Binaria E poi dobbiamo stabilire qual è la condizione di terminazione in caso di insuccesso. L elemento non è nella tabella quando l intervallo diventa vuoto, cioè il limite destro cade più a sinistra del limite sinistro

15 Algoritmo di Ricerca Binaria (parte 1)

16 Algoritmo di Ricerca Binaria (parte 2)

17 Algoritmo di Ricerca Binaria program ricerca_binaria; var Dizionario : array [1..30] of string; Parola : string; i,j,k : integer; sin, des : integer; DIZ : Text; begin assign (Diz, 'c:\esami\diz.txt'); reset (Diz); for i:=1 to 30 do readln (Diz,Dizionario[i]); close (Diz); read (Parola); sin := 1; des := 30; J := (sin+des) div 2; K := 1; while (K<>0) AND (des>= sin) do begin if Parola = Dizionario[J] then K := 0 else begin if Parola < Dizionario[J] then des := j-1 else sin := J+1; J := (sin+des) div 2; end; end; if k <> 0 then writeln ('Nome assente') else writeln ('Nome in posiz.',j); end.

18 UD 3.5c: Searching (parte 3) PRESTAZIONI DEI DUE ALGORITMI DI RICERCA Dispense, cap. 5.4

19 Algoritmi a confronto Ad occhio il secondo algoritmo sembra più veloce del primo. E possibile quantizzare tale differenza? La risposta è affermativa e fa uso di alcune semplici tecniche matematiche.

20 Prestazioni della Ricerca Sequenziale Il primo algoritmo, nel caso peggiore, esegue un numero di passi proporzionale al numero delle parole. Se N= l'algoritmo di ricerca sequenziale farà di operazioni di confronto.

21 Prestazioni della Ricerca Binaria l'algoritmo elimina metà della tabella dopo ogni esecuzione di un'operazione di confronto, per cui all'inizio opererà con N elementi; al passo successivo gli elementi saranno N/2; al passo ancora successivo questi saranno la metà di quelli presenti al passo 2, cioè N/4 e così via.

22 Prestazioni della Ricerca Binaria Quanti passi saranno necessari prima di ridursi ad un intervallo con un solo elemento? k, dove k è il più piccolo intero tale che 2 k sia maggiore di N tale numero è l intero ottenuto arrotondando per eccesso il log 2 n (si legge logaritmo in base 2 di n ) oppure (è la stessa cosa) l intero più piccolo che sia maggiore o uguale al log 2 n [1]. [1] In pratica, si calcola il log 2 n e si arrotonda il risultato al più vicino numero intero che è maggiore o uguale a tale valore. Ad esempio, per n=100 il logaritmo in base 2 è 6, , che viene arrotondato a 7 (intero più piccolo che è maggiore di 6, )

23 Algoritmi a confronto Così, qualora la ricerca sia applicata ad una tabella con di elementi L algoritmo di ricerca sequenziale effettuerà, nel caso peggiore, di confronti L algoritmo di ricerca binaria effettuerà, nel caso peggiore, 20 confronti. Infatti 2 19 è inferiore ad ma 2 20 ne è superiore. Si dirà che: l algoritmo di ricerca sequenziale ha una complessità di tempo dell ordine di n l algoritmo di ricerca binaria ha una complessità di tempo dell ordine del log 2 n.

24 Algoritmi a confronto Abbiamo così due formule che ci permettono di calcolare la velocità di un algoritmo di ricerca di un elemento in una tabella, che è basato sul numero di dati input ed è indipendente dalle prestazioni del singolo computer. Numero elementi Tempo Ricerca seq. Tempo Ricerca Binaria

25 E nel caso medio? Ognuna delle N parole della tabella ha la stesse probabilità di essere esaminata Per la Ricerca Sequenziale la risposta è data dalla media ( N) N( N 1) N 2 che è uguale ad ( N 1) 2 cioè, per trovare X dovremmo consultare in media metà della tabella

26 E nel caso medio? Per l algoritmo di ricerca binaria, il calcolo è più complicato k ( 2 k - k - 1) N dove k è il numero di confronti richiesto nel caso più sfavorevole. Per valori di N molto elevati il risultato è approssimativamente uguale a k-1 nel caso medio dunque, il secondo algoritmo necessita di un solo confronto in meno rispetto al caso peggiore.

27 UD 3.5c: Searching (parte 4) COMPLESSITA INTRINSECA Dispense, cap. 5.5

28 Complessità intrinseca della Ricerca Se si sceglie la strategia basata sui confronti, è possibile fare meglio dell algoritmo di ricerca binaria? Ricorda che la ricerca binaria in k confronti riesce ad esaminare tabelle contenenti fino a 2 k -1 elementi. La risposta è No. Un qualsiasi algoritmo che è basato sul confronto di valori [1], in k passi potrà esaminare al massimo 2 k -1 differenti elementi, indipendentemente dalla strategia adottata. [1] Ad ogni passo, infatti, si confronta l elemento da cercare (Parola) con uno degli elementi della tabella (Dizionario[J])

29 Complessità intrinseca della Ricerca Infatti, il primo confronto avverrà sempre con 1 elemento (nel nostro caso con quello centrale di tutta la tabella) l esito del primo confronto potrà indirizzare il secondo verso non più di due altri elementi (infatti il confronto dà un risultato con soli due valori), per cui il secondo confronto avrà a che fare con al più altri 2 elementi il terzo confronto avrà a che fare con 4 possibili altri elementi il k-simo confronto potrà raggiungere, al massimo, 2 k-1 elementi distinti. Dalla matematica sappiamo che k 1 i 0 2 i 2 k 1

30 Complessità intrinseca della Ricerca Nessun algoritmo potrà impiegare meno di k operazioni per analizzare 2 k -1 elementi E inutile cercare algoritmi più veloci della ricerca binaria (se si vuole utilizzare la tecnica del confronto tra elementi). Nessun genio nemmeno fra 1 miliardo di anni e oltre (se la razza umana dovesse ancora esistere) potrà dare un algoritmo, basato su confronti, migliore della ricerca binaria

31 Altre applicazioni della Ricerca Binaria Tale algoritmo ci permette di definire una strategia vincente in molti giochi, nei quali bisogna individuare un elemento tra tanti possibili candidati, purché sull insieme dei candidati sia definito un ordinamento totale, cioè sia possibile, dati due qualsiasi elementi, stabilire quale dei due precede l altro gioco che richiede di indovinare quanti fagioli siano presenti in un contenitore. Limitando il numero massimo di fagioli ad un valore anche elevato, quale ad esempio , basterà applicare l algoritmo di ricerca binaria e, al massimo dopo 20 tentativi si avrà la certezza di indovinare l esatto numero di fagioli!

32 UD 3.5e: Searching (parte 5) HASHING Dispense, cap. 5.7

33 Hashing (miscuglio) Strategia diversa rispetto a quella basata su confronti Inutilizzabile da un essere umano Ma ben adatta ad un calcolatore. Trattare i caratteri di una parola come se fossero numeri rielaborandoli in modo da assegnare ad ogni parola un unico numero che sarà proprio l indirizzo della tabella nel quale memorizzare la parola.

34 Metodo per la generazione dell indirizzo Un metodo per la generazione di un indirizzo compreso tra 0 ed (n-1) è il seguente: 1. Si assegna ad ogni lettera la sua posizione nell alfabeto (a=1, b=2,, z=26) 2. Per ogni parola si sommano tutti i numeri corrispondenti alle singole lettere, ottenendo quindi, per ogni parola, un solo numero 3. Si trasforma questo numero in un valore compreso tra 0 ed (n-1)

35 Metodo per la generazione dell indirizzo Se la tabella ha n celle, si vuole che questo indirizzo sia un valore compreso tra 0 e (n-1). Per ottenere ciò si può dividere tale valore per il numero di posizioni disponibili nella tabella, n prenderne il resto, che è un numero compreso tra 0 e (n-1) Esempio THE genera il numero T=20 + H=8 + E=5 cioè 33, che diviso per 32 dà come resto 1. OF invece genera il numero O=15 + F=6 cioè 21 che, ovviamente, dà come risultato proprio 21. La parola THE verrà memorizzata nella cella numero 1 e la parola OF nella cella numero 21.

36 Esempio I calcoli completi per l esempio delle 31 parole inglesi più frequenti è riportato nella seguente tabella:

37 Collisione Se si è fortunati, ad ogni parola corrisponderà un indirizzo diverso e le ricerche risulteranno molto veloci. Con il metodo Hashing può però capitare che a due o più parole corrisponda uno stesso numero.

38 Collisione Questa situazione si verifica anche più spesso di quanto si possa pensare. Esempio del compleanno: se in una stanza ci sono 23 o più persone è più probabile che ce ne siano due nate lo stesso giorno piuttosto che siano tutte nate in giorni differenti. Qui m=365 e la funzione di hash associa ad ogni persona il suo giorno di nascita (un numero tra 1 e 365). Addirittura, in un gruppo di 88 o più persone è probabile che ce ne siano almeno 3 nati lo stesso giorno.

39 Risoluzione delle Collisioni Vediamo un metodo detto a scandaglio lineare per la risoluzione delle collisioni: In caso di collisione si inserisca la parola nella cella precedente; se anche questa è occupata si provi con quella ancora precedente e così via fino ad arrivare all inizio della tabella. In caso di ulteriore collisione si riprende a partire dall ultima cella della tabella. Questa tecnica è detta a scandaglio lineare

40 Esempio Applichiamo il metodo all insieme delle 31 parole inglesi, ordinato alfabeticamente.

41 Esempio Si noti che, in alcuni casi, il numero delle collisioni è veramente alto. WHICH e OF generano 5 collisioni prima di trovare la posizione nella tabella YOU genera addirittura 20 collisioni Per limitare questa situazione si utilizzano tabelle più grandi del numero di elementi da memorizzare. Analisi matematiche hanno mostrato che un fattore di occupazione dell 80% dà buoni risultati.

42 Svantaggi Si possono creare lunghe code su un'unica cella Il metodo hash, così come descritto qui, dà scarsi risultati nel caso in cui la parola non sia presente. Esistono delle varianti della tecnica base che permettono di migliorare sensibilmente tale prestazione inserire gli elementi in ordine alfabetico inverso In caso di collisione, tutti gli elementi tra h(x) e l effettiva posizione di x precedono alfabeticamente x. Quindi la ricerca di x, in caso di assenza di x può terminare non appena si incontra una parola che segue alfabeticamente x, senza arrivare alla fine della catena delle collisioni.

43 Vantaggi Il vantaggio principale dell uso della tecnica di hashing è nel fatto che, in una tabella piena all 80% il numero medio di collisioni in caso di ricerca con successo è pari a 3 il numero medio di collisioni nel caso di ricerca senza successo è di 13. Inoltre tali valori sono costanti, non dipendono quindi dalla dimensione dell input come pure dipendeva l algoritmo di ricerca binaria.