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1 DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + 6e Deve essere e e + e + 6e >, posto e = t si ha t e + t + 6e = per t = e e per t = Il campo di esisteza è:, l + l, + Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l + l, + Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = Il campo di esisteza è:, l + l, + SUCCESSIONE l l = l l = l + + l = l l } + 5 l l + } = + 7 l l } + 6 l l 5 + } = + 5 l l } + l l } = l + l l + l l + l l + l l + l l + l l l

2 l l = 7 l 5 + } l 6 + } = l + l l + l FUNZIONE INVERSA Stabilire se la fuzioe f = + l è ivertibile sul suo isieme di defiizioe e, i caso affermativo calcolare f f è defiita per >, f = + > per ogi >, quidi f è ivertibile e, da f =, f = 7 si ottiee f = f = 7 Stabilire se la fuzioe f = + l è ivertibile sul suo isieme di defiizioe e, i caso affermativo calcolare f f è defiita per >, f = + > per ogi >, quidi f è ivertibile e, da f =, f = 5 si ottiee f = f = 5 Stabilire se la fuzioe f = 5 + l è ivertibile sul suo isieme di defiizioe e, i caso affermativo calcolare f 5 f è defiita per >, f = 5 + > per ogi >, quidi f è ivertibile e, da f = 5, f = 9 si ottiee f 5 = f = 9 Stabilire se la fuzioe f = + 5 l è ivertibile sul suo isieme di defiizioe e, i caso affermativo calcolare f f è defiita per >, f = + 5 > per ogi >, quidi f è ivertibile e, da f =, f = 7 si ottiee f = f = 7 RETTA TANGENTE Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe el puto, f f = + si +cos f = + si +cos = ep + cos l + si }, f = 7, f = f si l + si + + cos } + si cos, f = 7 la retta tagete ha equazioi y = Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe f = + cos +si π π el puto, f f = + cos +si π = ep + si l + cos }, f = 6, f = f cos l + cos + + si } π si, f = + cos

3 la retta tagete ha equazioi y = 6 π Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe f = + cos +si π π el puto, f f = + cos +si π = ep + si l + cos }, f = 7, f = f cos l + cos + + si } π si, f = 7 + cos la retta tagete ha equazioi y = 7 7 π Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe el puto, f f = + si +cos f = + si +cos = ep + cos l + si }, f = 6, f = f si l + si + + cos } + si cos, f = la retta tagete ha equazioi y = LIMITI DI FUNZIONI È bee ricordare che, per t, l + t = t t + o t, si t = t t 6 + o t l + si l + = 6 + o 6 = si 6 + o o o 6 l + si = l + si o 6 + o 6 = 6 + o o si l + = si l o o 6 = 6 + o o 6 si l + = si l o o 6 = o o 6 9

4 6 POLINOMIO DI TAYLOR Sia f = arcta e Scrivere il poliomio di MacLauri di secodo grado di f f = π, f = e + e, f = f = e + e e e + e, f = Il poliomio di MacLauri è: P = π + Sia f = arcta cos Scrivere il poliomio di MacLauri di secodo grado di f f = π, f = si + cos, f = f = cos + cos si cos + cos, f = Il poliomio di MacLauri è: P = π Sia f = arcta si Scrivere il poliomio di MacLauri di secodo grado di f f =, f = cos + si, f = f = si + si si cos + si, f = Il poliomio di MacLauri è: P = Sia f = arcta + Scrivere il poliomio di MacLauri di secodo grado di f f = π, f = + +, f = f + = + +, f = Il poliomio di MacLauri è: P = π + 7 MINIMAX ECC Determiare tutti i puti di massimo, di miimo e di flesso della fuzioe f = + 7 f = f = + f = f =, f ha u flesso a tagete orizzotale i = + e deve avere u miimo assoluto ell itervallo, ; ioltre tra = e il puto di miimo ci deve essere u puto di flesso Può essere comodo fare ua traslazioe: posto + = t studiamo F t = t 7 t = t 8 t 7 F t = 8t 7 t 6 miimo i t = cioè i = 8 8 F t = 56t 6 6t 5 flesso i t = 9 cioè i = 5 Determiare tutti i puti di massimo, di miimo e di flesso della fuzioe f = + 8

5 f =, f = + f = f =, f ha u massimo a quota ulla i + = e deve avere u miimo relativo ell itervallo, ; ioltre tra = il puto di miimo ci deve essere u puto di flesso Può essere comodo fare ua traslazioe: posto + = t studiamo F t = t 8 t = t 9 t 8 F t = 9t 8 t 7 miimo i t = 9 F t = 7t 7 t 6 flesso i t = 8 9 cioè i = 9 9 cioè i = 9 Determiare tutti i puti di massimo, di miimo e di flesso della fuzioe f = + 7 f = f = + f = f =, f ha u flesso a tagete orizzotale i = + e deve avere u miimo assoluto ell itervallo, ; ioltre tra = e il puto di miimo ci deve essere u puto di flesso Può essere comodo fare ua traslazioe: posto = t studiamo F t = t 7 t + = t 8 + t 7 F t = 8t 7 + 8t 6 miimo i t = 7 cioè i = 5 F t = 56t t 5 flesso i t = cioè i = Determiare tutti i puti di massimo, di miimo e di flesso della fuzioe f = + 8 f =, f = + f = f =, f ha u miimo a quota ulla i + = e deve avere u massimo relativo ell itervallo, ; ioltre tra il puto di massimo e = ci deve essere u puto di flesso Può essere comodo fare ua traslazioe: posto = t studiamo F t = t 8 t + = t 9 + t 8 F t = 9t 8 + t 7 massimo i t = 8 cioè i = 5 F t = 7t t 6 flesso i t = 7 cioè i = 8 INTEGRALE π/ ta d = arcta t, = + t, π/ ta d = arcta t, =, + t π/ ta d sostituzioe ta = t π/ ta d = sostituzioe ta = t π/ ta d = t + t dt = + π sostituzioe ta = t t + t dt = 9 + π 5

6 = arcta t, = + t, π/8 ta d π/ ta d = sostituzioe ta = t t + t dt = + π = arcta t, =, + t π/8 ta d = t + t dt = + π 8 Ifatti: t + t dt = [ t = t + arcta t ] t + t t + dt = + t = + π t + dt = + t 9 SERIE Determiare il carattere della serie = Si tratta di ua serie a termii defiitivamete positivi: applicado il criterio della radice si ottiee: = < : la serie coverge e Determiare il carattere della serie 6 = 6 Determiare il carattere della serie 9 = 6 6 > : la serie diverge e = 9 = 9 9 > : la serie diverge e Determiare il carattere della serie 8 = 8 = 8 8 < : la serie coverge e 6

7 COMPLESSI ISTITUZIONI Scrivere i forma algebrica e i forma trigoometrica tutte le radici quadrate el campo complesso del umero z = + i z = + i = + i = cos π + i si π Le due radici quadrate di z hao modulo ed argometo ua π e l altra π : w = cos π + i si π = + i = + i w = cos π + i si π = i = + i = w Scrivere i forma algebrica e i forma trigoometrica tutte le radici quadrate el campo complesso del umero z = + i z = + i = 6 + i = 6 cos π + i si π Le due radici quadrate di z hao modulo 6 ed argometo ua π 6 e l altra 7π 6 : w = 6 cos π 6 + i si π = i = + i w = 6 cos 7π 6 + i si 7π = 6 6 i = i = w Scrivere i forma algebrica e i forma trigoometrica tutte le radici quadrate el campo complesso del umero z = i z = i = i = cos π + i si π Le due radici quadrate di z hao modulo ed argometo ua π π e l altra : w = cos π + i si π = + i = + i w = cos π π + i si = i = i = w Scrivere i forma algebrica e i forma trigoometrica tutte le radici quadrate el campo complesso del umero z = i z = i = 8 i = 8 cos π π + i si Le due radici quadrate di z hao modulo ed argometo ua π 6 e l altra 5π 6 : w = cos π π + i si = 6 6 i = i w = cos 5π 6 + i si 5π = 6 + i = i = w 7

8 Problemi di Cauchy ISTITUZIONI Risolvere il problema di Cauchy: y = e y l y = È ua equazioe a variabili separabili: e y y = l, ey = l + c, y = l l + c per la codizioe iiziale deve essere c =, c =, la soluzioe è: y = l l + Risolvere il problema di Cauchy: y = e y l y = È ua equazioe a variabili separabili: e y y = l, ey = l + c, y = l l + c per la codizioe iiziale deve essere c =, c = 5, la soluzioe è: y = l l + 5 Risolvere il problema di Cauchy: y =e y l y = È ua equazioe a variabili separabili: e y y = l, ey = l + c, y = l l + c per la codizioe iiziale deve essere c =, c =, la soluzioe è: y = l l + Risolvere il problema di Cauchy: y =e 5y l y = È ua equazioe a variabili separabili: e 5y y = l, 5 e5y = l + c, y = l 5 l 5 + 5c per la codizioe iiziale deve essere 5 c =, 5c = 6, 5 la soluzioe è: y = l 5 l

9 a FUNZIONE INTEGRALE ANALISI Disegare su [, ] u grafico di F = f t dt dove f ha il grafico riportato i figura, e dire i quali puti F ha massimi e miimi relativi F = f t dt = f è cotiua, quidi F è derivabile e F = f F cresce quado f > decresce quado f <, è covessa quado f cresce, cocava quado f decresce, quidi: F cresce i, e i,, decresce i, e i,, i puti di massimo relativo soo = e =, i puti di miimo relativo soo =, = e = I = F assume massimo assoluto, il miimo assoluto è assuto i uo degli estremi dell itervallo F preseta puti di flesso ei puti, iteri a, che soo di massimo o di miimo relativo per f La fuzioe f potrebbe essere f = + = + + o u suo multiplo, i questo caso sarebbe F = + + Disegare su [, ] u grafico di F = f t dt dove f ha il grafico riportato i figura, e dire i quali puti F ha massimi e miimi relativi F = f t dt = f è cotiua, quidi F è derivabile e F = f F cresce quado f > decresce quado f < è covessa quado f cresce, cocava quado f decresce, quidi: 9

10 F cresce i, e i,, decresce i, e i,, i puti di massimo relativo soo =, = e =, i puti di miimo relativo soo = e = I = F assume miimo assoluto, il massimo assoluto è assuto i uo degli estremi dell itervallo F preseta puti di flesso ei puti, iteri a,, che soo di massimo o di miimo relativo di f La fuzioe f potrebbe essere f = + = + o u suo multiplo, i questo caso sarebbe F = + a EQUAZIONE CON PARAMETRO ANALISI Stabilire per quali valori del parametro reale α l equazioe e = α ha soluzioi egative Posto f = e, g = α, f è ua fuzioe covessa, g è ua fuzioe cocava, f = g =, quidi l equazioe f = g può avere, oltre ad =, al massimo u altra soluzioe Si tratta di cofrotare il grafico di f co quello della famiglia di parabole di equazioe α : da f =, g = a si ottiee che, se a = i grafici di f e di g hao la stessa tagete ell origie e il grafico di f sta tutto sopra, quello di g tutto sotto, se a > i grafici si icotrao i u puto ad ascissa positiva, se a < i grafici si icotrao i u puto ad ascissa egativa Deve quidi essere a < Soluzioe alterativa: la fuzioe ϕ = f g = e + α è covessa su tutto R, ϕ = ϕ = +, ϕ =, ϕ ammette miimo assoluto a quota o positiva + ϕ = e + α, ϕ = e + > quidi ϕ è crescete, ϕ = a ϕ =, + ϕ = +, quidi ϕ si aulla ua e ua sola volta, el puto di miimo assoluto di ϕ se a = il miimo assoluto di ϕ è ell origie, se a > il miimo assoluto di ϕ è i u puto ad ascissa positiva e ϕ > per < se a < il miimo assoluto di ϕ è i u puto ad ascissa egativa e ϕ si aulla ua volta i u puto ad ascissa egativa Stabilire per quali valori del parametro reale α l equazioe e / = α ha soluzioi positive Posto f = e /, g = α, f è ua fuzioe covessa, g è ua fuzioe cocava, f = g =, quidi l equazioe f = g può avere, oltre ad =, al massimo u altra soluzioe Si tratta di cofrotare il grafico di f co quello della famiglia di parabole di equazioe α : da f = /, g = a si ottiee che, se a = / i grafici di f e di g hao la stessa tagete ell origie e il grafico di f sta tutto sopra, quello di g tutto sotto, se a > / i grafici si icotrao i u puto ad ascissa positiva, se a < / i grafici si icotrao i u puto ad ascissa egativa Deve quidi essere a > / Soluzioe alterativa: la fuzioe ϕ = f g = e / + α è covessa su tutto R,

11 ϕ = ϕ = +, ϕ =, ϕ ammette miimo assoluto a quota o positiva + ϕ = e / + α, ϕ = e / + > quidi ϕ è crescete, ϕ = a ϕ =, + ϕ = +, quidi ϕ si aulla ua e ua sola volta, el puto di miimo assoluto di ϕ se a = / il miimo assoluto di ϕ è ell origie, se a < / il miimo assoluto di ϕ è i u puto ad ascissa egativa e ϕ > per > se a > / il miimo assoluto di ϕ è i u puto ad ascissa positiva e ϕ si aulla ua volta i u puto ad ascissa positiva

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