Università La Sapienza - Ingegneria Informatica e Automatica. Corso di Fisica Generale: MOTI RELATIVI. A. Bosco, F. Pettazzi ed E.

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1 Univesità La Sapienza - Ingegneia Infomatica e Automatica Coso i Fisica Geneale: MOTI RELATIVI A. Bosco, F. Pettazzi e E. Fazio Consieiamo un punto mateiale P che si muove i moto abitaio all inteno i un sistema i ifeimento R (avente oigine O e vesoi i base i ˆ ', jˆ', kˆ ', anch esso mobile, i moto inipenente. Ci poponiamo i stuiae come il moto el punto P viene visto a un ossevatoe posto in un sistema i ifeimento R fisso, avente oigine O e vesoi i base iˆ, ˆ, j kˆ (vei fig. 1. Questa situazione è a esempio cioè che succee se immaginiamo che il sistema R sia un aeeo in moto, e che all inteno i questo aeeo stia volano una mosca (il punto mateiale P. Un ossevatoe a tea (il sistema i ifeimento fisso R, otato i un potente binocolo, come appesenteà il moto ella mosca? La situazione appena escitta è appesentata in figua 1: z' R' O' y' z R ( x' ' ( t P O x R y ( Fig. 1: Sistemi i ifeimento assoluto e elativo l ossevatoe si tova nell oigine O el sistema i ifeimento R (a esempio la tea, e osseva la mosca (il punto P che si muove all inteno ell aeeo (cioè nel sistema i ifeimento R il quale, a

2 sua volta, può sia taslae (l aeeo volano si sposta che uotae, cioè cambiae i oientazione (a esempio effettuano una cuva si piega su i un lato. Veiamo come appesentae tutti questi contibuti. POSIZIONE - Cominciamo con il eteminae la posizione el punto P nel sistema i ifeimento R: secono lo schema mostato nella fig. 1, la posizione assegnata alla mosca all ossevatoe sulla tea ( ( è la somma vettoiale ta la posizione ella mosca all inteno ell aeeo ( '( e la posizione ell aeeo stesso ( R ( ( = '( + R(. (1 Ognuno i questi vettoi è appesentabile meiante elle cooinate e ei vesoi i base el popio sistema i ifeimento: ( = x( ˆ i + y( ˆj + z( kˆ ; (2a '( = x'( ˆ'( i + y'( jˆ'( + z'( kˆ'( ; (2b R( = X( ˆ i + Y( ˆj + Z( kˆ. (2c VELOCITÀ - Dalla conoscenza el vettoe posizione è possibile eteminae la velocità con cui l ossevatoe vee muovesi il punto P. Infatti eivano la (1 ispetto al tempo si ottiene: v( = ( = '( + R(. (3 Sviluppiamo le eivate a secono membo. La eivata R ( t escive la velocità con cui tasla il sistema i ifeimento mobile ispetto al sistema fisso. Tale velocità viene quini appesentata con il vettoe V ( : R( = V (. (4 Nell esempio ell aeeo, questa è la velocità con cui tasla l aeeo ispetto alla tea.

3 Il calcolo ella eivata '( t è un po più elicato: esso appesenta come vaia la posizione ella mosca nel tempo. Questa posizione può vaiae sia peché la mosca si muove ento l aeeo, visto femo alla mosca stessa, sia peché, inipenentemente a quello che fa la mosca, l aeeo cambia oientazione nello spazio (attenzione: cambiae oientazione significa che l aeeo uota intono al popio cento. L aeeo nel suo moto può sia taslae che uotae. La taslazione è stata già escitta al temine V (, mente oa obbiamo appesentae la sua otazione. Quini il calcolo ella eivata '( t matematico il vettoe '( eve contemplae ue temini. Dal punto i vista stettamente è appesentato (vei eq.e (2b al pootto elle cooinate pe i vesoi che escivono l oientazione ell aeeo. Pe il calcolo ella eivata seguiamo la solita egola i eivazione pe cui la eivata i un pootto è ato alla eivata el pimo temine pe il secono non eivato più la eivata el secono pe il pimo non eivato. Petanto si otteà: la eivata el pimo temine (cioè la eivata elle cooinate el vettoe posizione ella mosca pe il secono non eivato (cioè pe i vesoi ( ˆ', ˆ', j kˆ' i non eivati: x' iˆ' + y' ˆ' j + z' kˆ', (5 più la eivata el secono (cioè ei vesoi che escivono l oientazione ell aeeo pe il pimo non eivato cioè pe le cooinate non eivate: x ' iˆ' + y' ˆ' j + z' kˆ'. (6 Il pimo temine (5 appesenta popio la velocità v '( ella mosca (cioè el punto P all inteno ell aeeo (cioè all inteno el sistema i ifeimento R. Il secono temine (6 appesenta invece come cambia l oientazione ell aeeo. La eivata ei vesoi nella (6 può essee calcolata con le fomule i Poisson (vei appenice pe le quali si può scivee, pe un qualsiasi vesoe ηˆ : ˆ η = ω ˆ η (7

4 ove ω è un vettoe assiale la cui iezione giace otogonalmente al piano iniviuato ai vettoi ηˆ e ηˆ (ta loo otogonali e il cui moulo vale ϑ ω =. Petanto, inseeno i isultati ottenuti all inteno ell eq.e (3, si ottiene l espessione finale ella velocità con cui un ossevatoe, in un sistema i ifeimento fisso, vee spostasi un oggetto che si tova in un sistema i ifeimento in movimento: v( = ( = '( + R( = v' + ω ' + V. (8 Quini la velocità v con cui un ossevatoe sulla tea (sistema i ifeimento fisso R vee muovesi una mosca (punto P è la combinazione ta la velocità v ' con cui la mosca si muove ento l aeeo, la velocità ω ' con cui veebbe vista muovesi a tea la mosca se l aeeo uotasse intono al popio cento e la velocità V i taslazione ell aeeo. ACCELERAZIONE - L acceleazione el punto P si ottiene eivano ancoa l eq.e (8 ella velocità ispetto al tempo: a( = v( = v'( + ( ω ' + V (9 Patiamo al tezo temine, che appesenta l acceleazione el sistema i ifeimento mobile (cioè l acceleazione ell aeeo: v' ( = A (10 Il secono temine consiste nella eivata el pootto vettoiale le fomule i Poisson come escitto peceentemente pe la velocità: ( ' = ' + ω = Ω ' + ω [ v' + ω '] = Ω ' + ω v' + ω ω ' ω ', e può essee calcolato con ω ' ω (11 aveno chiamato Ω il vettoe acceleazione angolae l espessione [ v' '] +ω peceentemente calcolata. ω Ω = ' e aveno sostituito al temine

5 Il pimo ei temini ella (9 v' (, si può calcolae faceno ancoa ifeimento alle fomule i Poisson e alla poceua escitta la eivata i ' [equazioni (5 (8]. Si ottiene così: v' ( = a' + ω v' (12 L espessione finale, uneno insieme le espessioni (10-(12, iventa quini: a = a' + A + Ω ' + ω ω ' + 2ω v'. (13 Il pimo temine, a ', appesenta l acceleazione che moifica il moto ella mosca (punto P ento l aeeo (ossia nel sistema mobile R. Questa acceleazione è etta acceleazione elativa, poiché escive l acceleazione che ha il punto mateiale nel sistema i ifeimento elativo cioè in moto. Il secono temine A escive l acceleazione ell aeeo ispetto alla tea. I temini Ω ', ω ω ' e 2 ω v ' sono pesenti solo se l aeeo uota uante il moto. Il temine Ω ' escive l acceleazione angolae, cioè consiea la possibilità che la otazione ell aeeo non sia costante ma acceleata, aumentano o iminueno la velocità angolae i otazione. Il temine ω ω ' è il ben noto temine i acceleazione centipeta: poiché l aeeo uota, tutti i punti inteni all aeeo seguono una taiettoia cicolae e petanto sono soggetti a una acceleazione centipeta. L ultimo temine, 2 ω v ', pene il nome i acceleazione i Coiolis e esiste solamente se il punto P possiee una velocità non nulla all inteno el sistema R e non paallela al vettoe ω (velocità angolae ell aeeo. L acceleazione assoluta el punto P è ovuta quini a cinque contibuti istinti, che possono essee agguppati a loo volta nei seguenti te temini: l acceleazione elativa a ' (ossia l acceleazione ella mosca P all inteno ell aeeo-sistema mobile, l acceleazione i tascinamento = A + Ω ' + ω ω ' (che appesenta l acceleazione el punto ello spazio ell aeeo occupato alla mosca in un ceto istante e si ottiene come somma ell acceleazione ell aeeo e ei temini ovuti alla otazione ell aeeo R a t

6 intono alla posizione occupata a ogni istante alla mosca P, e infine la già iscussa acceleazione i Coiolis a c. L espessione finale si può petanto scivee come: a = a' + a t + a c. (14 In conclusione, le (8 e (13 pemettono i escivee il moto i un punto mateiale nel sistema i ifeimento assoluto noto il moto el sistema i ifeimento mobile. Le ue elazioni ottenute appesentano un isultato geneale, in quanto non si è fatta alcuna ipotesi sul tipo i moto el punto e el sistema i ifeimento elativo. Supponiamo a esempio che la mosca P si muova all inteno el nosto aeeo R e che R tasli ispetto alla tea (sistema fisso con una ceta velocità e acceleazione ma senza viae (cambiae iezione. In tal caso la (8 si iuce a: v = v' + V, (15 al momento che i vesoi ( i ˆ'(, jˆ'(, kˆ'( non moificano la loo iezione nel tempo e che conseguentemente il vettoe ω è nullo. Anche la (13, unque, isulta in tal caso assai semplificata: si annulla infatti il temine i Coiolis, e tutti i temini in cui è pesente una otazione. Anche pe questa elazione si itova la ben nota a = a' + A. (16

7 APPENDICE Fomula i Poisson pe la eivata i un vesoe [espessione (6]. Si consiei il geneico vesoe ˆ η (, ovveo un vettoe i moulo unitaio. L unica vaiazione che tale vesoe può avee nel tempo è la sua iezione, oveno estae i moulo unitaio (cioè oveno estae un vesoe. Il vettoe ˆ η ( isulta ietto otogonalmente a η( e il suo moulo vale ϑ. Pe quanto iguaa il valoe el moulo, faceno ifeimento alla fig. 2, si vee che il moulo i ηˆ, ˆ η = ϑηˆ = ϑ ( coa aco = aggio angolo nell appossimazione i piccoli angoli alla quale si ottiene, ivieno pe popio il moulo ella eivata ˆ η ϑ =. (A1 ˆ η ( t + ϑ ηˆ ηˆ ( t Fig. 2 eivata i un vesoe Ci esta a imostae solamente che la iezione ella eivata el vesoe è otogonale al vesoe stesso. Consieiamo la eivata el pootto scalae ˆ η ˆ η : ˆ η η. (A2 ( ˆ ˆ η = 2 ˆ η = 0

8 La eivata (A2 è ienticamente nulla poiché, tattanosi i un vesoe, il suo moulo isulta sempe uguale a 1. La valiità ell espessione (A2 ci assicua che il vettoe (non più i moulo ηˆ 1 è otogonale a ηˆ mente il suo moulo è ato alla (A1. L espessione finale si ottiene intouceno un vettoe ϑ ω il cui moulo è popio e la cui ηˆ iezione giace otogonalmente al piano iniviuato a ηˆ e (i te vettoi fomano quini una tena otogonale come visualizzato in fig. 3. ω ηˆ ηˆ Fig. 3 I vettoi ηˆ ω, ηˆ e come tena otogonale. Gazie appunto all intouzione i ω, l espessione finale isulta: ˆ η = ω ˆ η come volevasi imostae.