LAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò
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1 1 LAVORO ED ENERGIA Dott.ssa Silvia Rainò
2 Lavoro ed Energia 2 Consideriamo il moto di un oggetto vincolato a muoversi su una traiettoria prestabilita, ad esempio: Un treno vincolato a muoversi sui binari. treno
3 Lavoro ed Energia 3 Possiamo applicare (separatamente) 3 forze, F 1, F 2 ed F 3. Le tre forze hanno lo stesso modulo ma formano angoli diversi con la direzione del moto. F 3 F 2 treno F 1
4 Lavoro ed Energia 4 Domanda: Con quale delle tre forze otteniamo una accelerazione maggiore? F 3 F 2 treno F 1
5 Lavoro ed Energia 5 Risposta: Con F 1 perché forma un angolo minore con la traiettoria. F 3 F 2 treno F 1
6 Lavoro ed Energia 6 Se F 1 costante durante uno spostamento d, definisco il lavoro L 1 compiuto dalla forza F 1 lungo lo spostamento d L 1 = F 1 d = F 1 d cosq treno F 1 d
7 Definizione del Lavoro di una Forza 7 Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad forza non costante. F i F 1 F N
8 Come vettorizzare la traiettoria 8 Si divide la traiettoria s in piccoli tratti s i. Ogni tratto s i viene trasformato nel vettore s i : Modulo pari a s i ; Direzione tangente alle traiettoria in ogni punto; Verso da 1 --> N, cioè il verso di percorrenza della traiettoria F j F i s j s i s 1 F 1
9 Lavoro parziale 9 Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza nel primo tratto. L 1 = F 1 s 1 = F 1 s 1 cos q Analogamente si calcolano L 2,, L i,, L N. s 1 q F 1
10 Lavoro di una Forza 10 Dati i vettori s i, con i = 1,,N Consideriamo i valori delle forze applicate al punto materiale corrispondenti: F i Importante: s i e F i sono vettori!!! L N F s i i i1 Si calcola il prodotto scalare tra il vettore F i nel tratto i-esimo, e s i e poi si esegue la sommatoria.
11 Richiamo sul prodotto scalare 11 c a b abcosq a b b a q a b b a b = proiezione di a su b
12 Interpretazione geometrica del Lavoro 12 F x Calcoliamo L i = F xi x i F Xi x i x
13 Interpretazione geometrica del Lavoro 13 F x Calcoliamo L = L i = F xi x i x
14 Interpretazione geometrica del Lavoro 14 F x Calcoliamo L = L i = F xi x i x
15 Casi Particolari 15 Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea F q x L = F x=fxcosq
16 Casi (MOLTO) Particolari Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea q = 90 F q x L =F x =Fxcos90 =0 (caso del moto di una particella carica in un campo magnetico)
17 Casi (MOLTO) Particolari Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea q = 0 F x q L =F x =Fxcos0 = Fx (lavoro motore)
18 Casi (MOLTO) Particolari Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea q = 180 F x q L =F x =Fxcos180 = -Fx (lavoro resistente)
19 Unità di Misura del Lavoro 19 L N F s i i i1 Newton metro Joule
20 Esempio 20 Mediante una corda tesa secondo una direzione formante un angolo di 20 con la direzione orizzontale un bambino tira un giocattolo trascinandolo su un pavimento per 3 m. Se la forza del bambino è F = 10 N, quanto vale il lavoro da esso compiuto? Forza: F = 10 N, Spostamento: x = 3 m Angolo tra F e x: q=20 F q 2 L = 10 N 3 m cos(20 ) = 10N 3 m 0.94 = 28.2 J x
21 Esempio 21 Una ragazza di 44 Kg scende da un albero alto 10 m. Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza peso? Dati iniziali m= 44kg h= 10 m Soluzione La forza che agisce sulla ragazza è la forza peso F= mg = 44kg9.8 m/s 2 = N Il lavoro compiuto nello spostamento h L= Fh = N10m = 4312 J Domanda: se la ragazza scende dall albero in 20 sec o in 1 minuto cosa cambia?
22 Potenza 22 La potenza esprime il lavoro erogato nell unità di tempo. P = L/t grandezza scalare Equazione dimensionale [P] = [Joule/sec] Unità di misura [Watt] = [Joule/sec]
23 Esempio 23 Una ragazza di 44 Kg impiega 20 s per scendere da un albero alto 10 m. Qual è la potenza media sviluppata dalla ragazza durante la discesa? Dati iniziali m= 44kg, h= 10 m, t=20s Soluzione Avevamo già trovato che il lavoro compiuto dalla forza peso nello spostamento h è: L= mgh = 44kg9.8 m/s 2 10m = 4312 J La potenza media sviluppata nella discesa è: P = L/t = 4312 J / 20s = W
24 Teorema dell Energia Cinetica Si consideri un punto materiale di massa m, vincolato a muoversi su una traiettoria rettilinea per un tratto x, a causa di una forza F. Il punto materiale ha una velocità iniziale v 0 ed una velocità finale v m q F
25 25 Teorema dell Energia Cinetica -2- Il lavoro compiuto dalla forza F per uno spostamento x: L=F x In un moto uniformemente accelerato vale la seguente relazione tra v e v 0 : v 2 -v 0 2 = 2a x at t v x x at v v a v v a a v v v x x a v v t x a x x a v v
26 Teorema dell Energia Cinetica L = Fx = max = m(v 2 -v 02 )/2 = mv 2 /2 - mv 02 /2 Definiamo l Energia Cinetica di un punto materiale di massa m e velocità v: Abbiamo dimostrato: E k 1 2 mv 2 L 1 2 mv mv 2 0 E k_fin E k_in ΔE k m q F
27 Teorema dell Energia Cinetica 27 In presenza di più forze agenti F 1, F 2,..F i, F N agenti sul punto materiale: L = L 1 + L L N =E K
28 Calcolo del lavoro di specifiche forze 28 Forza peso Forza elastica Forza di attrito
29 Lavoro della forza peso 29 h 2 A mg L AB = mg (h 2 -h 1 ) h 1 B
30 Lavoro della forza peso 30 h 2 A mg L AB = L AC + L CB = = mg AC cosq = mg (h 2 -h 1 ) q h 1 B mg C
31 Lavoro della forza peso 31 h 2 A In entrambi i casi L AB = mg (h 2 -h 1 ) mg h 1 B mg C
32 Lavoro della forza peso 32 h 2 A mg Anche nel caso di una traiettoria curvilinea: L AB = mg (h 2 -h 1 ) (senza dimostrazione) h 1 B mg C
33 Lavoro della forza peso 33 h 2 A mg Osservazione: il lavoro compiuto dalla forza peso sul corpo di massa m NON dipende dalla traiettoria ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale. h 1 B mg C
34 Caso generale: forza gravitazionale 34 Forza gravitazionale: F = G M Tm r 2 Forza peso: F=mg Terra r > R T Sappiamo che la forza peso rappresenta la forza con cui i corpi vengono attirati verso la Terra. Confrontando le due espressioni troviamo: g G M R T 2 T In generale il lavoro della forza gravitazionale per uno spostamento s che va da r 1 ad r 2 è indipendente dal percorso seguito.
35 Lavoro della forza elastica 35 F elas Il lavoro si calcola come area sottesa dalla curva: L= -(kx 1 +kx 2 )(x 2 -x 1 )/2= -(kx 22 -kx 12 )/2 F elas = -kx x 1 x 2 X Anche nel caso della forza elastica il lavoro compiuto dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale.
36 Richiamo forza di attrito 36 Sia dato un corpo che si muove su un piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano è d. La forza di attrito vale: F a = d N ove N è la reazione normale. y N N mg 0 N mg v d N ma F a mg y F mg d a in verso opposto al moto
37 Lavoro della forza d attrito 37 i f Un punto materiale si muove da i verso f. Caso A Tratto lungo d Caso B Tratto lungo d+h Tratto lungo h In entrambi i casi il punto materiale di massa m parte da i ed arriva in f, seguendo due percorsi diversi. Per un corpo che si muove su un piano, la forza di attrito vale: F a = d N= d mg, nella stessa direzione del piano e in verso opposto al moto.
38 Lavoro della forza d attrito 38 i f Un punto materiale si muove da i verso f Caso A Caso B Tratto lungo d Tratto lungo d+h Tratto lungo h L A = F a d= F a dcos180 = - d mgd L B = F a (d+h) + F a h= - d mg(d+h)- d mgh L A Nel caso della forza d attrito il lavoro compiuto dipende dal percorso, a parità di posizione iniziale e finale.
39 Conclusioni 39 Ci sono forze (la forza peso, la forza elastica) il cui lavoro NON dipende dal percorso (fatto compiere al punto materiale o alla estremità della molla) ma solo dal punto iniziale e finale. Altre forze (forza di attrito) il cui lavoro (fatto compiere al punto materiale) dipende anche dal percorso
40 Forze conservative 40 Forza conservativa : il lavoro compiuto è indipendente dalla traiettoria seguita, dipende solo dalla posizione iniziale e finale Forza peso e forza elastica sono forze conservative. Le forze come la forza di attrito si dicono non conservative o dissipative.
41 Definizione di Energia potenziale 41 ENERGIA POTENZIALE Per ogni forza conservativa si può introdurre una grandezza tale da esprimere il lavoro della forza dalla posizione iniziale A alla posizione finale B come DIFFERENZA dei suoi valori assunti in A e B. Tale grandezza ha il nome di Energia Potenziale E p L = -E p
42 Richiamo: Lavoro della forza peso 42 h 2 A In entrambi i casi L AB = mg (h 2 -h 1 ) mg h 1 B mg C
43 Energia potenziale (Forza peso) 43 Si definisce energia potenziale associata alla forza peso E p = mgh L = -E p = differenza tra lo stato finale e quello iniziale Pertanto il lavoro della forza peso tra il punto A iniziale ed il punto B finale, si può riscrivere nel modo seguente L AB =mgh 2 -mgh 1 =- (mgh 1 mgh 2 )= = E p (A)- E p (B) = -(E p (B)-E p (A)) = -DE p(ba)
44 Energia potenziale (Forza elastica) 44 Si definisce energia potenziale elastica E p = ½ kx 2 L kx2 kx1 1 2 Anche per la forza elastica E p( 2) Ep( 1) EP L = -E p
45 Conservazione dell Energia meccanica 45 Sia dato un sistema in cui agiscono solo forze conservative sul punto materiale. Sia γ uno spostamento da A (posizione iniziale) a B (posizione finale), valgono e seguenti relazioni : L AB = -E p L AB = E K -E p = E K -E p (B) + E p (A) = E k (B)-E k (A) E k (A) + E p (A) = E k (B) + E p (B)
46 Energia meccanica 46 Si definisce Energia Meccanica E M = E p + E k In presenza di SOLE forze conservative Principio di conservazione dell Energia Meccanica E m E k E p cost Ove E p è la somme delle varie forme di energia potenziale Se agiscono solo forze conservative, il lavoro di tali forze causa un aumento dell energia cinetica, ottenuto a spese della diminuzione di energia potenziale e viceversa, in modo tale che la somma delle due energie resti costante.
47 Riepilogo sul lavoro ed energia 47 - Definizione di lavoro ed energia cinetica - Esistenza di forze conservative (la forza peso, la forza elastica) il cui lavoro NON dipende dal percorso effettuato ma solo dal punto iniziale e finale - Introduzione di E p e E M - Per altre forze (forza di attrito) il lavoro (fatto compiere al punto materiale) dipende anche dal percorso
48 Riepilogo in formule 48 In generale per qualsiasi forza, vale il teorema del lavoro e dell energia cinetica: L = E K Per le forze conservative si può introdurre l energia potenziale: L = -E p In presenza di forze conservative l energia meccanica si conserva: E M = E K +E p = cost
49 49 Lavoro ed energia: caso generale
50 Principio generale di conservazione dell energia 50 In presenza di forze non conservative l energia meccanica non si conserva. Sia in presenza di forze conservative che non conservative vale la eelazione generale tra lavoro di una forza ed energia cinetica : L = L 1 + L L N =E K Il lavoro totale sul punto materiale = somma del contributo dato dalle forze conservative e del contributo dato dalle forze NON conservative
51 Principio generale di conservazione dell energia 51 Indichiamo con: Il lavoro totale è: L C forze conservative L NC forze non conservative L = L 1 + L L N = L C + L NC = E K Solo per le forze conservative: L C = - E p L C + L NC = E K - E p +L NC = E K L NC = E K + E p = E m Il lavoro delle forze non conservative (dissipative) è pari alla variazione di energia meccanica L NC = E M
52 Ricapitolazione 52 L = E K Forze conservative : L = -E p Forze conservative: l energia meccanica E M si conserva : E M = E K +E p = cost L NC = E M
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