CORSO DI TOPOGRAFIA A A.A

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1 CORSO DI TOPOGRAFIA A A.A. 6-7 APPUNTI LEIONI GPS PARTE II Documento didattico ad uso interno - 1

2 1 Inserimento di un rilievo GPS in cartografia. Problemi di trasformaione di coordinate L uso del GPS per applicaioni geodetiche e topografiche, impone la gestione della trasformaione delle coordinate. Per inserire infatti un rilievo GPS in cartografia le coordinate WGS84 dei punti devono essere trasformate. In questo capitolo si affrontano i problemi di trasformaione di coordinate tipicamente utiliate in ambito GPS. 1.1 Trasformaioni da coordinate geografiche a coordinate cartesiane e viceversa La relaione che lega le coordinate geografiche (latitudine, longitudine e quota ellissoidica) alle coordinate cartesiane geocentriche è dettata da semplici consideraioni trigonometriche. Nella formulaione per la trasformaione delle coordinate, si dovrà tener presente che la superficie di riferimento non è piana, ma è l ellissoide. Troveremo quindi nelle formule i parametri che ne descrivono la geometria. Figura1.1-1: Coordinate cartesiane e geografiche = = = ( N + h) ( N + h) cosϕ cosλ cosϕ senλ [ N ( 1 e ) + h] senϕ (1.1-1) con: ϕ,λ = latitudine e longitudine ellissoidiche del punto h = quota ellissoidica del punto Documento didattico ad uso interno -

3 α N = gran normale 1 e sen ϕ e = quadrato dell eccentricità dell ellissoide Non è immediata la trasformaione inversa infatti, ricavando latitudine, longitudine e quota ellissoidica, si osserva che la formulaione della latitudine è implicita. Si risolve quindi con metodi numerici o applicando procedimenti di calcolo iterativi. Con riferimento alla è immediato ricavare la longitudine dal rapporto /. senλ = λ = senϕ arctan Ricavando h dalla prima e dalla tera si ottiene: h = - N (1 e ) = N senϕ cosϕ cosλ Moltiplicando i due termini dell equaione per senϕ: tanϕ N senϕ = (1 e cosλ ) N senϕ Osservando che cos R = = + λ Figura 1.1-: Distana dall asse polare Documento didattico ad uso interno - 3

4 si ottiene: + N e senϕ ϕ = arctan + La formulaione della latitudine è dunque implicita e quindi può essere calcolata numericamente per tentativi oppure utiliando uno dei numerosi metodi di calcolo numerico a convergena che si trovano in letteratura. Tra questi, uno dei più noti per rapidità di convergena e per precisioni ottenibili è il metodo proposto da Bencini che si basa sul calcolo di una quantità geometrica detta latitudine ridotta. R + = (distana dell'asse polare) ϑ = arctan (valore di prima approssimaione della latitudine ridotta) R 1 e δ ϑ = a 1 e + e R (1+ tan ϑ ) e a senϑ R tanϑ a cosϑ (correione da apportare al valore ϑ ) ϑ = ϑ + δ ϑ (valore corretto di seconda approssimaione della latitudine ridotta) Il procedimento termina quando il valore di ϑ si stabilia e tende a ero; la convergena è in genere rapidissima e già dopo la prima iteraione l'approssimaione raggiunta è sufficiente per la maggior parte della applicaioni. Determinato ϑ si calcola la latitudine con la seguente formulaione: ϑ ϕ = arctan tan 1 e Calcolate latitudine e longitudine è immediato ricavare h da una qualsiasi delle h = sen N ϕ ( 1 e ) 1. Richiami al concetto di Datum L operaione comunemente chiamata messa in bolla di uno strumento topografico, porta l asse principale dello strumento stesso in posiione verticale. Tale asse diventa quindi parallelo alla tangente alla linea di fora del campo gravitaionale terrestre in quel punto ovvero perpendicolare alla superficie equipoteniale del geoide. Il geoide è dunque la superficie di riferimento rispetto alla quale il topografo esegue misuraioni, ma tuttavia, come ben noto, si tratta di una superficie di forma complessa difficilmente utiliabile per calcoli geometrici semplici e per immediate determinaione di angoli e distane. Risulta dunque più immediato l utilio di forme geometriche semplificate, che sostituiscono la superficie del geoide e nel contempo permettono al topografo di utiliare teoremi di trigonometria piana o sferica. Queste Documento didattico ad uso interno - 4

5 superfici sono l ellissoide, la sfera e il piano. Sostituire localmente il geoide con una di queste forme, significa introdurre delle approssimaioni nei calcoli di angoli e distane, tollerabili entro certi limiti di applicaione. Osservando la figura 1.-1 si noti come tra la perpendicolare al geoide (V) e la perpendicolare all ellissoide (n - scelto come superficie di riferimento) ci sia un angolo chiamato deviaione della verticale. Approssimare la superficie del geoide ad un ellissoide (sfera o piano) porta a errori di posiionamento sia in planimetria che in quota. Figura 1.-1: Deviaione dalla verticale In planimetria gli scostamenti in coordinate valgono: ε ε m v = ϕ ϕ in latitudine a e ( λa λe ) cosϕ a = in longitudine In altimetria, la distana tra la quota misurata rispetto all ellissoide e la quota misurata rispetto al geoide è chiamata ondulaione del geoide ( N ) ed è calcolabile come N = H-h Documento didattico ad uso interno - 5

6 Figura 1.-: Angolo di deviaione dalla verticale Definire un sistema di riferimento geodetico (Datum), significa scegliere la giusta geometria dell ellissoide e il giusto orientamento affinché il valore di deviaione della verticale sia minimo e quindi siano minimi gli effetti dell errore che si compie nel considerare la perpendicolare all ellissoide diretta come la perpendicolare al geoide nel punto. Di conseguena, vengono ridotti al minimo i valori di ondulaione del geoide e quindi si può considerare il valore della quota ellissoidica uguale al valore di quota ortometrica sapendo che l errore che si compie in tale approssimaione è inferiore all errore di misure geodetiche. Per l Italia ad esempio è stato scelto come ellissoide di riferimento l Internaionale di Haford che ha le seguenti caratteristiche geometriche: α = m e =,6767 Figura 1.-3: Angolo di orientamento Monte Mario (P) Monte Soratte (Q) Documento didattico ad uso interno - 6

7 Questo ellissoide è stato orientato nel punto di emanaione di Monte Mario le cui coordinate sono state determinate mediante osservaioni a stelle fisse. In questo punto (baricentrico per la penisola italiana) l ondulaione del geoide è nulla (N = ). Ciò significa che in quel punto h = H e l angolo di deviaione dalla verticale è nullo. L ellissoide è quindi tangente al geoide in quel punto, ma può ruotare. E quindi indispensabile vincolarne le rotaioni imponendo e fissando un valore di Aimut (angolo tra il meridiano passante per Monte Mario) e l arco di geodetica che congiunge Monte Mario a Monte Soratte. Definito il sistema di riferimento, è ora necessario fare in modo che gli utenti possano collegare i propri rilievi a tale sistema. Per questo motivo sono state predisposte le reti geodetiche, ovvero apparati costituiti da punti (materialiati in maniera ben visibile sul territorio), le cui coordinate sono note nel sistema di riferimento geodetico. Figura 1.-4: Rete geodetica Roma4 Riassumendo, la definiione di un sistema di riferimento geodetico è legata a tre elementi: 1. la scelta di un ellissoide. l orientamento dell ellissoide scelto 3. la definiione di una rete geodetica di appoggio Documento didattico ad uso interno - 7

8 Per l Italia è stato scelto l ellissoide di Haford orientato a Monte Mario. La rete di appoggio è schematiata in figura La definiione di una rete di appoggio geodetica, permette dunque agli utenti di disporre di punti di coordinate note in un determinato Datum, sul territorio. Per inserire quindi un rilievo topografico in un Datum geodetico è sufficiente collegarsi ai vertici di tale rete. Per l Italia esistono due sistemi geodetici fondamentali: il Datum naionale Roma4 rete di appoggio nata per tutte le attività geodetiche, cartografiche e topografiche - ottenuta con misuraioni classiche il Datum WGS84-ETRF89 rete di impianto IGM95, ottenuta con misure GPS. Le due reti sono strettamente collegate tra di loro e la presena di un numero considerevole di punti doppi ha permesso la determinaione dei valori locali dei 7 parametri, pubblicati per ciascun punto e applicabili fino a distane di 15- km dal punto stesso. Figura 1.-5: Rete geodetica IGM95 Si osservi inoltre, che il WGS84 utilia un ellissoide differente da quello di Haford (GRS8) con le seguenti caratteristiche geometriche. Documento didattico ad uso interno - 8

9 α = m e =, Tale ellissoide non è orientato in l Italia in quanto approssima mediamente la forma della terra a livello mondiale. Non è quindi trascurabile il valore di deviaione della verticale rispetto a questo ellissoide. Dunque diventa importante conoscere il valore dell ondulaione del geoide N rispetto all ellissoide WGS84 per poter ottenere dalla quota ellissoica determinata con il GPS, la quota sul livello del mare. Figura 1.-6: Schemi di ellissoide locale (Haford orientato a M.M.) e ellissoide geocentrico (WGS84) Nei paragrafi successivi vedremo in dettaglio le problematiche di trasformaione tra Datum differenti e le problematiche di determinaione della quota ortometrica con misure GPS. 1.3 Trasformaione a 7 parametri per il cambiamento di Datum Tra due sistemi di riferimento cartesiani tridimensionali, le trasformaioni di coordinate sono geometricamente governate da 6 parametri (tre traslaioni e tre rotaioni). A questi si aggiungerà un fattore di scala per le trasformaioni specifiche di Datum dal sistema WGS84 al sistema Roma4. Con riferimento alla figura 1.3-1, note le coordinate di un generico punto P nel sistema di riferimento cartesiano O,,, si possono determinare le coordinate del medesimo punto nel sistema di riferimento cartesiano O,,, con una relaione del tipo: ( + ) R 1 = + 1 k (1.3-1) Documento didattico ad uso interno - 9

10 Figura 1.3-1: Parametri di trasformaione coordinate tra due sistemi cartesiani geocentrici 1 = è il vettore delle coordinate note del punto P nel sistema cartesiano O,,, , = è il vettore delle coordinate incognite del punto P nel sistema cartesiano O,,,, = Documento didattico ad uso interno - 1

11 è il vettore delle componenti di traslaione ed infine R = + + è la matrice di rotaione che si ottiene facendo ruotare la terna cartesiana con indice 1 attorno ai propri assi 1,, 1 1 (esattamente in quest'ordine) con rotaioni pari a, rispettivamente, R,R,R, per disporne gli assi parallelamente a quelli della terna cartesiana di indice. Vediamo ora passo per passo, il procedimento per la determinaione della matrice R analiando separatamente le tre rotaioni e infine combinandole per ottenere il risultato complessivo. Per convenione, si considerano di segno positivo gli angoli di rotaione in senso antiorario. Rotaione attorno all asse (R ) Con riferimento alla figura 1.3-, per trasformare le coordinate del punto P dal sistema di riferimento O,,, al sistema di riferimento O, 1, 1 si dovrà ruotare la terna indice 1 di un angolo pari a R in senso antiorario. Figura 1.3-: Rotaione attorno all asse = AP BC = OC + AB Documento didattico ad uso interno

12 g g = 1 cos(4 - R ) 1 sen(4 - R ) = senr g g = 1 sen(4 - R ) + 1 cos(4 - R ) = 1 senr + 1 Quindi la matrice di rotaione attorno a : R = 1 senr senr Rotaione attorno all asse (R ) Analogamente a quanto visto nel paragrafo precedente, con riferimento alla figura 1.3-3, possiamo scrivere: Figura 1.3-3: Rotaione attorno all asse = PA + BC = OC AB Documento didattico ad uso interno - 1

13 g g = 1 cos(4 - R ) + 1 sen(4 - R ) = 1 1 senr g g = 1 cos(4 - R ) 1 sen(4 - R ) = senr Dalle quali è immediato ricavare la matrice di rotaione attorno a : R = senr 1 senr Rotaione attorno all asse (R ) Analoghe consideraioni ci portano alla determinaione della matrice di rotaione attorno all asse Con riferimento alla figura 1.3-4, possiamo scrivere: Si osservi inoltre che: = OA + BC Figura 1.3-4: Rotaione attorno a = CP OD Documento didattico ad uso interno

14 quindi = 1 1 senr = senr Da queste relaioni è immediato ricavare la matrice di rotaione attorno a : R = senr senr 1 Il prodotto righe per colonne delle tre matrici di rotaione fornisce la matrice R complessiva: R = R R R = + + Se le rotaioni tra i due sistemi di riferimento sono piccole e se si trascurano i termini del secondo ordine, la matrice R può essere facilmente lineariata e restituita in forma più semplice: R L = 1 R R R 1 R R R 1 (1.3-) Il fattore di scala L Istituto Geografico Militare ha calcolato per gli utenti, il valore dei 7 parametri di trasformaione. A ciascun vertice della rete IGM95 è associata una serie di parametri utiliabili in un range di 15- km (se si vuole sfruttarne al massimo le caratteristiche di precisione: 3-5 cm). Per calcolare questi parameri, l IGM ha utiliato i cosiddetti punti doppi ovvero punti le cui coordinate sono note sia nel sistema di riferimento Roma4 che nel sistema di riferimento WGS84. Tali vertici appartengono alle due reti descritte al paragrafo precedente. Le reti, come già detto, sono state ottenute con differenti tecniche di misura e con differenti precisioni. Il fattore di scala, adatta al meglio e localmente la rete WGS84 deformandola sulla rete Roma4. Di fatto, questo fattore di scala modella le differenti distorsioni delle due reti geodetiche. Tenendo dunque conto del fattore di scala, la matrice R assume questa forma: ( 1+ k) R R ( 1+ k) R = R R (1.3-3) k R R ( 1+ k) Documento didattico ad uso interno

15 1.5 Note operative per inserire un rilievo GPS in cartografia Nei paragrafi precedenti abbiamo quindi visto come la trasformaione delle coordinate ottenute nel sistema geodetico WGS84 in coordinate geografiche Roma4 sia governata da 7 parametri di trasformaione. Se alle coordinate Roma4 così ottenute si applica ora una proieione cartografica, è immediato l inserimento in cartografia dei punti di un rilievo GPS. Figura 1.5-1: Schema di proieione cartografica Bisogna però osservare che i 7 parametri governano le trasformaioni tra il datum geodetico ETRF89 e il datum geodetico Roma4. Operativamente, ciò significa che le nostre misure geodetiche devono essere collegate alla rete IGM95 o a vertici equivalenti che possono essere passivi (vertici della rete IGM95 o di suoi raffittimenti) o vertici attivi (reti di staioni permanenti). I primi sono materialiati sul territorio tramite chiodi topografici, i secondi dispongono invece di un GPS sempre attivo. Figura 1.5-: Schema di rete vincolata a due vertici WGS84 - ETRF89 Documento didattico ad uso interno

16 Figura 1.5-3: La rete di staioni GPS permanenti della Regione Lombardia (attivi) Figura 1.5-4: Vertice di raffittimento della Regione Lombardia (passivi) Documento didattico ad uso interno

17 11. L'altimetria con il GPS Come gia accennato più volte i questo capitolo, il valore di quota ellissoidica rispetto all ellissoide WGS84 ottenuto direttamente da un rilievo GPS è un parametro altimetrico puramente geometrico e spesso non collegata alla realtà fisica del campo gravitaionale terrestre. Il dislivello tra due punti, ottenuto per differena di due quote ellissoidche non sempre è uguale al dislivello reale, ottenuto per differena tra due quota ortometriche. In alcuni casi può essere necessario eseguire un confronto tra dati ottenuti da livellaioni geometriche, riferiti per natura alla superficie geoidica, e dati derivanti da misure GPS, invece strettamente legati all'ellissoide. Da queste consideraioni si capisce l'importana di determinare i legami tra la quote ellissoidiche, misurate lungo la normale ad un ellissoide, e le quote ortometriche misurate lungo la verticale in un punto. Figura 11.1: Quota ortometrica e quota ellissoidica Con riferimento alla figura 11.1, conoscendo l'ondulaione del geoide rispetto all'ellissoide geocentrico, è possibile determinare con buona approssimaione le quote ortometriche nel seguente modo: h= H+ N (11-1) dove: h = quota ellissoidica H = quota ortometrica N = ondulaione del geoide rispetto all'ellissoide locale H = h N (11-) Si tratta di un calcolo approssimato poiché la tangente alla linea di fora del campo di gravità della terra in un generico punto della superficie terrestre non è parallela alla normale all'ellissoide nel medesimo punto, ma, come già più volte detto, essa è inclinata rispetto a quest'ultima, di un angolo ε detto "deviaione della verticale". Per passare da un dislivello ellissoidico ad un dislivello ortometrico è necessario quindi conoscere l'ondulaione del geoide rispetto all'ellissoide considerato nei due punti P e Q. Documento didattico ad uso interno

18 Le precisioni caratterianti queste grandee devono essere tali per cui, il passaggio da quote ellissoidiche a quote ortometriche (o viceversa) non introduca incertee troppo elevate per il tipo di applicaione topografica che si sta considerando Il software ufficiale dell Isituto Geografico Militare per la trasformaione delle coordinate Verto Noto il valore puntuale di ondulaione del geoide, è immediato determinare la quota sul livello del mare di un punto rispetto. E possibile costruire modelli matematici locali di ondulaione del geoide, purché vengano staionati con GPS un numero sufficiente di punti di quota sul livello del mare nota. Nella realtà operativa, e per la maggior parte delle applicaioni cartografiche e topografiche, è ormai di uso comune il software ufficiale dell IGM, Verto. Figura : Quota ortometrica e quota ellissoidica Dalle coordinate WGS84, Verto restituisce le coordinate geografiche e cartografiche nei sistemi di riferimento più utiliati per la cartografia italiana. La quota sul livello del mare è ottenuta mediante il modello di ondulaione del geoide messo a punto dal Politecnico di Milano. Documento didattico ad uso interno