uniba/economia/microeconomia/clec esercitazione 18-ott Regole di derivazione per gli esercizi di Microeconomia
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- Marta Moro
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1 uniba/economia/microeconomia/clec esercitazione 18-ott Regole di derivazione per gli esercizi di Microeconomia Alcuni esercizi parte del programma di microeconomia prevedono la risoluzione di problemi coinvolgenti le derivate di funzioni. Per risolverli è sufficiente conoscere alcune semplici regole che sono spiegate in questi appunti. Anche se la definizione formale di derivata vi sarà spiegata in modo completo nel corso di matematica è utile ricordare di che cosa si tratta. Consideriamo nella figura 1 la funzione f() = y nel punto 0. La derivata della funzione f() in 0 è sua pendenza in quel punto. Siccome f() non è una retta la sua pendenza cambia in ogni punto e quindi non è immediatamente calcolabile. f() Figura 1: f() 0 La cosa che si può fare facilmente però è ottenere con qualche approssimazione la pendenza della funzione in 0. Se questa è pari al rapporto fra variazione nella 0 e un altro punto 1 e conseguente variazione nella f(). Nella figura 2 la retta tratteggiata ha una pendenza (δ) pari al rapporto fra le due variazioni: δ = f( 1) f( 0 ) 1 0 Se vogliamo migliorare l approssimazione ottenuta con δ dobbiamo semplicemente ridurre la variazione 1 0 come riportato nella figura 3 questo modifica l inclinazione della retta δ 1, δ 2, δ 3,... facendola assomigliare sempre di più alla retta tangente alla curva in quel punto. 1 Questi appunti fanno parte del materiale del corso di Microeconomia del Prof. Coco e del dott. Brunori, brunori@uniba.it 1
2 f() Figura 2: δ f( 1 ) f( 0 ) δ 0 1 Figura 3: δ f() f( 1 ) f( 0 ) Se si porta il ragionamento al limite, quando la variazione in tende a zero, n 0 0, otteniamo esattamente l inclinazione della tangente a f() in 0 : f () = f( 1 ) f( 0 ) lim f () è la derivata della funzione f() rispetto a e ci dice di quanto cresce la funzione a seguito di una variazione marginale di. Per questo motivo le derivate sono uno strumento utilizzato di continuo dagli economisti (ricordare le definizioni di utilità marginale e produttività marginale?). Ci sono alcune semplici regole che servono per trovare la derivata di una funzione (quando esiste). Le regole sono qui elencate per funzioni di una sola variabile, ma 2
3 come vedremo nell esempio della massimizzazione dell utilità del consumatore sono applicabili anche a funzioni di più variabili. Regole di derivazione f() f () esempi k 0 f() = 12, f () = 0 α α f() = 4, f () = 4 f() =, f () = 1 n n n 1 f() = 3, f () = 3 2 ln() 1/ Tabella 1: Regole di derivazione Alcune proprietà delle derivate Se g(), f() sono due funzioni derivabili: 1. h() = g() + f(), h () = g () + f () 2. h() = cf(), h () = cf () L utilizzo delle derivate in microeconomia: un esempio f () può essere scritta anche come f() che fa esplicito riferimento al fatto che si valuta l incremento della funzione al variare della variabile. Questa simbologia è particolarmente utile quando si deriva una funzione di più variabili come ad esempio f(c, ) = 6c + 3 che ha due derivate: f(c, ) c e f(c, ) Un esempio di questo tipo di funzioni è la funzione di utilità Cobb-Douglas presentata dal vostro libro nell appendice 3 (pag. 97) 2. 2 Questa funzione è molto utilizzata in economia perché ha proprietà che la rendono trattabile e perché a partire dai lavori di Charles Cobb e Paul Douglas della fine degli anni 20 si è notato che alcuni fenomeni economici sono ben descritti da questa forma funzionale. 3
4 U(X, Y ) = AX a Y b Dove il livello di utilità U dipende da due beni X, Y. Il problema di scelta ottima del consumatore consiste nello scegliere il paniere che gli procura maggior utilità fra quelli che soddisfano il vincolo di bilancio: P X X + P Y Y = M Abbiamo mostrato graficamente che la soluzione del problema si ottiene imponendo che la pendenza del vincolo di bilancio (P X /P Y ) sia pari al saggio marginale di sostituzione (MU X /MU Y ): P X P Y = MU X MU Y Qua entrano in gioco le derivate perché l utilità marginale è proprio la variazione dell utilià dovuta ad un aumento marginale del bene per cui: MU X = U(X, Y ) X MU Y = U(X, Y ) Y Per ottenere la derivata di U rispetto a X si deve applicare una proprietà e una regola: A e Y b moltiplicano la funzione di X, che è X a. Per cui la derivata (utilizzando la proprietà 2) sarà h (X) = AY b f (X). f (X) si ottiene con la regola della derivata della potenza: f (X) = ax a 1. Per cui h (X) = MU X = AY b ax a 1. Ripetendo lo stesso ragionamento per Y si ha MU Y = AbY b 1 X a. Ottenute le utilità marginali si impone la tangenza fra vincolo di bilancio e curve di indifferenza: P X P Y = AY b ax a 1 AbY b 1 X a = ay bx Da cui si ottiene la relazione che lega quantità di Y ai prezzi: Y = (P X bx)/(). Per identificare quale curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio occorre imporre che somma delle spese nei due beni sia pari al reddito totale M. La funzione di domanda di X è ottenuta sostituendo la condizione di tangenza nel vincolo di bilancio: P X X + P Y P X bx = M 4
5 X(P X + P Xb a ) = M X = M P X (1 + b a ) Questa è la domanda di X come funzione dei prezzi e del reddito. La funzione di domanda può essere ri-scritta moltiplicando sopra e sotto per a. X = Ma P X () = M P X a Questa formulazione ci permette di capire una proprietà importante delle funzioni Cobb- Douglas: la frazione del reddito che spendo per il bene X non dipende dal mio reddito: XP X M = a Tornando al nostro problema di ottimizzazione una volta ottenuta la domanda per il bene X si può sostituire nell espressione della Y ricavata dal vincolo di tangenza e ottenere: Y = P Xb [ ] Ma P X (a+b) = b Ma a+b da cui una funzione di domanda di Y simmetrica a quella della X: Y = M P Y b 5
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