UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE

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1 UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE at RISK (VaR) Chara Pederzol - Costanza Torrcell Dpartmento d Economa Poltca - Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Marzo 999 INDICE Introduzone. Il concetto del VaR e le sue applcazon. La stma del VaR. La "Local Valuaton". La "Full Valuaton".3 Uno schema rassuntvo 3. Un confronto tra metod esstent: pù recent svlupp Appendce Bblografa

2 Introduzone Il Value at Rsk (VaR) è un recente metodo statstco per la msurazone del rscho d un portafoglo nteso n senso lato e ne rappresenta la massma perdta attesa, su un dato orzzonte temporale e ne lmt d un predefnto lvello d confdenza. I tp d rscho che è possble msurare con tale ndce monetaro sono molteplc così come molteplc sono gl ambt d applcazone. Il VaR è un metodo relatvamente nuovo, ma è rapdamente dventato lo strumento pù famoso per la msurazone e gestone del rscho. La ragone d tale successo è fondamentalmente rconducble a tre fenomen. In prmo luogo, dsastr fnanzar come quello della Barngs nel febbrao 995 hanno messo n luce la necesstà d dsporre d uno standard per l montoraggo delle esposzon al rscho fnanzaro d portafogl compless. In secondo luogo, la decsone della J.P.Morgan d rendere pubblc e gratutamente dsponbl nel 994 la metodologa Rskmetrcs ( ) e l relatvo database ha accelerato l processo d standardzzazone. Infne, le ndcazon del Comtato d Baslea sulla supervsone bancara che consentono l'adozone da parte delle banche - a partre dal d modell ntern d stma del VaR per defnre requst mnm d captale. Oltre all'essere un ndce monetaro, e pertanto molto mmedato, del rscho d un portafoglo, l VaR presenta un altro grande vantaggo rspetto alle msure tradzonal (qual ad esempo duraton, convexty, delta o altre "Greeks"). Infatt tal msure catturano l'esposzone ad un solo tpo d rscho (es. rscho d tasso d nteresse o rscho del sottostante), mentre l VaR è n grado d quantfcare l'esposzone globale d un soggetto a vare font d rscho. A fronte d una defnzone concettuale semplce, l'mplementazone del VaR non è affatto banale e può essere realzzata con dvers metod, che tuttava condvdono un approcco procedurale comune. Il presente lavoro prescnde da una dscussone delle problematche teorco-fnanzare alla base del VaR e de relatv problem applcatv e s propone nvece d offrre una rassegna de prncpal metod d stma propost per effettuarne un confronto crtco. A tal fne l lavoro è organzzato nel seguente modo. Nella prma sezone vene sntetcamente presentato l concetto d VaR e s accenna a prncpal utlzz. La seconda è dedcata alla llustrazone de due prncpal metod d stma ("local valuaton" e "full valuaton") e alla dscussone de problem nst n cascun metodo. La terza sezone conclude tentando un confronto tra metod pù utlzzat e accennando a pù recent svlupp.

3 . Il concetto del VaR e le sue applcazon Il Value at rsk (VaR) è un metodo statstco d msurazone del rscho d un portafoglo n grado d sntetzzare la stma del rscho dell ntero portafoglo n un solo numero. Il VaR rassume la massma perdta attesa, su un dato orzzonte temporale, ne lmt d un predefnto ntervallo d confdenza. Pù precsamente: consderando una probabltà d c% (c è l lvello d confdenza) e un perodo d t gorn, l VaR è la perdta che c s aspetta venga ecceduta solo con una probabltà d (-c)% nel prossmo perodo d t gorn. La scelta d c e t è soggettva: l lvello d confdenza c defnsce l grado d protezone dal rscho d movment avvers de fattor d mercato. I valor tpc per c sono 99%, 97,5%, o 95%: la scelta può essere rlevante o meno a seconda dell uso che s ntende fare del VaR, coè a seconda che l VaR venga utlzzato come msura assoluta del rscho sostenuto o come untà d confronto (ad esempo confronto d rschostà tra portafogl dvers), nel qual caso c dventa solo un fattore scalare. Naturalmente, pù ampo è l lvello d confdenza c adottato, maggore è la capactà del VaR d contenere le perdte (nel senso che rsulta meno probable eccedere la perdta massma stmata), ma mnore è l contrbuto del VaR n termn nformatv, dato che vene esclusa una gamma pù rstretta d valor ; perod normalmente adottat sono d, o 0 gorn, oppure un mese. Ipotes sottostante è che la composzone del portafoglo rmanga costante durante l perodo consderato; qund la scelta dell orzzonte temporale deve dpendere dalla frequenza con cu l portafoglo vene sottoposto a movmentazon e dal perodo necessaro per la lqudazone del portafoglo. La defnzone del VaR s può llustrare faclmente da un punto d vsta grafco. E necessaro a questo scopo dsporre de dat relatv ad una dstrbuzone d probabltà delle varazon future del valore del portafoglo (proftt e perdte future). Supponamo per l momento che la varazone del portafoglo, W, sa defnta con rfermento al valore nzale dello stesso, ovvero: W = W dove: W 0 t (.) W 0 è l valore nzale del portafoglo W t è l valore del portafoglo alla fne dell'orzzonte temporale prescelto. 3

4 Fg.. Dstrbuzone d probabltà della varazone del valore del portafoglo W. Nella fgura., partendo da snstra (perdte peggor), s sommano le probabltà de sngol valor fno a raggungere una probabltà cumulata del (-c)%, che determna l VaR, come valore che separa le perdte consderate nella norma da quelle eccezonal. In pratca, ndcando con W* l valore mnmo del portafoglo (alla fne dell orzzonte temporale) al lvello d confdenza scelto, l VaR è dato dalla varazone W* = W 0 - W*, defnta da tale valore crtco. Formalmente, l VaR è quel valore tale che: c = P( W VaR) (.) La. e la. conguntamente defnscono l cosddetto VaR assoluto. Tuttava esste una defnzone alternatva del VaR, nella quale la varazone del portafoglo vene valutata rspetto al valore atteso dello stesso puttosto che al valore nzale. La formalzzazone del concetto è la medesma, purché s nterpret W come W = E(W)- W t. Il VaR relatvo dventa qund: VaR= E(W) - W* (.3) e msura l rscho relatvo alla realzzazone d performances nferor alle aspettatve. Ovvamente se l valore atteso del portafoglo E(W) è uguale al valore nzale, coè se s potzza che la varazone attesa del valore del portafoglo sa nulla, l VaR relatvo al valore atteso rsulta uguale al VaR assoluto. Volendo esprmere l VaR n funzone del tasso d rendmento R del portafoglo sull'orzzonte temporale prescelto, è suffcente rchamare la relazone tra W t ed R: W=W 0 (+R) (.4) da cu segue che: W*=W 0 (+R*) (.5), dove R* è l rendmento mnmo del portafoglo al lvello d confdenza scelto. 4

5 Il VaR dventa qund, nelle due dverse accezon: VaR relatvo =E(W) - W* = W [E(R) - R*] (.6) VaR assoluto =W - W* = -R*W (.7). Consderando ora una funzone d denstà d probabltà contnua f(r), e scelto un lvello d confdenza c, R* vene determnato n modo tale che: c f ( R ) dr R* (.8), = + o analogamente: c R * = f ( R) dr (.9). Per quanto rguarda l'utlzzo, teorcamente l VaR può essere applcato a tutt tp d rscho fnanzaro, che vene generalmente suddvso n cnque categore: Rscho d mercato, coè l rscho d perdte dovute a movment d mercato; Rscho d credto, coè l rscho relatvo alla possbltà d nsolvenza della controparte; Rscho operatvo, coè l rscho dervante da error uman o nadeguatezza de sstem utlzzat; Rscho d lqudtà, che può assumere due forme: l rscho d lqudtà d mercato (market/product lqudty) s verfca quando la transazone non può essere condotta a prezz d mercato prevalent a causa dell nsuffcenza dell attvtà d mercato; l rscho d lqudtà d captale (cash flow/fundng lqudty) corrsponde all ncapactà d ottenere fond per rspettare le obblgazon d pagamento; Rscho legale, coè l rscho che la controparte non abba l autortà legale d ntraprendere la transazone. Il VaR può qund fornre una msura complessva del rscho a cu un soggetto (ad esempo una banca) è sottoposto: d fatto l VaR, nato come srtumento per la valutazone del rscho d mercato, vene tuttora utlzzato prevalentemente a questo scopo. In partcolare, l VaR prende n consderazone pù font del rscho d mercato, qual: Rscho d nteresse (volatltà del tasso d nteresse); Rscho d cambo (volatltà del tasso d cambo); Rscho su equty (volatltà de prezz delle azon); Rscho su commodty (volatltà de prezz delle matere prme); Il VaR permette d sntetzzare n un unco valore tutt rsch d mercato che nascono dalla detenzone d dvers strument fnanzar. Questa valutazone ntegrata del rscho tene conto de benefc che dervano dalla dversfcazone: nfatt l cosdetto VaR dversfcato s calcola sulla base delle relazon esstent tra le dverse font d rscho a cu l portafoglo è esposto, quantfcate da coeffcent d correlazone. S può anche parlare d VaR non dversfcato d un portafoglo, dato semplcemente dalla somma de VaR su sngol fattor d rscho che ncdono sul portafoglo. 5

6 L potes sottostante è che coeffcent d correlazone sano ugual a, coè che c sa perfetta correlazone tra fattor d rscho; n questo caso la dversfcazone non dà alcun benefco. Questa potes è però nella maggor parte de cas naccettable: normalmente l rscho d portafoglo msurato a lvello globale rsulta nferore rspetto alla somma de rsch relatv a sngol fattor d rscho. Il VaR ha molteplc possbltà d utlzzazone: esso può essere strumento nformatvo, strumento d allocazone delle rsorse e defnzone de lmt operatv, strumento d valutazone delle performances (aggustate per l rscho), strumento per la defnzone de requst d captale a scopo d regolamentazone bancara. Quest ultma applcazone ha assunto una notevole mportanza, dato che, secondo le ndcazon del comtato d Baslea, a partre dal 998 le banche possono autonomamente defnre propr requst d captale a fronte del rscho d mercato, sulla base de propr modell ntern d stma del VaR. D fatto la lbertà della banca è lmtata da un lato dall mposzone d alcun vncol che l modello deve rspettare, dall altro dalla necesstà che tale modello venga approvato dall autortà d regolamentazone. L approvazone s basa sull applcazone d test che msurano l accuratezza delle stme prodotte dal modello: s tratta fondamentalmente d test basat sul tasso d fallmento del modello su un perodo d osservazone (d 50 gorn), coè sulla percentuale de cas n cu le perdte superano l VaR (eccezon), da confrontare con la percentuale adottata a pror nel modello (-c).. La stma del VaR Esstono dvers metod per l calcolo del VaR, caratterzzat da dverse potes sottostant e da dverse procedure; s può comunque ndvduare uno schema d base, comune a tutt metod, che prevede:. ndvduazone de fattor d rscho rlevant, coè de fattor d mercato che nfluscono sul valore del portafoglo;. stma della dstrbuzone d probabltà de rendment de fattor d rscho; 3. determnazone della dstrbuzone d probabltà de rendment del portafoglo n termn d proftt e perdte sulla base delle stme al punto ; 4. determnazone del VaR come massma perdta al c% d probabltà. Un elemento mportante per l'applcabltà del VaR è rappresentato da test per l accuratezza delle stme del VaR. Data la natura ntroduttva del presente lavoro, s rmanda a Lopez (997 e 998) per una trattazone approfondta del problema. 6

7 VaR = ασ W 0 (. ) Fg.. Determnazone grafca del VaR L obettvo comune a tutt metod è quello d ottenere una stma della dstrbuzone futura del rendmento d portafoglo o meglo della varazone del valore del portafoglo. I metod d calcolo del VaR s possono dstnguere prma d tutto n due tpologe: metod basat sulla local valuaton (metod analtc) e metod basat sulla full valuaton (metod d smulazone).. La "Local valuaton" Il metodo rappresentatvo d questa tpologa, quello coè che normalmente vene utlzzato, è l cosddetto metodo Delta-Normal. Esso s basa su due potes fondamental: normaltà della dstrbuzone de rendment de fattor d rscho; lneartà del rendmento d portafoglo rspetto a fattor d rscho. La combnazone delle due potes mplca la normaltà del rendmento del portafoglo. Inoltre s potzza normalmente che rendment de fattor d rscho, e d conseguenza l rendmento del portafoglo, abbano meda nulla. Le potes vengono sfruttate per semplfcare la msurazone del VaR, nfatt, sotto l'potes d normaltà, l VaR a un gorno s può calcolare come : VaR = ασ p W 0 (.) Per la dervazone della (.) s veda l Appendce. 7

8 α = valore crtco dervato dalle tavole della N(0,), che separa un area d probabltà d c% alla sua destra dall area complementare d (-c)% alla sua snstra; σ = devazone standard del rendmento del portafoglo; W 0 = valore nzale del portafoglo, coè valore nvestto. Intutvamente, la. afferma che, se rendment d portafoglo hanno una dstrbuzone normale N(0, σ p ), l parametro σ p è suffcente a descrvere tale dstrbuzone, e l rscho gravante sul portafoglo vene rappresentato sntetcamente con la devazone standard caratterzzante tale dstrbuzone. E' opportuno rcordare che la. vale nell'potes d orzzonte temporale d un gorno (ovvero t=), n caso contraro l lato destro della. deve esser moltplcato per t. In realtà tale estensone della. è corretta solo nell'potes d ncorrelazone temporale de rendment, che però appare accettable nel breve perodo L potes d normaltà de rendment de fattor d rscho costtusce naturalmente un approssmazone della realtà: s è nfatt rscontrato che le varabl fnanzare hanno spesso una dstrbuzone, detta leptokurtotc dstrbuton, caratterzzata da code pù spesse (fat tals) e da un pcco centrale pù accentuato (thn wast) rspetto alla dstrbuzone normale. Cò sgnfca che l approssmazone a una normale tende a sottostmare la probabltà de valor d coda, che sono quell rlevant a fn della stma del VaR. L potes d lneartà della varazone del valore d portafoglo rspetto alle varazon de fattor d rscho mplca che, data una dstrbuzone normale de rendment de fattor d rscho, anche l rendmento d portafoglo avrà una dstrbuzone normale, e la sua varanza, è suffcente a rappresentare l rscho del portafoglo. 8

9 Fg.. (a) Esposzone lneare Fg.. (b) Esposzone non lneare Utlzzando la. non è necessaro determnare tutt valor della dstrbuzone d probabltà de rendment del portafoglo, ma, assumendo che questa sa una normale, è suffcente determnare la varanza che la caratterzza (qund la devazone standard che utlzzo nella formula). Il rendmento d un portafoglo dal momento t al momento t+ è una combnazone lneare de rendment de sngol n ttol che compongono l portafoglo stesso: R n p, t+ = = w, t R, t+ (.) dove R,t è l rendmento dell -esmo ttolo n portafoglo e w,t è l peso ad esso attrbuto, n relazone alla sua ncdenza sul portafoglo. La normaltà d R p, data la normaltà de rendment de fattor d rscho, è qund garantta se esste una relazone lneare tra fattor d rscho e ttol da quest dpendent. La varanza del rendmento d portafoglo è: σ p = n = w σ + n = n j=, j w w σ j j = n = w σ + n = n j< w w σ j j (.3) o, n termn matrcal: 9

10 σ p = w' dove w è l vettore de pes e Σ è la matrce d varanza-covaranza de rendment de sngol ttol ed è costruta nel modo seguente: σ σ =... σ n w (.4) σ σ σ... n... σ n... σ n (.5) σ n dove σ è la varanza dell -esmo ttolo, e σ j è la covaranza tra l -esmo e l j-esmo ttolo. L'dea alla base de metod d stma del VaR è d stmare non la devazone standard de ttol n portafoglo, bensì quella de fattor d rscho che su ess ncdono (tasso d cambo, tasso d nteresse,...): l vantaggo derva dalla consderazone che, soprattutto per portafogl molto amp, ogn fattore d rscho ncderà verosmlmente su pù d un ttolo. Qund la matrce d varanza e covaranza che è necessaro stmare è quella de fattor d rscho. 0

11 .. Stma della matrce d varanza e covaranza La matrce d varanza e covaranza è alla base de metod analtc, ma vene normalmente utlzzata anche nel caso della smulazone Monte Carlo, che verrà trattata nel paragrafo.. Pù precsamente, nel metodo Monte Carlo è necessaro stmare parametr rchest dal processo stocastco scelto: d fatto quest comprendono normalmente varanze e covarenze de fattor d rscho consderat. Entramb quest metod s possono defnre parametrc 3, n quanto rchedono la stma d parametr, n contrapposzone alla smulazone storca, che verrà descrtta nel prossmo paragrafo. La stma d varanze e correlazon può essere effettuata alternatvamente utlzzando dat storc oppure dat dervat dal mercato. Il secondo approcco s basa sulla capactà de dervat, n partcolare delle opzon (s parla nfatt d opton-mpled data ), d fornre nformazon sull andamento de prezz d mercato: le opzon s possono nterpretare come scommesse sulla volatltà de prezz delle attvtà sottostant, qund prezz che vengono contrattat sono espressone delle aspettatve de soggett che agscono sul mercato. Nell potes d mercat effcent, la stma della volatltà basata su dat d mercato rsulta mglore rspetto a quella basata su dat storc: l problema è che spesso la gamma d opzon present sul mercato non è abbastanza ampa da fornre la stma della volatltà d tutt prezz rlevant. Generalmente vengono qund utlzzat dat storc delle varabl d nteresse per ottenere le loro stme. Esstono dverse tpologe d metod per nserre dat storc nel calcolo della stma: ) I metod cosddett nave sono pù semplc, n quanto utlzzano come stma del valore futuro d una varable semplcemente l valore della varable stessa nel perodo precedente, o al pù sommano a questo una componente espressva della varazone precedente. ) I cosddett averagng methods calcolano nvece la stma come meda de valor passat della varable che s vuole prevedere: n partcolare s utlzza n questo campo la meda moble, coè una meda calcolata su un set d valor d ampezza fssa che s sposta n modo da ncludere sempre valor pù recent, scartando n ogn perodo l valore pù veccho. In formula, la stma della varanza dell -esmo fattore d rscho per l perodo t+, data l nformazone dsponble nel perodo t, è: σ M ( ), t+ t = r, t k r M k = 0 (.6) 3 Gran parte della letteratura usa l espressone metodo parametrco per rferrs a metod analtc; tuttava anche l metodo d smulazone Monte Carlo rchede la stma d parametr: esso vene nfatt classfcato come metodo parametrco ad esempo da Drud, Generale, Majnon (997).

12 dove: M = ampezza del campone ( fnestra moble ); r,t-k = rendmento relatvo all -esmo fattore d rscho realzzato n t-k (k perod precedent); r = rendmento medo dell -esmo fattore d rscho. La covaranza tra l -esmo e l j-esmo fattore d rscho vene stmata n modo analogo: σ M = [( r, t k r )( rj, t M j, t+ t k j k = 0 r )] (.7) La stma della correlazone tra l -esmo e l j-esmo fattore d rscho s ottene po dalla nota formula: ρ j, t+ t = σ σ, t+ t j, t+ t σ j, t+ t (.8) Questo metodo ha l dfetto d trattare allo stesso modo le osservazon d dvers perod, n quanto attrbusce ad esse pes ugual, mentre dat pù recent dovrebbero nflure sulla stma d pù d quell pù vecch. 3) Sulla base d quest'ultma crtca, metod pù nuov pongono un peso maggore sulle osservazon pù recent: questo consente alla stma d segure meglo l andamento reale della varable analzzata, n quanto s ha una reazone pù rapda della stma agl shock del mercato. Inoltre, nel caso d pes dversfcat, lo shock vene rassorbto lentamente, coè, se esso ha provocato un aumento del valore della varable consderata, la stma s rduce po gradualmente mentre dmnusce l peso sull osservazone anomala ; nel caso nvece d una semplce meda moble, la rduzone della stma avvene stantaneamente, nel momento n cu l osservazone anomala esce dal campone ( roll-off effect ), e naturalmente cò avvene n rtardo rspetto alla dmnuzone vera del valore della varable. Queste tecnche d stma che assegnano pes dfferenzat alle osservazon a seconda della loro età rsolvono n qualche modo l trade-off presente nella scelta del campone per una meda moble semplce: un perodo pù lungo contene nfatt maggor nformazon, ma rende meno nfluent le osservazon pù recent, che saranno nvece verosmlmente le pù sgnfcatve a fn prevsv. I pes dfferenzat consentono nvece d consderare un campone abbastanza ampo senza rdurre l effetto delle osservazon pù recent sulla stma. Il pù generale tra quest metod è l GARCH (Generalzed Autoregressve Condtonal Heteroskedastcty), che fa dpendere la stma della varable consderata dall osservazone pù recente d questa e dalla stma precedente. Nella versone pù semplce, ovvero GARCH(,) s ha:

13 σ, t+ t = α + β( r, t r ) + δσ, t t (.9) La stma della varanza segue un processo autoregressvo, stazonaro fnchè β + δ<. Analogamente la covaranza stmata è: σ j, t+ t = α + β[( r, t r )( rj, t rj)] + δσj, t t (.0) Un altro metodo che presenta caratterstche analoghe, e anz s può vedere n pratca come caso partcolare del modello GARCH, è quello adottato dalla JPMorgan (che va sotto l nome RskMetrcs): esso rentra nella tpologa delle exponentally weghted movng average (EWMA), e la formula con cu s ottene la varanza stmata è la seguente: σ + t = λσ, t t + ( λ)( r, t r ), t (.) dove l parametro λ, detto decay factor, fornsce una msura del tempo dopo l quale ogn osservazone perde la sua nfluenza sulla stma, coè ndca l grado d persstenza delle osservazon passate: pù pccolo è λ, pù veloce è la perdta d nfluenza delle osservazon passate. In sostanza qund l fattore d decadmento msura l mportanza relatva delle osservazon passate (rassunte nella stma precedente) rspetto all ultma osservazone. In partcolare, RskMetrcs fssa l valore d λ a 0.94 per dat gornaler, e a 0.97 per dat mensl. La. esprme la stma della varanza n forma rcorsva, e potzza mplctamente d dsporre d un numero nfnto d dat storc. La forma orgnale è: σ T k, t+ t = ( λ) λ ( r, t k r ) (.) k= 0 La stma della covaranza è: σ j, t+ t = λσ j, t t + ( λ)( r, t r )( r j, t j r ) (.3) RskMetrcs potzza po che rendment abbano meda nulla, coè r = 0. Dal punto d vsta pratco, spesso quest due metod (RskMetrcs e GARCH) danno rsultat analogh. 4 La prncpale dfferenza tra due metod consste nella maggore flessbltà del GARCH rspetto al RskMetrcs: nel secondo, fssando l valore d λ a pror, s mpedsce che pes delle dverse component vengano stmat secondo procedure econometrche (come avvene nvece ne GARCH). Inoltre, qualunque sa l valore d λ, l fattore d persstenza (che ndca coè la persstenza degl shocks) rmane sempre fssato a, mentre nel GARCH vara n relazone alle 4 Dmostrazon emprche s possono trovare n Drud, Generale, Majnon (997), che hanno eseguto un test sulla performance prevsva d dvers modell: entramb metod (RM e GARCH) danno un errore moderato, soprattutto se confrontat con metod Nave. Inoltre, sul documento tecnco d RskMetrcs (pp ) v è un confronto de metod RskMetrcs e GARCH(,) che dmostra che le stme della varanza (rferta n questo caso al rendmento della sterlna nglese) tendono a sovrappors. 3

14 stme de parametr (β + δ), determnando la stazonaretà o meno delle varabl stmate (l modello rsulta non stazonaro se β + δ< )... Il "rsk-mappng" Dsponendo delle stme d varanza e covaranza per fattor d rscho che ncdono sul portafoglo, l applcazone del metodo Delta-Normal prevede una decomposzone delle attvtà fnanzare present n portafoglo n un set d strument pù semplc, espost ognuno ad un solo fattore d rscho: questa procedura è detta rsk mappng. Attraverso l rsk mappng, l portafoglo vero vene sosttuto con un portafoglo artfcale, formato da esposzon (dette poszon standardzzate) alle dverse font d rscho, equvalente al prmo nel senso che presenta la stessa sensbltà alle varazon ne valor de fattor d mercato. Un esempo può autare a charre l concetto d rsk mappng: s consder un portafoglo costtuto da un solo forward su valuta estera: esso prevede che a scadenza, tra t gorn, s rceva la quanttà Q e d valuta estera, n cambo della quanttà Q d valuta nterna. Il valore corrente del contratto è: V F Qe = S ( + r ) e t Q t ( + r ) (.4) dove: S = tasso d cambo (prezzo della valuta estera n termn d quella nterna); r e = tasso d nteresse estero; r = tasso d nteresse nterno. I fattor d rscho n questo caso sono l tasso d cambo e due tass d nteresse: usando una sere d Taylor la varazone del valore del portafoglo s può approssmare come segue: V F V r F r + V r F e r + e V S F S (.5) Mappare l portafoglo sgnfca n questo caso defnre tre poszon standardzzate X (una per ogn fattore d rscho) tal da formare un portafoglo artfcale V, costtuto dalla loro somma (V = X + X + X 3 ), che rsult equvalente al portafoglo vero V F nel senso che la varazone d V al varare de fattor d rscho possa essere utlzzata come approssmazone della varazone d V F. La varazone del portafoglo artfcale vene approssmata n modo analogo a V F : X V r r X X 3 + e + S re S r (.6) 4

15 La.6 derva dall approssmazone sulle sngole poszon standardzzate: X X X 3 X r X r e X S 3 r r e S (.7) Le X vengono scelte appropratamente mponendo la seguente condzone d equvalenza tra portafogl: V F = V (.8) coè mponendo l uguaglanza de coeffcent delle approssmazon (.5,.6): X r V = r F X VF X 3, =, r r S e e V = S F (.9) La.9 defnsce l equvalenza tra portafoglo vero e portafoglo artfcale, n quanto mpone che quest abbano la stessa sensbltà alle varazon de fattor d rscho. Il contratto forward su valuta estera corrsponde alle seguent tre poszon standardzzate: X X X 3 Q = t (+ r ) Qe = (+ r ) e Qe = ( + r ) e t t S S r r e = = S = fattore d rscho fattore d rscho fattore d rscho (.0) X è semplcemente una poszone short n uno zero coupon bond (zcb) locale d valore nomnale Q ; X è una poszone long n uno zcb d valore nomnale Q e n valuta estera; X 3 è una poszone long a pront n valuta estera: hanno la stessa espressone, ma rappresentano l esposzone al rscho d due dvers fattor. Una volta ndvduate le poszon standardzzate, le cu grandezze descrvono l portafoglo, è necessaro determnare le devazon standard e coeffcent d correlazone delle varazon de valor d tal poszon standardzzate: queste vengono rcavate dalla matrce d varanza e covaranza de fattor d rscho. Le correlazon tra le varazon de valor delle poszon standardzzate sono ugual n valore assoluto a quelle tra fattor d rscho, mentre hanno segno opposto se l valore della poszone standardzzata vara nversamente rspetto alle varazon nel 5

16 fattore d mercato assocato. Con rfermento all esempo del forward, coeffcent d correlazone tra le poszon standardzzate sono le seguent: ρ = ρr ρ ρ 3 = r s ρ3 = ρ re S Le devazon standard, nvece, sono date dal prodotto tra le devazon standard de fattor d mercato e le sensbltà delle poszon standardzzate alle varazon de fattor d rscho. Consderando ad esempo la prma poszone standardzzata, s può modfcare la.7 come segue: X % X % r r X dalla. s rcava qund: r (.) X r σ σ r (.) 5 r X che esprme la devazone standard della varazone percentuale n X approssmandola n funzone della devazone standard nel tasso d nteresse nterno. Il termne d proporzonaltà tra le due devazon standard è l elastctà della poszone standardzzata rspetto al fattore d rscho assocato: l elastctà è untara se c è lneartà. In questo caso, s può avere elastctà untara se s consdera come fattore d rscho l prezzo anzchè l tasso d nteresse. Analogamente s ottengono: X e σ σ re X X 3 S σ 3 σ S X 3 r S r e Ottenute devazon standard e correlazon per tutte le poszon standardzzate, s procede a calcolare la devazone standard dell ntero portafoglo sulla base della.3, utlzzando però le poszon standardzzate al posto delle poszon real. Con rfermento all esempo del forward s ha: σ p = Xσ + X σ + X 3σ3 + + XX ρσ σ + XX 3ρ3σ σ 3 X X 3ρ3σ σ 3 (.3) dove ρ j è l coeffcente d correlazone tra le poszon standardzzate X e X j,e ρ j σ σ j è la covaranza tra X e X j, Il VaR s ottene semplcemente moltplcando σ p per l fattore α relatvo al lvello d confdenza scelto. E da notare che l valore nzale del portafoglo, rappresentato da W 0 nella., è gà ncluso nella.3 n quanto le poszon X sono espresse n termn assolut, e non come pes delle attvtà n portafoglo come nella.3 e.4. 6

17 Il VaR s può esprmere n forma compatta come segue: VaR = α X ' ΣX (.4) dove: Σ = matrce d varanza e covaranza; X = vettore delle poszon standardzzate, coè delle esposzon a sngol fattor d rscho. Normalmente un portafoglo non concde con un sngolo ttolo, come nell esempo del forward, ma contene un numero elevato d strument d vara natura: ogn fattore d rscho nflurà però verosmlmente su dvers d quest, qund s potranno ottenere poszon standardzzate per l ntero portafoglo come somma d tutte le poszon relatve ad ogn fattore d rscho. Dato un portafoglo scomposto su n fattor d rscho, l VaR per ogn sngolo fattore è: VaR = ασ X (.5) Il VaR per l ntero portafoglo, combnando la.3 e la.5, s può scrvere nel modo seguente: VaR = α n n n VaR + = = j< VaR VaR ρ j j (.6) La procedura del rsk mappng s basa sull potes d lneartà: la varazone del portafoglo al varare de fattor d rscho vene nfatt potzzata costante. Consderando l caso generco d un portafoglo rappresentato da n poszon standardzzate X, relatve ad altrettant fattor d rscho, la varazone del portafoglo V al varare de fattor f è approssmata dalla somma delle varazon delle poszon standardzzate: V = dove: X n = X f X f (.7) (.8) con =,, n. Nella.8, l coeffcente d proporzonaltà tra le varazon del fattore d rscho e della relatva poszone standardzzata è potzzato costante rspetto al fattore d rscho stesso, coè s potzza una relazone lneare tra X. e f La stessa procedura dell esempo precedente può essere applcata ad un portafoglo costtuto da uno o pù coupon bond (cb). Il prncpo sottostante è quello d assenza d arbtraggo per cu un cb s può consderare come un portafoglo d zcb n numero par alle cedole e d valore d rmborso par 5 Il segno meno serve a rendere postva la devazone standard, dato che la dervata è n questo caso negatva. 7

18 alle medesme ad eccezone dell'ultma che nclude anche l prncpale. I valor attual d tal zcb costturebbero qund le poszon standardzzate. In questo caso fattor d rscho sono tass d nteresse (o prezz) ralatv alle dverse scadenze: sono qund tant quante sono le date su cu l cb prevede versament. Normalmente l numero d fattor d rscho utlzzat vene lmtato a tass (o prezz) pù comunemente mpegat (per qual coè sono dsponbl dat storc tal da permettere la stma de parametr qual devazon standard e correlazon), qual ad esempo tass a, 3, 6, mes e a, 3, 4, 5, 7, 9, 0, 5, 0, 30 ann. Le scadenze elencate sono cosddett vertc RskMetrcs, coè sono le scadenze mpegate nella metodologa RskMetrcs, propra della J.P.Morgan. Questa s basa sul metodo Delta-Normal, e s caratterzza per l modo n cu stma le volatltà e le correlazon, come vsto nel paragrafo... Per versament su scadenze dverse, s procede con un meccansmo d nterpolazone volto a mantenere n qualche modo l lvello d rscho. Ogn flusso fuor da vertc vene scomposto n due fluss equvalent su vertc precedente e successvo, n modo che l rscho rmanga mmutato. In questo caso le poszon standardzzate sono date dal valore attuale de nuov fluss dervat dalla scomposzone. In realtà la scomposzone de fluss su cosddett vertc va effettuata non solo per ttol obblgazonar, ma ogn volta che s trattano fluss futur la cu dsponbltà non concde con vertc. Il problema non è banale e deve esser rsolto con rcorso ad un crtero per la scomposzone de fluss: quello proposto da Rskmetrcs s basa sul prncpo d mantenere nalterata la devazone standard del flusso orgnaro (da allocare su due vertc). Per ulterore dettagl su questo crtero, s veda Rskmetrcs Techncal Document pagg. 7-. La procedure d rsk mappng s può applcare anche alle azon: l VaR d un azone è dato dal prodotto tra l suo valore corrente e la stma della volatltà del prezzo: VaR = S ασ 0 (.9) dove: S 0 = prezzo (coè valore corrente) dell azone; σ = devazone standard stmata per l prezzo dell azone. La.9 è applcable però solo se s dspone d stme d volatltà (e correlazon) de prezz d tutte le azon n portafoglo. Se s utlzza una banca dat, come ad esempo quella RskMetrcs, che fornsce stme solamente per gl ndc de mercat azonar de dvers paes, allora è necessaro mappare le azon su tal ndc, servendos del beta 6 delle sngole azon, che rappresenta la sensbltà del prezzo dell azone alle varazon delle condzon del mercato, ncorporate nel prezzo 6 Il beta dell azone è quello defnto nel modello CAPM. 8

19 assocato all ndce. La volatltà della sngola azone sarà qund data dal prodotto tra la volatltà dell ndce e l beta dell azone stessa. VaR = S 0 α( βσ ndce ) (.30) In questo modo s trascura la componente d volatltà specfca d ogn azone sulla base della potes che questo possa sempre essere dversfcato. L approssmazone lneare espressa dalla.8, mentre è generalmente accettable per la maggor parte delle attvtà fnanzare, porta a sere dstorson nella stma del rscho se applcata alle opzon o ad altr strument sml: le opzon, a dfferenza d altr dervat qual forwards, futures e swaps, sono caratterzzate da forte non-lneartà rspetto al prezzo dell underlyng, che è per entramb l fattore d rscho prncpale 7. Cò mplca che la dervata del valore dell opzone rspetto al prezzo del sottostante vara al varare d quest ultmo. Il prncpale fattore d rscho ne dervat n genere è l prezzo spot del bene sottostante, e l opzone s può vedere come frazone d una poszone spot su tale bene, che vene consderata come poszone standardzzata, quantfcata dal delta dell opzone (s parla nfatt d delta-equvalent con rfermento ad una tale poszone spot che replca l opzone). Il problema nasce dal fatto che l metodo Delta-Normal prevede l potes che l delta sa costante sull orzzonte temporale consderato, mentre l delta d un opzone vara al varare del prezzo spot del bene sottostante. Qund, n presenza d un portafoglo con una elevata componente d opzon, l metodo Delta- Normal rsulta nadeguato. Una correzone a tale metodo è data dal metodo Delta-Gamma. Esso s basa su una approssmazone del second'ordne, ovvero abbandona l potes d lneartà sosttuendola con quella d quadratctà, coè tene conto della convesstà del valore degl strument rspetto a fattor d mercato parabolco anzché lneare. Gamma msura la varazone d secondo grado, coè la varazone d Delta al varare del valore de fattor d mercato: X Γ = f = f (.3) Nella.8 vene aggunto un termne che rende pù precsa l approssmazone: varazone X = varazone f Γ ( varazone f ) (.3) Il costo d tale mgloramento è una notevole complcazone del metodo, n termn d parametr da stmare: esso è proporzonale al numero delle font d rscho a cu l portafoglo è esposto, qund l metodo è convenente solo nel caso d portafogl contenent una gamma rstretta d strument. 9

20 Il vantaggo apportato da tale correzone è molto sgnfcatvo se l perodo consderato è abbastanza lungo; per perod molto brev, nvece, l termne aggunto dventa rrlevante, mentre è accettable l approssmazone del metodo orgnaro, n quanto su un breve orzzonte temporale la varazone de fattor d mercato sarà verosmlmente abbastanza pccola. Infatt l approssmazone lneare effettuata attraverso l delta produce una dstorsone del valore dell opzone tanto maggore quanto maggore è la varazone del prezzo spot consderata: tale errore, n relazone ad una rduzone sgnfcatva del prezzo spot, può al lmte determnare un valore negatvo dell opzone, che è mpossble per la natura della stessa. Anche l metodo Delta-Gamma non fornsce comunque un approssmazone del tutto precsa: esso tende nfatt a sovrastmare l valore delle opzon (poszone long), al contraro del metodo semplce (utlzzando solo delta) che nvece lo sottostma. Per quanto rguarda le opzon, l approssmazone s potrebbe rendere anche pù precsa (senza comunque elmnare la dstorsone dervante dalla varabltà del gamma) ntroducendo nella scomposzone del valore dell opzone termn relatv ad altr tp d rscho, rappresentat da coeffcent theta, vega e rho: con l espressone the Greeks s fa rfermento a questo tpo d approssmazone. L approssmazone, lneare o quadratca che sa, permette d determnare n ogn momento la varazone del valore del portafoglo come quanttà proporzonale alle varazon ne fattor d rscho, qund rchede solamente la determnazone del valore nzale W 0 del portafoglo. E da questa caratterstca che derva l termne local valuaton, n contrasto con la full valuaton che nvece calcola le varazon del valore del portafoglo come dfferenza tra valor del portafoglo stesso relatv a lvell dvers de fattor d mercato. In sostanza, mentre la local valuaton assoca ad ogn varazone ne fattor d rscho una varazone proporzonale del valore del portafoglo, la full valuaton prevede nvece che l portafoglo venga completamente rvalutato n relazone a nuov valor de fattor d rscho. 7 Per le caratterstche de dervat, ved Hull(998). 0

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