1) Calcolare l indice di eterogeneità di Gini per i caratteri Qualifica Funzionale e Regime di Impiego.

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Agata Pieri
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1 Università di Cassino Esercitazione di Statistica del 9 novembre 2007 Dott.ssa Paola Costantini Considerando il DATASET DIPENDENTI: ID Stipendio N. di anni di Qualifica Età percepito servizio funzionale Regime di impiego Genere Stato Civile Operaio Tempo pieno M Non coniugato Operaio Part time F Vedovo Impiegato Tempo pieno F Coniugato Dirigente Part time M Non coniugato Dirigente Collaboratori esterni F Vedovo Impiegato Tempo pieno M Vedovo Operaio Tempo pieno F Non coniugato Impiegato Tempo pieno M Vedovo Operaio Tempo pieno F Non coniugato Dirigente Tempo pieno F Coniugato Operaio Collaboratori esterni M Non coniugato Operaio Collaboratori esterni F Non coniugato Dirigente Collaboratori esterni M Vedovo Impiegato Collaboratori esterni F Coniugato Impiegato Collaboratori esterni M Non coniugato Impiegato Tempo pieno F Coniugato Operaio Collaboratori esterni F Coniugato Dirigente Tempo pieno M Non coniugato Operaio Collaboratori esterni F Coniugato Dirigente Collaboratori esterni M Vedovo ) Calcolare l indice di eterogeneità di Gini per i caratteri Qualifica Funzionale e Regime di Impiego. Condizione di massima omogeneità: le n unità statistiche presentano tutte la stessa modalità Condizione di massima eterogeneità: nella distribuzione di frequenza appaiono tutte le k modalità, e ad ognuna di esse è associata la medesima frequenza.

2 .) Calcoliamo l indice del Gini per il carattere Qualifica Funzionale Qualifica funzionale ni f i operaio 8 0,4 impiegato 6 0,3 dirigente 6 0,3 Totale 20,00 G= -Σfi 2 -(0,4 2 +0,3 2 +0,4 2 ) = -(0,6+0,09+0,09) =0,66 Gmax=-/k = -/3 =0,666 G* = G/ Gmax=0,66/0,67 =0,99 Conclusione G* molto prossimo ad la distribuzione è molto eterogenea: tutte le modalità sono presenti e con frequenze molto simili tra loro..2) Calcoliamo l indice del Gini per il carattere Regime di Impiego Regime di impiego ni f i Tempo pieno 9 0,45 Part time 2 0,0 Collaboratore esterno 9 0,45 Totale 20,00 G= -Σfi 2 -(0, , 2 +0,45 2 ) = -(0,2025+0,0+0,2025) =0,585 Gmax=-/k = -/3 =0,666 G* = G/ Gmax=0,585/0,67 =0,8775 G* è abbastanza elevato la distribuzione è abbastanza eterogenea: entrambe le modalità sono presenti, ma con frequenze non equilibrate tra loro. 2) Suddividere in tre classi equiampie il carattere Stipendio percepito del dataset Dipendenti.

3 Anzitutto ordiamo le modalità del carattere Stipendio percepito Stipendio Percepito L ampiezza costante delle tre classi si ottiene come: range (STIPENDIO) = = 200 L ampiezza delle classi della distribuzione di frequenza è pari a: Ampiezza stipendio percepito = range/3 = 200/3 = 700 Le 3 classi sono, dunque, delimitate dai seguenti estremi: C = [400; 200 ] C 2 = ]200; 2800 ] C 3 = ] 2800; 3500 ] x i ci n i f i N i F i a i d i [400; 200 ] ,45 9 0, ,00064 ]200; 2800 ] ,35 6 0, ,0005 ] 2800; 3500 ] , ,00028 Totali 20,00

4 2.) rappresentare graficamente tale distribuzione: 2.2) Calcolare, per la distribuzione in classi di cui sopra, gli indici di posizione: media, classe modale, mediana, quartili, gli indici di variabilità: varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione, gli indici di posizione: indice di Yule-Bowley e indice di Hotelling-Solomon. Indici di posizione k i i Media= x n = 2275 i= µ X= n Classe modale = [ ] Per il calcolo dei Quartili e della Mediana: ) si individua la classe di riferimento; 2) si sostituisce ad F desiderata il valore 0,25 per Q, 0,5 per Q 2 e 0,75 per Q 3. In base alla frequenza relativa cumulata, il primo quartile si trova nella classe [ ], quindi: Q = 400 +( ) 0,25-0 = 788,89 0,45-0

5 In base alla frequenza relativa cumulata, la mediana si trova nella classe ] ], quindi: Me= 200 +( ) 0,5-0,45 = ,80-0,45 In base alla frequenza relativa cumulata, il terzo quartile si trova nella classe ] ], quindi: Q 3 = 200 +( ) 0,75-0,45 = ,80-0,45 Indici di variabilità per una distribuzione in classi, la varianza si calcola= σ µ ( ) 2 k 2 X= ci ni n i= dove c i rappresenta il valore centrale della classe: σ 2 = ( ) 2 *9+ ( ) 2 *7+ ( ) 2 *4 = 20 = = = Scarto quadratico medio 2 σ = σ = 287,875 = 536,5 Coeff.variazione= CV = σ =0,23 = 536,5 = 0,235 µ 2275 Indici di forma Yule-Bowley = 2Me-Q 3 -Q Q 3 -Q A = 0 Simmetria A < 0 Asimmetria Positiva A > 0 Asimmetria Negativa

6 Yule-Bowley = 2* ,89 = - 0,097 Asimmetria positiva ,89 Hotelling-Solomon = µ x Me = = 0,39 = σ 536,5 Asimmetria positiva 3) Per lo stesso carattere Stipendio Percepito costruire una distribuzione con tre classi equifrequenti: La numerosità del carattere Stipendio prcepito è 20, quindi la frequenza costante nelle 3 classi dovrebbe essere pari a 20/3 = 6,6667, che non ha senso ma suggerisce di scegliere una frequenza pari a 6 o a 7. Considerando anche l ampiezza delle classi decidiamo: Stipendio percepito ci n i f i N i F i a i d i [400; 2050 ] ,35 7 0, ,00053 ]2050; 2600 ] ,35 4 0, ,00070 ]2600; 3500 ] , ,00033 Totali 20,00 3. Rappresentare graficamente tale distribuzione:

7 3.2) Calcolare, per la distribuzione in classi di cui sopra, gli indici di posizione: media, classe modale, mediana, quartili, gli indici di variabilità: varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione, gli indici di posizione: indice di Yule-Bowley e indice di Hotelling-Solomon. Indici di posizione k i i Media= x n = 2348,75 i= µ X= n Classe modale = [ ] quella con la densità di frequenza più elevata Per il calcolo dei Quartili e della Mediana: 3) si individua la classe di riferimento; 4) si sostituisce ad F desiderata il valore 0,25 per Q, 0,5 per Q 2 e 0,75 per Q 3. In base alla frequenza relativa cumulata, il primo quartile si trova nella classe [ ], quindi: Q = 400 +( ) 0,25-0 = 864, 0,35-0 In base alla frequenza relativa cumulata, la mediana si trova nella classe ] ], quindi: Me= ( ) 0,5-0,35 = 2285,7 0,70-0,35 In base alla frequenza relativa cumulata, il terzo quartile si trova nella classe ] ], quindi: Q 3 = ( ) 0,75-0,70 = ,70

8 Indici di variabilità per una distribuzione in classi, la varianza si calcola= σ µ ( ) 2 k 2 X= ci ni n i= dove c i rappresenta il valore centrale della classe: σ 2 = ( ,75) 2 *7+ ( ,75) 2 *7+ ( ,75) 2 *6 = 20 = ,4+0, ,3= = ,7 20 Scarto quadratico medio 2 σ = σ = ,7= 542,6 Coeff.variazione= CV = σ =0,23 = 542,6 = 0,23 µ 2348,75 Indici di forma Yule-Bowley = 2Me-Q 3 -Q Q 3 -Q A = 0 Simmetria A < 0 Asimmetria Positiva A > 0 Asimmetria Negativa Yule-Bowley = 2*2285, , = - 0,0482 Asimmetria positiva , Hotelling-Solomon = µ x Me = 2348, ,7 = 0,6 = σ 542,6 Asimmetria positiva

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