L approccio parametrico o delle varianze-covarianze

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1 L approccio parametrico o delle varianze-covarianze Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

2 AGENDA Il VaR nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti La sensibilità delle posizioni in portafoglio ai fattori di mercato Il mapping delle posizioni di rischio Limiti e riepilogo Esercizi 2

3 La misurazione dei rischi di mercato L approccio varianze-covarianze è quello più diffuso presso le istituzioni finanziarie per la misurazione dei rischi di mercato, per una serie di motivi: semplicità in termini di onerosità dei calcoli è la versione originale dei modelli VaR presenza di una banca dati (RiskMetrics originariamente sviluppata dalla banca statunitense J.P. Morgan), che si basa sull approccio in esame Tale approccio presenta però diversi svantaggi, legati alle ipotesi teoriche alla base dell intera metodologia: la distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato; la sensibilità delle posizioni in portafoglio al variare dei fattori di mercato. 3

4 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti Data r t Data r t Data r t Data r t 1-giu-98 0,01% 6-lug-98 0,47% 10-ago-98-0,58% 14-set-98 2,03% 2-giu-98 0,21% 7-lug-98-0,23% 11-ago-98-1,32% 15-set-98 0,77% 3-giu-98-0,96% 8-lug-98 1,01% 12-ago-98 1,42% 16-set-98 0,75% 4-giu-98 1,11% 9-lug-98-0,67% 13-ago-98-0,86% 17-set-98-2,58% 5-giu-98 1,72% 10-lug-98 0,50% 14-ago-98-1,14% 18-set-98 0,12% 8-giu-98 0,17% 13-lug-98 0,07% 17-ago-98 1,95% 21-set-98 0,37% 9-giu-98 0,24% 14-lug-98 1,06% 18-ago-98 1,60% 22-set-98 0,56% 10-giu-98-0,55% 15-lug-98-0,24% 19-ago-98-0,29% 23-set-98 3,48% 11-giu-98-1,60% 16-lug-98 0,78% 20-ago-98-0,59% 24-set-98-2,22% 12-giu-98 0,39% 17-lug-98 0,23% 21-ago-98-0,95% 25-set-98 0,19% 15-giu-98-2,01% 20-lug-98-0,22% 24-ago-98 0,64% 28-set-98 0,38% 16-giu-98 0,98% 21-lug-98-1,62% 25-ago-98 0,43% 29-set-98 0,03% 17-giu-98 1,78% 22-lug-98-0,09% 26-ago-98-0,80% 30-set-98-3,10% 18-giu-98-0,07% 23-lug-98-2,11% 27-ago-98-3,91% 1-ott-98-3,06% 19-giu-98-0,52% 24-lug-98 0,09% 28-ago-98-1,49% 2-ott-98 1,63% 22-giu-98 0,24% 27-lug-98 0,57% 31-ago-98-7,04% 5-ott-98-1,41% 23-giu-98 1,46% 28-lug-98-1,50% 1-set-98 3,79% 6-ott-98-0,40% 24-giu-98 1,19% 29-lug-98-0,45% 2-set-98-0,38% 7-ott-98-1,42% 25-giu-98-0,32% 30-lug-98 1,56% 3-set-98-0,83% 8-ott-98-1,16% 26-giu-98 0,35% 31-lug-98-1,97% 4-set-98-0,86% 9-ott-98 2,57% 29-giu-98 0,47% 3-ago-98-0,74% 7-set-98 2,51% 12-ott-98 1,34% 30-giu-98-0,41% 4-ago-98-3,69% 8-set-98 2,45% 13-ott-98-0,29% 1-lug-98 1,29% 5-ago-98 0,86% 9-set-98-1,70% 14-ott-98 1,07% 2-lug-98-0,19% 6-ago-98 0,76% 10-set-98-2,62% 15-ott-98 4,09% 3-lug-98 0,47% 7-ago-98-0,02% 11-set-98 2,90% 16-ott-98 0,85% Rendimenti logaritmici giornalieri di un indice di borsa (Mib30) relativi ad un periodo di 100 giornate 4

5 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti I rendimenti sono calcolati come: t Valore dell indice al giorno t Alcuni dati riassuntivi: r ln Con una posizione lunga sul mercato azionario, in ben 12 giorni su 100 si sarebbero conseguite perdite superiori alla deviazione standard t ln S t S 1 ln S Media -0,03% Deviazione standard () 1,65% Asimmetria -0,69 Curtosi in eccesso -0,13 Numero di giorni in cui r t > 23 Numero di giorni in cui r t < - 12 Massimo 4,09% Minimo -7,04% S t t1 S S t t1 5

6 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti La distribuzione di probabilità dei rendimenti logaritmici, attraverso un grafico a istogrammi: 25 Come si vede, non è irragionevole ipotizzare che i dati in questione provengano da una distribuzione normale Effettiva Normale 0 6

7 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti La distribuzione normale si caratterizza per due soli parametri: la media e la deviazione standard. La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale x distribuita normalmente è data da: media deviazione standard 2 La funzione di ripartizione della normale (probabilità che x assuma valori inferiori o uguali ad una certa soglia u) è data da: u u x 2 N( u;, ) n 2 Tale formula è molto utile per calcolare la probabilità associata ad un livello dei rendimenti. La probabilità che r t sia inferiore a u=1,62% si dovrebbe calcolare: n x;, dx x;, 1 2 N( u;, ) N(1,62%; 0,03%,1,65%) 1 2 e 2 e dx 84,12% 2 x 2 7

8 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti E possibile calcolare le probabilità associate a una data soglia anche facendo ricorso alla distribuzione normale standard (cioè con media 0 e deviazione standard 1) ed alla sua funzione di densità cumulata N(z α ;0,1): u u N( u;, ) N ;0,1 N N( z ) Per utilizzare la funzione di densità cumulata standard è necessario sostituire u con z α : z u Utilizzare la funzione di ripartizione normale standard è vantaggioso perché essa dipende solo da α. C è quindi una corrispondenza biunivoca tra i valori di z α ed i corrispondenti livelli della probabilità, indipendentemente da μ e σ della variabile considerata u z 8

9 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti La distribuzione normale dei rendimenti consente di tradurre un livello di probabilità (α) in un fattore z, cui corrisponde una soglia massima u per r t Probabilità, N(z ) 99,99% 3,719 99,98% 3,500 99,97% 3,432 99,87% 3,000 99,90% 3,090 99,50% 2,576 99,38% 2,500 99,00% 2,326 98,00% 2,054 97,72% 2,000 97,50% 1,960 97,00% 1,881 96,00% 1,751 95,00% 1,645 93,32% 1,500 84,13% 1,000 Ad esempio la probabilità di ottenere un rendimento inferiore alla media, aumentata di tre volte la deviazione standard è pari al 99,87%; di conseguenza, la probabilità di ottenere un rendimento superiore a tale soglia è circa pari a 0,13%. 9

10 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti Se la finalità è determinare le perdite potenziali ogni posizione è esposta solo a metà degli eventi racchiusi nella sua distribuzione. Le posizioni lunghe sono esposte al rischio di rendimenti inferiori a quelli attesi (metà sinistra della distribuzione), mentre le posizioni corte sono esposte al rischio di rendimenti superiori a quelli attesi (metà destra della distribuzione). Ad esempio se si vuole isolare il α=5% di rendimenti più bassi, si sceglierà z α -1,65 e quindi il valore soglia è u= +z 0,03% 1,65 1,65% 2,69% Si tratta dunque della massima perdita probabile, in un arco di tempo pari a un giorno (gli r t sono giornalieri), al livello di confidenza 1-α del 95%. Var al 95% 10

11 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti =N(z )=5% (probabilità) Il VaR è stato espresso in termini di perdita percentuale: per conoscere la perdita assoluta sarebbe sufficiente moltiplicarlo per il valore di mercato, VM, del portafoglio di azioni del Mib30 posseduto dalla banca VaR 95% =-2,72% uz 2,69% (soglia) =E(r t )=+0,03% (rendimento atteso) 11

12 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti L approccio varianze-covarianze viene sovente utilizzato ipotizzando che i rendimenti dei fattori di mercato abbiano media nulla Con riferimento a orizzonti temporali giornalieri, studi empirici dimostrano che la miglior previsione del rendimento futuro non è il rendimento medio storico ma un valore nullo Poiché i rendimenti passati non sono indicativi dei rendimenti futuri, è più ragionevole affidarsi a stime indipendenti dai dati storici. Si può quindi imporre uguale al tasso risk-free o, per orizzonti temporali brevi, si può ipotizzare che sia pari a zero Anche se si ritiene media μ diversa da zero, ci si può concentrare solo sulla perdita inattesa In ogni caso u diventa u 0 z z z 12

13 Il Var nell ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti Nel nostro esempio (slide 10-11), ipotizzando una media nulla si ottiene: u 0 z z 1,641,65% 2,72% Se VM fosse pari a 1000 euro, il VaR al 95% sarebbe 27,2 euro In generale il VaR è così ottenibile: VaR VM z VM z Il VaR è quindi il prodotto di tre elementi: 1. il valore di mercato della posizione (VM); 2. un fattore scalare z che consente di ottenere una misura di rischio corrispondente al livello di confidenza desiderato; 3. la volatilità stimata dei rendimenti del fattore di mercato (). 13

14 La scelta del livello di confidenza Si è visto che maggiore è l'intervallo di confidenza 1-α, maggiore risulta essere z α e, a parità di altre condizioni, il valore a rischio Se la banca si dota di una quantità di capitale proprio pari al VaR, un livello di confidenza elevato implica ovviamente un grado di protezione maggiore Minor probabilità di ottenere perdite superiori al capitale La variabile critica nella scelta dell'intervallo di confidenza è il grado di avversione al rischio della singola istituzione finanziaria. Maggiore l avversione al rischio, più sarà elevato z α Tale scelta condurrà a scartare numerose alternative di investimento, caratterizzate da un VaR eccessivo rispetto al rendimento atteso e il premio al rischio richiesto dagli azionisti sarà minore 14

15 La scelta del livello di confidenza Un interessante modalità di determinazione dell intervallo di confidenza è quella proposta dalla Bank of America e riconosciuta dagli organi di vigilanza Bank of America ha deciso di detenere una quantità di capitale, quantificata attraverso un modello VaR, sufficiente per preservare il proprio rating AA3 (probabilità annua media di insolvenza = 0,03%) Classe di rating Moody s Probabilità di insolvenza a 1 anno () Livello di confidenza (1-) Aaa 0,001% 99,999% Aa1 0,01% 99,99% Aa2 0,02% 99,98% Aa3 0,03% 99,97% A1 0,05% 99,95% A2 0,06% 99,94% A3 0,09% 99,91% Baa1 0,13% 99,87% Baa2 0,16% 99,84% Baa3 0,70% 99,30% Ba1 1,25% 98,75% Ba2 1,79% 98,21% Ba3 3,96% 96,04% B1 6,14% 93,86% B2 8,31% 91,69% B3 15,08% 84,92% Il livello di confidenza sarà quindi pari a 99,97% e z α sarà 3,43 Livelli di confidenza impliciti nelle probabilità di insolvenza a un anno relative alle diverse classi di rating 15

16 Rating (Standard & Poor's) Rischio e valore nelle banche La scelta del livello di confidenza Le banche caratterizzate da un rating migliore dovrebbero dotarsi, a parità di altre condizioni, di maggiore patrimonio AAA AA+ AA AA- A+ A Santander Bnp BoS SG ING Natixis HSBC BBVA Intesa SP HBOS Calyon RBS Lloyds Deutsche Unicredit Commerz Rabobank 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 Tier 1 capital Come si vede dalla figura a fianco tale relazione vale per i principali gruppi bancari europei non in modo esatto Il giudizio delle agenzie di rating può essere influenzato anche da altre variabili (ad esempio, le aspettative circa un possibile sostegno pubblico in caso di crisi) 16

17 La scelta dell orizzonte temporale di riferimento Per la scelta dell'orizzonte temporale devono essere presi in considerazione tre fattori: 1. il grado di liquidità del mercato di riferimento della singola posizione. Il VaR rappresenta una perdita massima solo se la posizione può essere ceduta entro l orizzonte di rischio 2.la dimensione della posizione assunta. La possibilità di liquidare un investimento senza subire perdite dovute all ampliamento del bid/ask spread dipende anche dalla sua dimensione 3.holding period della singola posizione. Le posizioni di trading devono essere valutate con un orizzonte temporale più breve delle posizioni considerate di investimento 17

18 La scelta dell orizzonte temporale di riferimento La stima della volatilità per intervalli di tempo prolungati comporta problemi dovuti alla scarsità di dati. Ad esempio per un orizzonte temporale di un anno occorrerebbe un campione sia sufficientemente ampio di 20 o 30 osservazioni annuali. Impossibilità di reperire i dati o scarsa significatività degli stessi È possibile utilizzare la volatilità giornaliera per stimare la volatilità di periodi più prolungati, ipotizzando che i rendimenti giornalieri r g siano variabili 2 casuali indipendenti e identicamente distribuite, con media g e varianza g T r T r g g1 Rendimento relativo a un periodo di T giorni, distribuito normalmente con 2 media e varianza T T g 2 T T g La deviazione standard è quindi T g T 18

19 La scelta dell orizzonte temporale di riferimento La volatilità mensile può essere ottenuta da quella giornaliera: T G 22 giorni di mercato aperto Tale formula è basata sull ipotesi di indipendenza seriale dei T rendimenti giornalieri, cioè la variazione verificatasi il giorno t è indipendente da quella relativa al giorno t-1 e non influenza quella relativa al giorno t+1 Spesso le variazioni dei fattori di mercato sono caratterizzate da un fenomeno di autocorrelazione, in particolare nelle fasi di tensione dei mercati, per diversi motivi: 1. in caso di fluttuazioni fra quotazioni denaro e lettera, si può registrare una correlazione seriale negativa, senza che il prezzo di equilibrio subisca alcuna variazione; 2. discontinuità nelle negoziazioni (correlazione positiva); 3. i fattori strutturali di alcuni mercati influenzano il modo in cui le informazioni si riflettono nei prezzi. 19

20 La scelta dell orizzonte temporale di riferimento Volatilità giornaliera Volatilità settimanale Volatilità mensile S&P Mib Effettiva 0.73% 1.54% 2.69% Stimata 1.63% 3.24% Errore -0.09% -0.55% CAC40 Effettiva 0.86% 1.74% 2.78% Stimata 1.92% 3.65% Errore -0.18% -0.86% S&P500 Effettiva 0.69% 1.42% 2.12% Stimata 1.53% 2.97% Errore -0.12% -0.85% FTSE100 Effettiva 0.69% 1.41% 2.04% Stimata 1.54% 2.96% Errore -0.13% -0.92% Verifica basata sulle ultime quotazioni giornaliere (corrette per gli split e i dividendi) disponibili al 1 giugno 2007 Nella tabella sono riportate le stime della deviazione standard giornaliera, settimanale e mensile relative ai rendimenti di cinque indici azionari nel biennio Vengono stimate le deviazioni standard settimanali e mensili sulla base dei dati di rendimento settimanali e mensili e le si confronta con quelle ottenute dalla volatilità giornaliera I risultati sono accettabili per quanto riguarda la volatilità settimanale, gli errori sono più evidenti nel caso della volatilità mensile 20

21 La sensibilità delle posizioni ai fattori di mercato Il fattore di rischio può non coincidere con il rendimento di portafoglio e la sensibilità delle variazioni di valore della posizione al fattore di mercato può non essere unitaria. Il VaR è quindi: VaR VM z VaR VM z VM z 1 Se è positivo coefficiente rappresentativo della sensibilità del valore di mercato della posizione a variazioni del fattore di mercato 21

22 La sensibilità delle posizioni ai fattori di mercato: un esempio Misuriamo il VaR di una posizione in buoni del Tesoro decennali con valore nominale pari a 1 milione di euro e prezzo pari a 105 Utilizziamo come fattore di mercato (r t ) le variazioni giornaliere assolute (non logaritmiche) del tasso interno di rendimento (yield to maturity, y) dei titoli di Stato decennali (Δy) In realtà normalmente le banche usano come fattore di rischio l intera curva dei tassi zero coupon Livello di confidenza selezionato = 99% α=1% z α = 2,326 Volatilità del tasso interno di rendimento σ Δy = 0,15% VM VM DM y * Una variazione di Δy si trasmette al valore della posizione attraverso la duration modificata 22

23 La sensibilità delle posizioni ai fattori di mercato: un esempio Il VaR della posizione è quindi: VaR VM DM z y VM DM z y VaR ( 7) 0,15% ( 2,326) ,15 Il coefficiente di sensibilità δ è dato da DM, cioè dalla duration modificata cambiata di segno Questa misura di rischio non solo riflette la sensibilità del prezzo dei titoli a variazioni dei tassi di interesse, ma anche la volatilità di tali variazioni. 23

24 Il VaR di portafoglio È necessario tenere conto non solo delle volatilità dei singoli rendimenti, ma anche delle covarianze Ipotizzando che ogni i-esima posizione risenta di un diverso i-esimo fattore di mercato, la variazione percentuale del valore di tale posizione sarà: La sua volatilità sarà: VM VM i i vm i r i i vm i i i La covarianza sarà invece: 2 vm, vm i, j vm vm i, j i i j j i j i j 24

25 Il VaR di portafoglio Consideriamo un portafoglio P comprendente N posizioni, dove VM i è la consistenza della i-esima posizione N VM VM vm P i i i1 variazione percentuale varianza N N 2 2 VM VM i VM j vm, vm i1 j1 P i j N N 2 VM VM P i VM j i, j i i j j i1 j1 deviazione standard delle variazioni (assolute) di valore del portafoglio P N N VM VM VM P i j i, j i i j j i1 j1 Poiché i fattori di rischio sono, per ipotesi, distribuiti normalmente, anche la variazione di valore del portafoglio è distribuita secondo una normale 25

26 Il VaR di portafoglio Il VaR associato ad un certo livello di confidenza c può dunque essere ricavato moltiplicando per un opportuno z α : VM P In presenza di delta negativi: N N 2 P VM P i j i, j i i j j i1 j1 N N N N VaRP z VM VaR z z VM VM VM z VM z VaR VaR i, j i i i j j j i, j i j i1 j1 i1 j1 VaR VaR VaR N N i j P i, j i j i1 j1 i j Se tutti i fattori di rischio fossero perfettamente correlati il VaR complessivo coinciderebbe con la somma dei VaR individuali. Dato che ρ i,j 1 VaR P N VaR i1 i Il VaR calcolato con l approccio parametrico è una misura di rischio subadditiva. P 26

27 Il VaR di portafoglio Un esempio Si supponga di voler stimare il VaR connesso a due posizioni in valuta, una lunga in dollari USA ( 50 milioni ) e una corta in yen giapponesi ( 10 milioni). Volatilità dei tassi di cambio EUR/USD ed EUR/YEN pari a 2% e 3%, coefficiente di correlazione 0,6 VaR della posizione lunga in dollari in milioni di euro (livello di confidenza 99.5%): VaR USD VM USD USD z USD ,576 2% 2,576 VaR della posizione corta in yen in milioni di euro (livello di confidenza 99.5%): VaR YEN VM YEN YEN z YEN 10 ( 1) ( 2,576) 3% 0,773 δ = -1 perché, essendo una posizione corta, un aumento del fattore di mercato, ossia un apprezzamento dello yen, conduce ad una perdita 27

28 Il VaR di portafoglio Un esempio VaR di portafoglio: VaR P 2,576 2 ( 0,773) 2 22,576( 0,773) 0,6 2,201 Si tiene in esplicita considerazione il segno delle due posizioni. Infatti se l euro si apprezza sul dollaro, creando una perdita, è probabile (il coefficiente di correlazione è positivo) che l euro si apprezzi anche rispetto allo yen, mitigando la perdita su dollari. Il terzo termine sotto radice, quello legato alla covarianza tra guadagni/perdite sulle due posizioni, è infatti negativo 28

29 Approccio delta-normal e asset-normal L approccio delta-normal parte dalla distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato e la collega alla distribuzione delle variazioni di valore delle posizioni in portafoglio attraverso opportuni coefficienti di sensibilità lineari v 1 VaR 1 2 VaR 2 N VaR N 1 2 N Vettore dei VaR relativi alle singole posizioni Matrice delle correlazioni fra i rendimenti dei fattori di mercato VaRP vcv C 1 N 2,1,1 1, , N 2, N 1 VaR di portafoglio 29

30 L approccio delta-normal e asset normal La distribuzione di probabilità delle variazioni di prezzo delle posizioni in portafoglio risulta normale, ed il VaR può essere calcolato utilizzando un opportuno multiplo a della deviazione standard Alternativamente è possibile utilizzare come fattori di rischio esclusivamente le variazioni logaritmiche dei prezzi delle attività finanziarie presenti nel portafoglio Ciò equivale a imporre che i prezzi delle attività in portafoglio seguano una distribuzione lognormale È l approccio asset normal seguito da RiskMetrics 30

31 L approccio delta-normal e asset normal Nell approccio asset-normal, nel caso ad esempio di una posizione in bond, si dovrebbe utilizzare come fattore di rischio non le variazioni dello yield to maturity, bensì le variazioni logaritmiche del prezzo dell obbligazione sul mercato secondario Non viene così utilizzato alcun coefficiente delta per calcolare il VaR Rispetto all approccio delta-normal, l approccio asset-normal presenta il vantaggio di semplificare l analisi, limitandosi a considerare come fattori di rischio i rendimenti unitari delle diverse posizioni 31

32 Il Mapping delle posizioni a rischio Può accadere che il valore di mercato delle posizioni sia funzione di più variabili di mercato Ad esempio nel caso di una banca tedesca che acquista un Treasury bond decennale statunitense. Il valore della posizione dipende da: tasso di cambio EUR/USD livello dei tassi di rendimento del dollaro La stima del VaR nell approccio varianze-covarianze prevede che le singole posizioni vengano scomposte in componenti elementari, tali che il loro valore dipenda dalle variazioni di un solo fattore di mercato. Il rischio dell intera posizione viene poi determinato aggregando i rischi delle componenti elementari sulla base delle correlazioni 32

33 Il Mapping dei titoli obbligazionari in valuta POSIZIONE La banca è esposta al rischio di cambio e al rischio di tasso sui dollari POSIZIONI ELEMENTARI: una banca tedesca investe 100 milioni di euro in un obbligazione in dollari USA avente duration modificata pari a 7 anni una posizione a pronti (in contanti) in dollari per un milione di euro una posizione in obbligazioni USA priva di rischio di cambio I VaR delle due posizioni, immaginando che la volatilità delle variazioni del tasso di cambio EUR/USD sia pari al 2% e che il tasso d interesse in dollari abbia una volatilità del 1%: 1 VM z 10012,5762% 5,152 VaR VM ( MD) 100 ( 7) ( 2,576) 1% 18, 031 VaR 2 z 33

34 Il Mapping dei titoli obbligazionari in valuta Immaginando una correlazione positiva pari al 30% VaR P E possibile dare una spiegazione più rigorosa dell equivalenza tra l investimento in un obbligazione in valuta e le due componenti elementari Il valore di mercato di una posizione di questo tipo rappresenta una funzione di due variabili: FX (il tasso di cambio euro/dollaro) e y (yield to maturity sulle obbligazioni in dollari) VM f ( FX, y) Le variazioni di valore della posizione sono approssimabili, linearmente, con un espansione in serie di Taylor di primo grado: VM 2 2 5,152 ( 18,031) 2 5,152( 18,031) 0,3 17, 202 f FX FX f y y VaR della posizione f FX FX FX FX f y y 34

35 Il Mapping dei titoli obbligazionari in valuta f FX VM FX la sensibilità di una posizione in valuta a variazioni percentuali nel tasso di cambio è data dal controvalore della posizione espresso in valuta stranera f y VM Vale quindi che: dvm DM VM FX FX FX FX la sensibilità di una posizione in obbligazioni alle variazioni nel tasso d interesse è data dal valore di mercato, cambiato di segno, moltiplicato per la duration VM DM r VM FX FX VM DM y Le componenti in cui la variazione di valore su un obbligazione è scomponibile corrispondono, in definitiva: alla variazione di valore su una posizione in valuta estera per contanti alla variazione di valore su una posizione in obbligazioni USA detenuta da un intermediario statunitense 35

36 Il Mapping delle posizioni in valuta a termine POSIZIONE La banca è esposta a 3 diversi fattori di mercato: il tasso di cambio a pronti e i tassi di interesse delle due valute relativi alla scadenza dell operazione a termine POSIZIONI ELEMENTARI: 3. Un acquisto di dollari a pronti, che annulla i flussi delle prime due operazioni una banca francese acquista un milione di dollari a 6 mesi 1. Un indebitamento in euro con scadenza pari a 6 mesi, che produce un uscita a termine di 1 milione di euro 2. Un investimento in dollari che produce a 6 mesi il capitale di 1 milione di dollari Tasso di cambio a pronti euro/dollaro (S) 0,8 Tasso di interesse sull euro a 6 mesi (i d ) 3,50% Tasso di interesse sul dollaro a 6 mesi (i f ) 2,00% Tasso di cambio euro/dollaro a 6 mesi (F T ) 0,806 Dati delle variabili mercato Correlazione con Volatilità Fattore di mercato EUR/USD id if Tasso di cambio spot EUR/USD* 3% 1-0,2 +0,4 Tasso di interesse EUR a 6 mesi (i d )** 1,5% -0,2 1 +0,6 Tasso di interesse USD a 6 mesi (if)** 1,2% +0,4 0,6 1 *variazioni logaritmiche; **variazioni assolute 36

37 Il Mapping delle posizioni in valuta a termine Il valore delle tre componenti elementari in cui può essere scomposto l acquisto di dollari a termine è il seguente: 1) VM dollari 1 0,020,5 2) VM VM S , euro 2 1 3) VM VM dollari 3 1 Il VaR connesso alle singole componenti elementari è il seguente: VaR ( 0,490) ( 2,326) 1,2% VaR ,483( 2,326) 1,5% VaR ( 2,326) 3%

38 Il Mapping delle posizioni in valuta a termine La prima posizione ha delta negativo, perché un investimento vale di meno in presenza di un rialzo dei tassi, mentre la seconda e la terza hanno delta positivo Il primo e il terzo valore sono espressi in dollari, e devono dunque essere convertiti in euro al tasso a pronti ottenendovar 1 = e VaR Il VaR complessivo è quindi: VaR P VaR VaR VaR 2 VaR ( VaR ) ,2 2VaR VaR 2 ( VaR ) VaR 1 3 1, , ( ) ( ) ( 0.2) Posizione VM z i Duration DM VaR Investimento USD ,20% 2,326 2,00% 0,5 0, Indebitamento EUR ,50% 2,326 3,50% 0,5 0, Acquisto USD a pronti ,00% 2,

39 Il Mapping dei forward rate agreements POSIZIONE È un contratto che obbliga una controparte a versare, tra tre mesi, la somma di 1 milione di euro all altra controparte, che si impegna a restituirla, tre mesi dopo, maggiorata di interessi al tasso forward concordato POSIZIONI ELEMENTARI: un FRA a tre mesi di 1 milione di euro con decorrenza tra tre mesi, sottoscritto il primo agosto 2007, tasso forward 5,136% Montante finale: * (1 + 0,05136 * 92/365) = euro 1. Debito a tre mesi con montante finale pari a un milione di euro 2. Investimento per sei mesi del capitale ottenuto dall operazione sub 1 In generale, se il FRA decorre al tempo f e termina al tempo m, è possibile mapparlo in due componenti elementari date da un debito da oggi a f, il cui montante corrisponde al capitale investito nel FRA un investimento da oggi a m, il cui montante corrisponde al montante del FRA 39

40 Il Mapping dei forward rate agreements 1m 1,013m 1,013m investimento m f m debito Immaginando che i tassi spot a tre e a sei mesi siano pari, rispettivamente, al 5% e al 5,10% su base semplice, le componenti elementari saranno: Flussi di cassa 1. Debito 2. Investimento = FRA tasso 5,00% 5,10% durata (gg) oggi 01/08/ f 01/11/ m 01/02/ Per calcolare il VaR del FRA sarà necessario calcolare VaR 1 e VaR 2 e combinarli conoscendo la correlazione storica tra le variazioni del tasso spot a tre mesi (primo fattore di rischio) e quelle a sei mesi (secondo fattore di rischio) 40

41 Il Mapping delle posizioni in titoli azionari Una posizione azionaria presenta un valore di mercato sensibile a un solo fattore: il prezzo del titolo Considerando ogni singolo prezzo azionario come un fattore di rischio si otterrebbe, nel caso di un portafoglio, un elevato numero di fattori di mercato dei quali stimare volatilità e correlazioni. Le posizioni vengono aggregate sulla base della comune sensibilità a un unico fattore di mercato La singola posizione in un titolo azionario viene ricondotta a una posizione virtuale nei confronti del relativo mercato di borsa La posizione i-esima viene mappata al relativo mercato azionario j-esimo sulla base del proprio coefficiente beta * VM i VM i i, j Valore della posizione virtuale sull indice di borsa associata al valore di mercato VMi della posizione effettiva nel titolo i-esimo 41

42 Il Mapping delle posizioni in titoli azionari ll VaR relativo alla posizione nel titolo azionario i-esimo diventa quindi: VaR i VM i Coefficiente di sensibilità i, j Aggregando tutti i titoli quotati sul mercato j, si ha: * VM j VM i VM i i, j i j i j VaR j VM j z j z z j Per valutare vantaggi e limiti di questa metodologia di mapping, nella slides successive verrà calcolato il VaR di un portafoglio sia utilizzando il mapping che considerando come fattori di rischio i titoli stessi componenti il portafoglio i j j VM * i z Deviazione standard delle variazioni (logaritmiche) dell indice del mercato posizione virtuale complessiva VM i i, j VaR complessivo j 42

43 Il Mapping delle posizioni in titoli azionari Il livello di confidenza selezionato per l esempio è 99%, a cui si associa uno z α = 2,326 Dati relativi a volatilità e correlazioni dei singoli titoli Titolo A Titolo B Titolo C Indice Portafoglio Valore di Mercato ( m) Beta 1,4 1,2 0,8-1,067 Posizione virtuale nell indice ( - m) Volatilità 15,0% 12,0% 10,0% 7% - Correlazioni tra rendimenti logaritmici Titolo A 1 0,5 0,8 Titolo B 0,5 1 0 Titolo C 0,

44 Il Mapping delle posizioni in titoli azionari Calcoliamo ora il VaR nelle due modalità (in milioni di euro) ij Con mapping VaR z VM 2,3260,0748 7, 817 Senza mapping j j i i, j VaR P VaR 2 A VaR 2 B VaR 2 C 2 VaR AVaR B A, B 2VaR AVaR C A, C 2VaR BVaR CB, C 9,589 Il VaR ottenuto applicando la metodologia di mapping ( ) risulta inferiore a quello fondato sulle volatilità dei rendimenti dei singoli titoli e sulle relative correlazioni ( ). VaR dei singoli titoli VaR del portafoglio Titolo A Titolo B Titolo C Con il mapping Con volatilità e correlazioni 3,490 4,187 4,653 7,817 9,589 44

45 Il Mapping delle posizioni in titoli azionari La tecnica mapping descritta si fonda sull ipotesi che la variabilità del rendimento di ogni singolo titolo azionario possa essere interamente spiegata dalla variabilità del rendimento dell indice di mercato il rischio di un titolo azionario è dato dal solo rischio sistematico il rischio sistematico può essere colto adeguatamente mediante il beta, cioè tramite un modello unifattoriale quale il CAPM Possibili errori di stima nel caso in cui: Il portafoglio in esame abbia un limitato numero di i titoli (la diversificazione non è sufficiente a eliminare il rischio specifico dei titoli) Il rischio sistematico di un titolo azionario è più correttamente colto da un modello multifattoriale come l APT 45

46 Il Mapping dei titoli obbligazionari Il rischio di un titolo obbligazionario può essere modellato utilizzando lo Yield to Maturity come unico fattore di rischio (coefficiente di sensibilità duration modificata) Una banca che detiene nel proprio portafoglio molte obbligazioni dovrebbe dunque utilizzare un numero assai elevato di fattori di rischio Normalmente le banche preferiscono non utilizzare come fatto di rischio i tassi interni di rendimento, bensì i tassi zero coupon legati ad un insieme predeterminato di scadenze, che rappresenta la term structure Ciò significa che un Treasury bond va scomposto nei suoi flussi di cassa elementari che vanno successivamente tradotti (clumping), in flussi di cassa fittizi associati ai nodi della term structure. 46

47 L approccio varianze-covarianze: riepilogo e principali limiti L approccio parametrico ipotizza che le variazioni dei fattori di rischio siano distribuite secondo una normale con varianza nulla e volatilità stabile nel tempo; nell approccio asset normal tale ipotesi è applicata direttamente alle variazioni dei prezzi Le variazioni di valore delle posizioni vengono derivate da quelle dei fattori di rischio attraverso coefficienti lineari (delta) le posizioni complesse vengono suddivise in componente elementari tramite le tecniche di mapping Le variazioni di valore di un portafoglio di posizioni e/o componenti elementari sono ottenute in modo parametrico, utilizzando la matrice delle correlazioni tra le variazioni dei fattori di rischio. Di conseguenza anche il VaR è ottenuto in modo parametrico, moltiplicando la deviazione standard per un coefficiente z α 47

48 % di casi Rischio e valore nelle banche L approccio varianze-covarianze: riepilogo e principali limiti azioni tassi materie prime cambi 1. Fattori di rischio: Sono definiti come variazioni dei prezzi (asset normal) come variazioni nelle variabili di mercato (delta normal) e la loro distribuzione è ipotizzata normale. 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Variazioni di valore del portafoglio (euro, valore centrale) I limiti di tale approccio sono 3: 2. Portafoglio: 3. Misure di rischio: Le singole posizioni vengono mappate ai fattori di rischio sulla base di flussi di cassa virtuali e di coefficienti lineari (delta). Il rischio di portafoglio è stimato in base alla matrice delle correlazioni Il VaR è generato rapidamente come multiplo ( z ) della deviazione standard. Ipotesi di indipendenza seriale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato Linearità dei profili di payoff delle posizioni di rischio Distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato 48

49 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale Le distribuzioni empiriche dei rendimenti presentano generalmente delle code più spesse ("fat tails") di quelle di una distribuzione normale. leptocurtosi La probabilità che si verifichino variazioni di prezzo lontane dal valore medio è più elevata di quella implicita in una distribuzione normale Le variazioni di prezzo delle attività finanziarie sono distribuite in modo non perfettamente simmetrico: negative skewness Si possono riscontrare più osservazioni all estremo sinistro della distribuzione rispetto che all estremo destro Il problema delle fat tails è forse il più serio fra quelli menzionati: La probabilità di conseguire perdite superiori al VaR parametrico calcolato, ad esempio, con livello di confidenza del 99% è in realtà superiore all 1%. 49

50 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale In ogni caso i rendimenti di un portafoglio diversificato il cui valore dipende da un numero elevato di fattori di mercato fra loro indipendenti sono comunque distribuiti secondo una normale I fattori di mercato però non sono, in generale, indipendenti e tendono a muoversi in modo correlato Soluzioni sostituire la distribuzione normale con altre distribuzioni, ad esempio con la distribuzione t di Student e le misture di normali le misure di VaR parametriche basate sulla normale vengano corrette per tenere conto della skewness e della curtosi della distribuzione empirica dei rendimenti 50

51 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale La distribuzione t di Student è caratterizzata da code più spesse rispetto alla distribuzione normale Migliore approssimazione dei movimenti del mercato La distribuzione t di Student è una distribuzione con media zero, varianza unitaria, interamente definita da un parametro ν, denominato gradi di libertà, che controlla il grado di leptocurtosi. Livello di confidenza c Minori sono i gradi di libertà, maggiore è lo spessore delle code Percentili associati al livello di confidenza t di Student con v gradi di libertà v = 10 v = 9 v = 8 v = 7 v = 6 v = 5 v = 4 Normale standard, z c 99,99% 3,72 6,21 6,59 7,12 7,89 9,08 11,18 15,53 99,50% 2,58 3,58 3,69 3,83 4,03 4,32 4,77 5,60 99,00% 2,33 3,17 3,25 3,36 3,50 3,71 4,03 4,60 98,00% 2,05 2,76 2,82 2,90 3,00 3,14 3,36 3,75 97,50% 1,96 2,63 2,69 2,75 2,84 2,97 3,16 3,50 95,00% 1,64 2,23 2,26 2,31 2,36 2,45 2,57 2,78 90,00% 1,28 1,81 1,83 1,86 1,89 1,94 2,02 2,13 A parità di media e deviazione standard, una distribuzione t di Student produce stime di VaR più elevate di quelle di una distribuzione normale 51

52 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale Un'altra distribuzione di probabilità alternativa alla normale è la combinazione di più distribuzioni normali ( mixture of normals ), caratterizzate dalla medesima media ma con varianze differenti La mistura di normali risulta idonea per catturare gli eventi eccezionali o estremi che una sola distribuzione normale non coglie adeguatamente, E possibile utilizzare due distribuzioni normali, entrambe a media nulla, la 2 prima con varianza modesta ( ), la seconda con varianza assai più elevata ( > ). 2 1 Risolve il problema delle fat-tails Per ottenere la mixture of normals si attribuisce alle due distribuzioni una probabilità, attribuendo ai rendimenti del fattore di mercato una diversa probabilità di essere estratti da una delle due distribuzioni 52

53 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale r Probabilità che il rendimento sia estratto dalla prima distribuzione p r ( 1 p) r 1 2 Probabilità che il rendimento sia estratto dalla seconda distribuzione Variabile distribuita come normale a media zero e varianze pari Variabile distribuita come normale a media zero e varianze pari Distribuzione mista che considera adeguatamente gli eventi estremi caratterizzati da una bassa probabilità di accadimento La volatilità delle variabili finanziarie risulta influenzata da due tipi di fattori Fattori strutturali: incidono in modo permanente sul livello di volatilità Fattori ciclici influenzano più raramente il livello della volatilità: ad esempio i fenomeni di stacco dei dividendi 53

54 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale Alternativamente si può correggere le misure di VaR basate sulla normale, per renderle più coerenti con la distribuzione empirica dei rendimenti r Il percentile z a viene corretto come segue: Metodologia originariamente proposta da Cornish & Fisher nel z z z 1 S z 3z K 2z 5z S S * skewness n r 3 i r r 4 i r i1 s 3 ( n1) K n i1 3 4 s ( n1) deviazione standard campionaria excess kurtosis la media (campionaria) dei rendimenti) 54

55 Limiti: l ipotesi di distribuzione normale Considerando i dati della slide 4, il VaR al 99% è: VaR z 2,331,65% 3,85% I dati sono caratterizzati da una skewness negativa, -0,69 e un excess kurtosis positivo 2,87. Correggendo z a si ottiene: ,33 2,33 1 ( 0, 69) 2,33 32,33 2, * z ,33 5 2,33 ( 0,69) 2 3,32 36 Il VaR al 99% diventa: VaR * z 3,321,65% 5,50% 55

56 Limiti: l indipendenza seriale dei rendimenti dei fattori di mercato La volatilità dei rendimenti giornalieri può essere utilizzata per stimare la volatilità di orizzonti di rischio più prolungati, moltiplicando la prima per la radice quadrata del numero di giorni compresi nel nuovo orizzonte di rischio. Questa soluzione è corretta se si assume che l evoluzione dei fattori di mercato sia rappresentata da un moto browniano geometrico: ds S t t variazione istantanea percentuale del fattore di mercato dt dw t variazione infinitesimale del tempo un processo di Wiener, ossia una variabile aleatoria normale con media nulla e varianza pari a dt Volatilità del fattore di mercato tasso di variazione annuo atteso del fattore di mercato 56

57 Limiti: l indipendenza seriale dei rendimenti dei fattori di mercato Proprietà del moto browniano geometrico: 1. il fattore di rischio S segue un percorso casuale coerente con l'ipotesi di efficienza debole del mercato (processo di Markov), ma caratterizzato da un rendimento atteso (drift) non nullo, pari a μ; 2. i rendimenti relativi a intervalli temporali diversi sono fra loro indipendenti (ipotesi di indipendenza seriale) e normalmente distribuiti; 3. la volatilità rappresenta un disturbo, o noise, di quello che altrimenti sarebbe un processo guidato unicamente dalla variazione attesa ; 4. il rendimento dell'attività finanziaria considerata ha una varianza 2 dt costante, proporzionale al tempo ( ). 57

58 Limiti: l indipendenza seriale dei rendimenti dei fattori di mercato Le ipotesi della slide precedente sono spesso smentite dal comportamento reale delle variabili finanziarie: l indipendenza seriale dei rendimenti è ben di rado verificata (si veda la slide 20) la varianza varia nel tempo 58

59 Limiti: l ipotesi di linearità dei payoff e l approccio delta-gamma L ipotesi di una relazione lineare fra le variazioni dei fattori di mercato e le variazioni del valore della posizione è scarsamente credibile Un caso tipico è quello dei titoli obbligazionari, dove l'ipotesi di linearità equivale a trascurare la convessità Può essere resa più precisa l approssimazione della funzione che lega il valore di mercato delle singole posizioni al valore dei fattori di rischio Ciò equivale ad arrestare al secondo ordine, e non al primo, l approssimazione in serie di Taylor della funzione Nel caso dei titoli obbligazionari, si considera non solo la duration Nel caso delle posizioni in opzioni ma anche la convessità; si include anche il cosiddetto coefficiente gamma dell opzione Approccio delta-gamma 59

60 Limiti: l ipotesi di linearità dei payoff e l approccio delta-gamma Consideriamo la funzione VM(S), che lega il valore di mercato di una posizione al valore di un fattore di rischio S: VM VM dvm ds dvm ds S S d VM 2 ds Approssimazione del primo ordine ( S) È come se il valore di mercato della posizione fosse una funzione di due distinti fattori di rischio, ΔS ed il suo quadrato L aumento di precisione ottenuto con l approssimazione delta/gamma è tanto maggiore quanto maggiore è lo shock del fattore di mercato e quanto maggiore è il grado di curvatura della posizione 2 S ( S) 2 Sviluppo del secondo ordine 2 60

61 Limiti: l ipotesi di linearità dei payoff e l approccio delta-gamma Anche se lo sviluppo del secondo (o del terzo) ordine migliora la qualità dell approssimazione, esso è comunque a una stima soggetta a errore Nel caso delle opzioni la stima degli effetti di variazioni delle variabili di mercato si basa sui coefficienti delta, gamma, vega e rho Tali coefficienti sono meno Payoff efficaci in presenza di shock congiunti di più variabili Y A X W E B Prezzo dell attività sottostante Nel caso di posizioni con payoff non-lineare, non-derivabile e non-monotòno, l applicazione dell approccio delta-gamma può condurre a risultati errati 61

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