Primo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 2010/2011. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 200/20. Prof. M. Bramanti Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C ab %C ab &CaB Þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione ww w C ab %C ab &CaB & cosbþ 2. Sia la curva piana di equazioni parametriche B > C a" sin> per > ß dove è una costante fissata. Dopo aver calcolato l'elemento di lunghezza.=, si calcoli l'integrale di linea ( ac.=þ 3. Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aBßC log ab C. È" BC Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú

2 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Tema 4. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione soggetta al vincolo a 0aBßC B C B abßc BC C Þ Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo o minimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange, e quindi stailire l'effettiva natura dei punti trovati, giustificando le proprie affermazioni. 5. Calcolare il momento d'inerzia di una lamina piana omogenea H di massa Q a forma di ellisse, B C H abßc À Ÿ " +, ( +ß, costanti positive) rispetto all'asse passante per l'origine e perpendicolare al piano BC. 6. Calcolare la massa totale del cono È G BßCßD À B C Ÿ ß Ÿ D Ÿ 2 " B a C Ÿ avente densità. abßcßd ad 2 dove è una costante positiva avente dimensioni massaîalunghezza. 7. Si consideri il campo vettoriale conservativo: JaBßCßD Š B/ C C CD CD ß B / D / ß/ ˆ D CD " / Þ Calcolare un potenziale di J in. 8. Si consideri la funzione 2-periodica definita per B c "ß" d da: 0 B B per B c ß" d a per B c "ß d. a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier + 8 di 0 (non è richiesto il calcolo dei coefficienti, 8 ). (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 2

3 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 200/20. Prof. M. Bramanti Tema n 2 ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni Cognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pulicare nel sito we del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Si consideri l'equazione differenziale: w C ˆ " C B Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca "Þ c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. 2. Si calcoli la circuitazione del campo vettoriale piano lungo l'astroide di equazioni parametriche: 3. Data la funzione J a CßB B cos * * cß dþ C sin * B C B C BßC 0aBßC B C B C per a Á aß per abßc aß Þ ) Stailire se è derivaile o meno nell'origine, calcolando esplicitamente le derivate in tal punto ( non si chiede di calcolare le derivate in ogni punto del piano); 2) Stailire se nell'origine è differenziaile o meno. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose).

4 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Tema 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). % 0aBßC B C %BC B %B C 5. Si consideri la lamina piana omogenea H di massa Q avente la forma del trapezio di vertici a+ß à a+ß+ àa +ß+ àa +ß per + fissato (si consiglia di fare una figura). Si calcoli il suo momento d'inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano BC e passante per l'origine. 6. Calcolare l'integrale triplo ( ( ( B C D D kc k/ ÈB C.B.C.DÞ 7. Si consideri il campo vettoriale tridimensionale J < expˆ k< k dove < è il vettore abßcßd. ) Calcolare div J e riscrivere l'espressione trovata nel modo più semplice e compatto. 2) Calcolare il flusso del campo J uscente dalla superficie sferica di raggio e centro l'origine. (Si sconsiglia di usare il teorema della divergenza). 8. Si consideri la funzione 2-periodica definita da: 0aB " kbk per B c "ß" d. a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0 sfruttando le simmetrie, e scrivere in forma compatta la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 2

5 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 200/20. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni *. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C ab %C ab &CaB Þ ) Determinare una soluzione particolare dell'equazione a) Integrale generale dell'omogenea: ) Usiamo le notazioni complesse. ww w C ab %C ab &CaB & cosbþ % & a " a & à "ß & Þ B &B DaB -"/ - / Þ 3B & cosb Reˆ &/ perciò cerchiamo prima una soluzione complessa dell'equazione del tipo ww w 3B A ab %A ab &AaB &/, 3B AaB E/ w 3B ww 3B A ab 3E/ àa ab % E/ 3B 3B E/ c % )3 & d &/ & & a * )3 * )3 E Þ * )3 )" '% *

6 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema AaB * )3 acosb 3 sinbà * CaB ReAaB * cosb ) sinbþ * * 2*. Sia la curva piana di equazioni parametriche B > C a" sin> per > ß dove è una costante fissata. Dopo aver calcolato l'elemento di lunghezza.=, si calcoli l'integrale di linea ( ac.=þ < w a> aß cos> à.= k< w a> k.> È" cos >.>Þ ( ac.= ( sin> È" cos >.> cos>?à sin>.>.?à? c"ß d "? ( È.? "? Sh@à.? Ch@.@à@ cß SettSh" d ShBChB B ( Š È SettSh" Þ SettSh" SettSh" 3.* Sia I l'insieme di definizione della funzione 0aBßC log ab C. È" BC Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: 2

7 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema I abßc À C B ßBC " I è aperto SI' úx NO ú I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' ú NO úx I è connesso SI' úx NO ú 4*. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti per la funzione soggetta al vincolo a 0aBßC B C B abßc BC C Þ Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo o minimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange, e quindi stailire l'effettiva natura dei punti trovati, giustificando le proprie affermazioni. ab C B PaBßC,- 0aBßC -abßc -Œ BC C. Risolviamo il sistema: La prima equazione dà: Ú Ý0B -B ab C -ab C Û 0C -C ab C -ab C Ý Ü BC C Þ B B C oppure B C -Þ B C, cioè C B, sostituita nella terza dà B e quindi i due punti aß ßa ß Þ B B ßB %ßB 3

8 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema Invece B C - dà, nella 2^ e 3^ equazione, il sistema: a B C a B C ab C B BC C Escludendo ab C (già discussa) la prima dà B C B C, cioè C che sostituita nella 3^ dà ancora B, quindi troviamo aß ßa ß Þ Quindi sono punti stazionari vincolati i seguenti: aß ßa ß ßaß ßa ß Þ Ora ragioniamo così. Il vincolo è una ellisse, insieme chiuso e limitato; 0 è continua, quindi per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo assoluto sul vincolo; d'altro canto la funzione 0 vale: 0 aß 0 a ß à ) ) 0aß à0a ß Þ quindi a ß è punto di minimo assoluto, aß di massimo assoluto. 5*. Calcolare il momento d'inerzia di una lamina piana omogenea H di massa Q a forma di ellisse, B C H abßc À Ÿ " +, ( +ß, costanti positive) rispetto all'asse passante per l'origine e perpendicolare al piano BC. Q M B C.B.CÞ kh k ( ( ˆ H E' noto che khk +,Þ Per calcolare l'integrale utilizziamo il camio di variaili polare ellittico: B + 3 cos* C, 3 sin* ".B.C +, 3. 3.* Q M ( Œ( ˆ + 3 cos *, 3 sin * +, * +, " Q Œ( Œ+ 3 ( cos *.*, 3 ( sin *.*. 3 " " Q Q +, Œ( ˆ + 3, 3. 3 Q ˆ a +, ( 3. 3 Þ % 4

9 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema Altro procedimento (se non viene in mente di usare le coordinate polari ellittiche). Per simmetria, + Q Î, É" B + M % Ñ ( ( ˆ B C.C.B +, Ï Ò %Q, B, " ".B +, ( Ê B Œ B + + sostituzione B + sin>à.b + cos>.>à> ß + Î %Q, %Q, % ( Œ+, sin > cos> cos > + cos>.> ( Œ+ sin > cos > cos >.> +, %Q +, " > >.> ( a cosa sin a % % Q, Q, ( Œ+ a> ˆ " a> a> sin cos cos.> + Š % % 6*. Calcolare la massa totale del cono Q a+, % È G BßCßD À B C Ÿ ß Ÿ D Ÿ 2 " B a C Ÿ Þ avente densità. abßcßd ad 2 dove è una costante positiva avente dimensioni massaîalunghezza. ÉB C Î 2 " Ñ Q ( ( (. abßcßd.b.c.d ( ( Ð ( ad 2.D Ó.B.C G B C Ÿ Ï Ò Î" È Ñ B C ÈB C ( ( 2 " 2 ".B.C B C Ÿ Ï Ò passando in coordinate polari 5

10 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema " ( Œ Š " Š " ( Œ % ) % 2 Œ " 2 Œ & & 2 % ) % " 7*. Si consideri il campo vettoriale conservativo: JaBßCßD Š B/ C C CD CD ß B / D / ß/ ˆ D CD " / Þ Calcolare un potenziale di J in. Cerco YaBßCßD tale che Y abßcßd B/ à B C C C YaBßCßD ( B/.B B / 0aCßDà Y abßcßd B / 0 acßd B / D / Ê 0 acßd D / C C C C CD C CD CD CD 0aCßD ( D /.C D/ adà C D/ CD YaBßCßD B / adà w CD Y abßcßd ˆ CD " CD / ad / ˆ CD " D w D / Ê ad / à D ad / D -à YaBßCßD B / C CD D/ / D -Þ 8*. Si consideri la funzione 2-periodica definita per B c "ß" d da: 0 B B per B c ß" d a per B c "ß d. a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier + 8 di 0 (non è richiesto il calcolo dei coefficienti )., 8 6

11 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione 0 è regolare a tratti ed è continua tranne nei punti " (e loro periodizzati) Þ Pertanto la serie di Fourier converge in ogni punto a 0aB, tranne in "ß dove converge a " " a0a " 0 a" Þ Possiamo dire che i coefficienti di Fourier + 8ß, 8 tendono a zero, ma non possiamo precisare la velocità di convergenza (proailmente non saranno 9 a"î8). ) Calcoliamo i coefficienti di Fourier: " " " + ( 0aB.B ( B.B Þ " " " + 8 ( 0aBcosa8B.B ( Bcosa8B.B " " sin 8 B 8 B " " " B a sin a " (.B 8 B a ccosa d Þ 8 8 a8 a8 " 8 7

12 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 200/20. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 2 ú Ing. Elettronica (arrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni *. Si consideri l'equazione differenziale: w C ˆ " C B Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.. Risolvere il prolema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale Ca "Þ c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del prolema di Cauchy è definita. a. Soluzioni costanti: nessuna. Risolviamo l'equazione a variaili separaili:.c.c B.Bà B.B " C ( " C ( arctanc B -à B CaB tanœ - Þ. " C a tan-à- 5à % B B CaB tanœ 5 tanœ. % % (in altre parole, l'aggiunta della costante 5 nell'argomento della tangente è irrilevante). Poiché l'argomento della tangente dev'essere diverso da 5 e l'intervallo di definizione deve contenere B ß la soluzione è definita per: B %

13 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema 2 * B % % * Ê B Ê % % 2*. Si calcoli la circuitazione del campo vettoriale piano J a CßB lungo l'astroide di equazioni parametriche: B cos * * cß dþ C sin * < w a* ˆ cos * sin* ßsin * cos* à J a< a ˆ * sin * ßcos * ( J. < ( J a< a* < a*. * w ( ˆ ß ˆ cos * sin* sin * cos* sin * ß cos *.* ( ˆ cos * sin % * sin * cos % *.* ( cos * sin *.* 3*. Data la funzione ( a. Þ % sina * * % " B C B C BßC 0aBßC B C B C per a Á aß per abßc aß Þ ) Stailire se è derivaile o meno nell'origine, calcolando esplicitamente le derivate in tal punto ( non si chiede di calcolare le derivate in ogni punto del piano); 2) Stailire se nell'origine è differenziaile o meno. (Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in ase a criteri o teoremi studiati, non di limitarsi ad affermare come vanno le cose). 2

14 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema 2 ). Calcoliamo le derivate parziali nell'origineþ La funzione è derivaile nell'origine. 0 a Bß B `0 B à quindi ß "Þ B `B a C `0 0 aßc Cà quindi aß Þ C `C 2) La funzione è differenziaile se e solo se la seguente espressione tende a zero per abßc Ä aß : B C B C 0aBßC B C B C B C B C? ÈB C ÈB C B C B C B BC B C B C C B C ab C B C ÈB C B C BC B C B C BC ab C B C BC Þ ab C B C ÈB C ab C B C ÈB C Dimostriamo che questo quoziente non ha limite (quindi il quoziente? non ha limite, quindi 0 non è differenziaile nell'origine), passando in coordinate polari:?a3 ß* 3 cos* sin* a cos* sin* cos * sin* cos* sin * 3 a" 3 cos * sin * cos* sin* a cos* sin* 3 cos * sin* 3 cos* sin * Ä cos* sin* a cos* sin* a" 3 cos * sin * per 3 Ä ße per ogni * fissato con cos* sin* Á. Poiché si ottengono limiti diversi lungo diverse direzioni, il limite non esiste. 4*. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). % 0aBßC B C %BC B %B C 0B BC %C %B )B ccab BaB d ab ac B 0 B %B C Þ C La prima equazione dà B o C BÞ B nella seconda equazione dà % C àc àa ß Þ 3

15 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema 2 C B nella seconda equazione dà B )B àb ßB )à aß ßa )ß "' Þ I punti stazionari sono: a ß à aß àa )ß "' Þ Matrice hessiana: L0 a BßC Œ ac %B % ab C %B % B Þ ab Œ B " % L0 aß Œ indef.; aß punto di sella " L0a ß Œ ' a ß " def. pos. punto di min. rel. " ' L0a )ß "' Œ a )ß "' ' " indef. punto di sella 5*. Si consideri la lamina piana omogenea H di massa Q avente la forma del trapezio di vertici a+ß à a+ß+ àa +ß+ àa +ß per + fissato (si consiglia di fare una figura). Si calcoli il suo momento d'inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano BC e passante per l'origine. khk a%+ + + Per simmetria, dove + Þ M Q B C.B.CÞ k k ( ( ˆ H H Q M ( ( ˆ B C.B.C + H w è il trapezio di vertici a+ß à a+ß+ à aß+ à aß, perciò B H w Q B C.C.B B C.C.B + Œ( Œ( ˆ ( Œ( ˆ Q + a+ B +B.B B + B.B + ( Œ ( a + % % Q + + )+ "+ B '+B B +B B.B + ŒŒ ( Œ + + 4

16 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema 2 % % % % Q + + B ) +B + B + B +B B + % " + + Q % "' "' "' % " ) " + % ) + Œ Œ % " Q+ " Œ Q+ Þ " * 6*. Calcolare l'integrale triplo ( ( ( B C D D kc k/ ÈB C.B.C.DÞ In coordinate sferiche, ÚB 3 sin: cos* Û C 3 sin: sin* ÜD 3 cos: 3 : cos 3 sin: ksin* k/ M ( Œ( Œ( sin:.:. * sin: Œ( ksin* k. * ( Œ( / sin:.: 3. 3 cos: >à sin:.:.>à> a"ß " 3 cos : Œ ( sin*.* ( Œ( /. > 3. 3 " " 3> 3> / 3 3 %( 3. 3 %( a/ / " " % c3a/ / d ( a/ /. 3Ÿ % š ˆ / / 3 3 c/ / d % ˆ / / ˆ / / ) ach Sh. 7*. Si consideri il campo vettoriale tridimensionale J < expˆ k< k dove < è il vettore abßcßd. ) Calcolare div J e riscrivere l'espressione trovata nel modo più semplice e compatto. 5

17 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema 2 2) Calcolare il flusso del campo J uscente dalla superficie sferica di raggio e centro l'origine. (Si sconsiglia di usare il teorema della divergenza). ) Poniamo 3 k< k. Allora ` `B aj" `Bˆ B ˆ ˆ Œ 3 exp 3 exp 3 " B Œ 3 `B expˆ 3 ˆ" B Þ Per simmetria, si avrà divj `B aj" `C aj `D aj expˆ 3 ˆ " B ˆ " C ˆ " D expˆ 3 ˆ 3 expˆ k< k ˆ k< k Þ 2) Per calcolare il flusso uscente da D superficie della sfera di centro aßß e raggio, ricordiamo che il versore normale uscente è 8 < k < k perciò Fa D ( ( ( ( ˆ < Jß J 8.W < exp k< k.w k < k D D ( ( ˆ k< k exp k< k.w / ( (.W / % % / Þ k< k D D 8*. Si consideri la funzione 2-periodica definita da: 0aB " kbk per B c "ß" d. a) In ase alla teoria, cosa è possiile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possiile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. ) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0 sfruttando le simmetrie, e scrivere in forma compatta la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione 0 è continua in e regolare a tratti. Pertanto la serie di Fourier converge in ogni punto a 0aB e i coefficienti di Fourier + 8ß, 8 di 0 sono 9 a"î8. 6

18 Primo Appello di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 200/. Svolgimento Tema 2 ) 0 è 2-periodica e pari; quindi, 8 e " " B + ( 0aB.B ( a" B.B B "Þ " " + 8 ( 0aBcosa8B.B ( a" Bcosa8B.B " " " sina8b sina8b ( Bcosa8B.B B (.B 8 8 Ÿ cosa8b 8 ( sina8b.b a " " Þ a a8 " _ 8 " " a " 0aB µ "Œ cosa8bþ 8 8" " " 7