CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

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1 SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Ing. Luigi Biagiotti luigi.biagiotti@unimore.it

2 Relazione tra specifiche e proprietà di L(s) Nell analisi dei sistemi in retroazione si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano essere tradotte (in maniera approssimata) in specifiche sulla funzione di anello. Il problema del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere trasformato in un problema di progetto di L(s) Controllo in frequenza -- 2

3 Stabilità robusta Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica d anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase) Limite inferiore su M f e M a Controllo in frequenza -- 3

4 Specifiche statiche Riferimenti e disturbi sull uscita (usualmente confinati a basse frequenze) L inverso del modulo di L(jω) nel campo di frequenze in cui è confinato il riferimento e\o il disturbo rappresenta il fattore di attenuazione a regime sull errore di inseguimento - R(s) G(s) 6 Bode Plot Limite inferiore su L(jω) 4 Regione proibita per L(jω) Livello di attenuazione desiderato su e Magnitude (db) 2-2 A db db -4 Range di pulsazioni in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull uscita Controllo in frequenza -- 4

5 Specifiche statiche Riferimenti e disturbi sull uscita (usualmente confinati a basse frequenze) Per soddisfare la specifica statica relativamente a riferimenti e a disturbi sull uscita costanti e necessario che: se se - R(s) G(s) L(s) deve avere almeno un polo nell origine 6 4 Bode Plot Vincoli sulla pendenza iniziale del diagramma di L(jω) Magnitude (db) db Controllo in frequenza -- 5

6 Specifiche statiche Caso di interesse pratico: riferimento/disturbo a gradino - R(s) G(s) Sfruttando la sovrapposizione degli effetti dal teorema del valore finale risulta dove è assegnato, mentre è possibile agire su tramite Quindi la specifica è soddisfatta se Controllo in frequenza -- 6

7 Specifiche statiche Caso di interesse pratico: riferimento a gradino e disturbo sinusoidale - R(s) G(s) Anche in questo caso si procede sfruttando la sovrapposizione degli effetti La specifica sarà soddisfatta imponendo tramite Controllo in frequenza -- 7

8 Specifiche statiche Disturbi di misura (usualmente confinati ad alte frequenze) Il modulo di L(jω) nel campo di frequenze in cui è confinato il disturbo di misura rappresenta il fattore di attenuazione del disturbo sull errore - R(s) G(s) 6 Bode Plot Limite superiore su L(jω) Livello di attenuazione desiderato su e Magnitude (db) 4 Regione proibita per L(jω) db -A db Spettro in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull uscita Controllo in frequenza -- 8

9 Specifiche dinamiche Usualmente date in termini di tempo di assestamento e sovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali su L(jω) Se la funzione d anello L(jω) è caratterizzata da una pulsazione di attraversamento ω c e un margine di fase M f allora è lecito aspettarsi che la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia caratterizzata da Controllo in frequenza -- 9

10 Specifiche dinamiche Limite inferiore su M f Limite inferiore su ω c 6 Bode Plot Magnitude (db) Phase (degrees) Frequency - log scale Controllo in frequenza -- 1

11 Moderazione del controllo e realizzabilità fisica del controllore La moderazione dello sforzo di controllo si ottiene: Limitando la pulsazione di attraversamento ω c (rispetto alla pulsazione di attraversamento del sistema controllato) Realizzando regolatori passa-basso Affinchè il regolatore sia fisicamente realizzabile (grado relativo ), occorre che il grado relativo di L(s) sia di quello di G(s) 6 Bode Plot 4 Pendenza a frequenza elevata di L(jω) almeno pari a quella di G(jω) Magnitude (db) db Controllo in frequenza -- 11

12 Riepilogo Specifica statica per y 6 sp, e d costanti Magnitude (db) 4 2 Specifica statica per y sp, d definito spettralmente -2-4 Specifica dinamica su T a Bode Plot Limite sup. per ω c dato da: -Robustezza ai ritardi -Moderazione di controllo Specifica statica per n definito spettralmente Fisica realizzabilità controllore 3 moderazione controllo 45 Phase (degrees) Specifica dinamica su S% robustezza stabilità Frequency - log scale 3 Controllo in frequenza -- 12

13 Approccio al controllo È conveniente dividere il progetto del controllo in due passi associati al progetto di due sottoparti del regolatore: Regolatore statico : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche a bassa frequenza (disturbi sull uscita e/o riferimenti) Regolatore dinamico : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche ad alta frequenza (disturbi di misura) e le specifiche dinamiche Controllo in frequenza -- 13

14 Approccio al controllo (1 parte Progetto R s (s)) Gli obbiettivi dietro al progetto di R s (s) sono: Rispettare le specifiche sul massimo errore e(t) ammesso a fronte di: Ingressi di riferimento y sp noti (gradino, rampa, ); Disturbi sull uscita d(t), costanti o comunque definiti spettralmente (sinusoidi a frequenze comprese in un range noto); Controllo in frequenza -- 14

15 Approccio al controllo (1 parte Progetto R s (s)) Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali costanti h = numero dei poli nell origine di G(s) Controllo in frequenza -- 15

16 Approccio al controllo (1 parte Progetto R s (s)) Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali a rampa Controllo in frequenza -- 16

17 Approccio al controllo (2 parte Progetto R d (s)) Gli obbiettivi dietro al progetto di R d (s) sono: Imporre ω c in un certo intervallo frequenziale Garantire un certo margine di fase Garantire una certa attenuazione e pendenza a frequenze elevate Non bisogna apportare modifiche alla parte statica del regolatore, già progettata (ad es. modificando il guadagno statico) NOTA BENE: tali obbiettivi vanno raggiunti lavorando sul sistema esteso Controllo in frequenza -- 17

18 Approccio al controllo (2 parte Progetto R d (s)) Magnitude (db) Anche in questo caso si hanno diverse possibilità: Nel range di valori ammissibili per ω c esiste un intervallo in cui il valore del margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato Bode Plot Occorre tramite il progetto di R d (s) dare attenuazione al fine di avere l attraversamento di G e (jω) nell intervallo in cui la fase è buona 45 Phase (degrees) Variazione guadagno statico Introduzione di poli Frequency - log scale Intervallo in cui la fase è buona Controllo in frequenza -- 18

19 Approccio al controllo (2 parte Progetto R d (s)) Magnitude (db) Anche in questo caso si hanno diverse possibilità: Nel range di valori ammissibili per ω c non esistono pulsazioni in cui il valore del margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato Bode Plot Occorre tramite il progetto di R d (s) dare anticipo di fase nell intervallo di attraversamento desiderato 45 Phase (degrees) Introduzione di zeri Frequency - log scale Controllo in frequenza -- 19

20 SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA - FINE Ing. Luigi Biagiotti luigi.biagiotti@unimore.it