Elementi Costruttivi delle Macchine. Soluzione - Verifica di un albero di trasmissione 3.1. Politecnico di Torino CeTeM

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1 Si richiede la verifica di un albero di che riceve il moto da una ruota dentata calettata sull albero stesso il quale trasmette moto alternato a una puleggia R.5 R.1 R.5 R.2 R.1 Ø65 Ø46 Ø41 Ø55 Ø41 Ø Specifiche (dati) Materiale albero : C60 UNI EN Rm 850 MPa R eh 580 MPa σ D-1 = 400MPa Potenza d ingresso: P=30 kw N di giri albero: n=500 rpm Ruota dentata: ruota cilindrica a denti diritti con angolo di pressione α = 20 Ø primitivo: 250 mm Puleggia: Ø 300 mm Politecnico di Torino Pagina 1 di 15

2 Forze alla ruota dentata Potenza =Coppia velocità angolare P = C ω C=P/ω =30 10³ / (500 2π/60) = N mm Ft α Fr F C = Ft Dp/2 Ft = C / (Dp/2) = ³ N Fr = Ft tg α = ³ tg 20 = ³ N Forze alla puleggia C = Momento esercitato dall albero sulla puleggia Per le leggi della meccanica si assume T2=2T1 Equazione di momento rispetto al centro della puleggia: C C +D/2 (T1-T2) = 0 T2-T2/2 = C/ (D/2) T2 = ³ N T1 = ³ N T1 T2 Politecnico di Torino Pagina 2 di 15

3 Calcolo delle reazioni vincolari. Reazioni vincolari piano A-A R ³ N ³N R2 Equazione dei momenti rispetto al punto d applicazione di R2: ³ 400-R ³ 150=0 R1= ( ³ ³ 150) /300= ³N Equazione dei momenti rispetto al punto d applicazione di R1: ³ ³ 150-R2 300=0 R2= ( ³ ³ 150) /300= ³N Reazioni vincolari piano B-B ³ N T1 T2 Le reazioni vincolari sono a metà del punto d applicazione della forza esercitata dalla ruota dentata; quindi le reazioni T1=T2= ³/2= ³N Politecnico di Torino Pagina 3 di 15

4 Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione Diagramma momento flettente piano A-A ³ N ³ ³ N Diagramma momento flettente piano B-B ³ N N Nmm ³N Politecnico di Torino Pagina 4 di 15

5 Diagramma momento torcente C= Nmm Politecnico di Torino Pagina 5 di 15

6 Calcolo delle caratteristiche geometriche delle sezioni dell albero R.5 R.1 R.5 R.2 R.1 Ø65 Ø46 Ø41 Ø55 Ø41 Ø Diagramma Modulo di resistenza a flessione Wf Punti di calcolo Nota:Il diagramma del modulo di resistenza a torsione Wt è equivalente al precedente e varia secondo la seguente relazione: Wt = 2Wf. Il calcolo dei moduli di resistenza a flessione sull albero in esame è stato effettuato secondo la seguente relazione: Wf 0.1 d 3. Politecnico di Torino Pagina 6 di 15

7 Calcolo delle tensioni Calcolo delle tensioni σ dovute al momento flettente. Le tensioni verranno calcolate nelle posizioni da 1 a 9 come indicato sul grafico precedente. Punto 1. Nel punto 1 il momento flettente è uguale a 0 ;quindi anche il valore σ sarà uguale a 0. Punto 2. Il momento flettente viene calcolato moltiplicando la forza agente dalla puleggia all albero con la distanza da quest ultima al punto 2: Mf = F z = ³ 20 = Nmm. σ 2 =Mf/Wf 1 = / (0.1 41³) 33MPa. σ 2 =Mf/Wf 2 = / (0.1 55³) 14MPa. Punto 3 Mf = F z = ³ 100 = Nmm σ 3 = Mf/Wf 3 = / ( ) 69MPa. Punto 4 Mf Vista A-A = Nmm. Mf Vista B-B = = Nmm= Nmm. Mf equivalente =10 5 ( ) = Nmm. σ 4 = Mf/Wf 3 = / ( ) 66MPa. σ 4 = Mf/Wf 4 = / ( ) 40MPa. Punto 5 Mf Vista A-A = = Nmm. Mf Vista B-B = = Nmm. Mf equivalente =10 5 ( ) = Nmm. σ 5 =Mf /Wf 4 = / ( ) 23MPa. σ 5 =Mf/Wf 5 = / ( ) 64.8MPa. Punto 6 Mf equivalente = Nmm. σ 6 = Mf/Wf 5 = / ( ) 58.1MPa. Punto 7 Mf vista B-B = = Nmm. Mf vista A-A = = Nmm. Politecnico di Torino Pagina 7 di 15

8 Mf equivalente = 10 5 ( ) = Nmm σ 7 =Mfeq/Wf 5 = / ( ) 48.4MPa. σ 7 =Mfeq/Wf 7 = / ( ) 68.3MPa. Punto 8 Mf vista A-A= = Nmm Mf vista B-B= = Nmm Mf equivalente = 10 5 ( ) = Nmm σ 8 =Mfeq/Wf 7 = / ( ) 5.47MPa. σ 8 =Mfeq/Wf 8 = / ( ) 13.9MPa. Calcolo delle tensioni τ dovute al momento torcente. Punto 1 Mt= Nmm. τ 1 =Mt/Wt 1 = / ( ) 42MPa. Punto 2 τ 2 =Mt/Wt 2 = / ( ) 42MPa τ 2 =Mt/Wt 3 = / ( ) 17MPa. Punto 3 τ 3 =τ 2 Punto 4 τ 4 =Mt/Wt 3 = / ( ) 17MPa τ 4 =Mt/Wt 4 = / ( ) 10.5MPa. Punto 5 τ 5 =τ 4 τ 5 =τ 6 Punto 6 τ 6 =Mt/Wt 6 = / ( ) 29.4MPa Politecnico di Torino Pagina 8 di 15

9 Calcolo delle tensioni equivalenti. Per il calcolo delle tensioni equivalenti si utilizza l ipotesi della massima tensione tangenziale. τ max (Tresca) σ eq = (σ 2 +4τ 2 ) Punto1 σ eq1 = (σ τ 2 1 ) =2τ 1 =2 42Nmm.=84MPa. Punto2 σ eq2 = (σ τ 2 1 ) = ( ) =90MPa. σ eq2 = (σ τ 2 2 ) = ( ) =36MPa. Punto3 σ eq3 = σ τ 2 2 = ( ) =77MPa. Punto4 σ eq4 = σ τ 2 2 = ( ) =74MPa. σ eq4 = σ τ 2 4 = ( ) =45MPa. Punto 5 σ eq5 = σ τ 2 5 = ( ) =31MPa. σ eq5 = σ τ 2 5 = ( ) =87.5MPa. Punto 6 σ eq6 = σ τ 2 6 = ( ) =78.5MPa Punto 7 σ eq7 =σ 7 =Mfeq/Wf 5 = / ( ) 48.4MPa. σ eq7 =σ 7 =Mfeq/Wf 7 = / ( ) 68.3MPa. Punto 8 σ eq8 =σ 8 =Mfeq/Wf 7 = / ( ) 5.47MPa. σ eq8 =σ 8 =Mfeq/Wf 8 = / ( ) 13.9MPa. Politecnico di Torino Pagina 9 di 15

10 [MPa] Punti di calcolo Verifica statica nel punto più sollecitato. σ eq max. ReH/S sner ReH = 580 N/mm 2. Si assuma un coefficiente di sicurezza statico S sner = 1.5. Il coefficiente S sner = 1.5 è di solito il minimo richiesto nelle verifiche statiche. Il punto più sollecitato è il 2,dove σ eq.2 = 90N/mm /1.5 La relazione è verificata Politecnico di Torino Pagina 10 di 15

11 Calcolo delle tensioni medie ed alternate. Il valore di σ m è 0. I valori di σ a e τ a sono i seguenti: Punto 1 σ a1 =0 τ a1 =τ 1 =42 MPa. Punto 2 σ a2 =σ 2 =33MPa. τ a2 =τ 2 =42 MPa. σ a2 =σ 2 =14MPa. τ a2 =τ 2 =17 MPa. Punto 3 σ a3 =σ 3 =69MPa. τ a3 =τ 2 =17 MPa. Punto 4 σ a4 =σ 4 =66MPa. τ a4 =τ 2 =17 MPa. σ a4 =σ 4 =40MPa. τ a4 =τ 4 =10.5 MPa. Punto 5 σ a5 =σ 5 =23MPa. τ a5 =τ 4 =10.5 MPa. σ a5 =σ 5 =64.8MPa. τ a5 =τ 5 =29.4 MPa. Punto 6 σ a6 =σ 6 =58.1MPa. τ a6 =τ 5 =29.4 MPa. Punto 7 σ a7 =σ 7 =48.4MPa. σ a7 =σ 7 =68.3MPa. Punto 8 σ a8 =σ 8 =5.47MPa. σ a8 =σ 8 =13.9MPa. Effetto intaglio R.5 R.1 R.5 R.2 R.1 Punti di calcolo Politecnico di Torino Pagina 11 di 15

12 R d D 2: d=41mm D=55mm R=5 D/d=1.34 R/d=0.12 Fattore di forma a flessione (da tabella) α f K =1.6 Fattore η di sensibilità all intaglio=0.8 (β f k -1) =η (α f K -1) β f k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a flessione =1+η (α f k -1) =1.48 Fattore di forma a torsione (da tabella) α t k =1.3 β t k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a torsione =1+η (α t k -1) =1.24 σ aeq = (β f k σ f a ) 2 +3 (β t k τ a ) 2 = 102.6MPa 4: d=55mm D=65mm R=1 D/d=1.18 R/d=0.02 Fattore di forma a flessione (da tabella) α f K =2.7 Fattore η di sensibilità all intaglio=0.8 (β f k -1) =η (α f K -1) β f k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a flessione =1+η (α f k -1) =2.36 Fattore di forma a torsione (da tabella) α t k =2.1 β t k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a torsione =1+η (α t k -1) =1.88 σ aeq = (β f k σ f a ) 2 +3 (β t k τ a ) 2 = 163.4MPa 5: d=46mm D=65mm R=5 D/d=1.43 R/d=0.11 Politecnico di Torino Pagina 12 di 15

13 Fattore di forma a flessione (da tabella) α f K =1.65 Fattore η di sensibilità all intaglio=0.8 (β f k -1) =η (α f K -1) β f k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a flessione =1+η (α f k -1) =1.52 Fattore di forma a torsione (da tabella) α t k =1.31 β t k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a torsione =1+η (α t k -1) =1.25 σ aeq = (β f k σ f a ) 2 +3 (β t k τ a ) 2 = 117.3MPa 7: d=41mm D=46mm R=2 D/d=1.12 R/d=0.05 Fattore di forma a flessione (da tabella) α f K =2.06 Fattore η di sensibilità all intaglio=0.8 (β f k -1) =η (α f K -1) β f k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a flessione =1+η (α f k -1) =1.85 σ aeq = (β f k σ f a ) 2 +3 (β t k τ a ) 2 = MPa. 8: d=30mm D=41mm R=1 D/d=1.33 R/d=0.033 Fattore di forma a flessione (da tabella) α f K =2.4 Fattore η di sensibilità all intaglio=0.8 (β f k -1) =η (α f K -1) β f k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a flessione =1+η (α f k -1) =2.12 σ aeq = (β f k σ f a ) 2 +3 (β t k τ a ) 2 = 29.47MPa. Politecnico di Torino Pagina 13 di 15

14 Verifica a fatica nel punto più sollecitato. Dal paragrafo precedente si nota che il punto più sollecitato è il 4. Sul diagramma di Haigh la rappresentazione è la seguente: σ a P σ m Si assuma un coefficiente di sicurezza fatica S fat = 3. Il coefficiente S fat = 3 è di solito il minimo richiesto nelle verifiche a fatica. Nel punto 4 si verifica: σ aeq =163.4MPa 400/ Relazione non verificata. Il 55 non è sufficiente e considero di aumentarlo a 60. σ 4 = Mf/Wf 3 = / ( ) 51MPa τ 4 =Mt/Wt 3 = / ( ) 13MPa. Per l effetto intaglio diventa: d=60mm D=65mm R=1 D/d=1.08 R/d=0.017 Fattore di forma a flessione (da tabella) α f K =2.4 Fattore η di sensibilità all intaglio=0.8 (β f k -1) =η (α f K -1) β f k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a flessione =1+η (α f k -1) =2.12 Fattore di forma a torsione (da tabella) α t k =1.6 β t k = fattore di riduzione di resistenza a fatica a torsione =1+η (α t k -1) =1.48 σ aeq = (β f k σ f a ) 2 +3 (β t k τ a ) 2 =113 MPa Relazione verificata. Il nuovo diametro è 60 mm. Politecnico di Torino Pagina 14 di 15

15 Conclusioni. Nella verifica sopra esposta non è stato tenuto conto, nella verifica a fatica, della rugosità superficiale, e dell effetto scala. Nella verifica a fatica nel punto più sollecitato il nuovo diametro (= 60mm) è stato scelto in funzione del tipo di cuscinetto radiale a sfere ad una corona da montare. Per le caratteristiche geometriche di tale cuscinetto si veda catalogo SKF codice n Politecnico di Torino Pagina 15 di 15