I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

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1 I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per le Scieze Applicate, via A. Scarpa Roma 1 Forma algebrica dei umeri complessi U umero complesso z corrispode ad ua coppia ordiata di umeri reali (x, y). La forma algebrica di u umero complesso z cosiste ell espressioe z = x + iy i = 1 (i = 1) I umeri reali x e y soo detti rispettivamete parte reale e coefficiete dell immagiario di z x = Re z y = Im z Se w è u altro umero complesso cioè w = u + iv le operazioi di somma e prodotto fra z e u si defiiscoo come z + w = (x + u) + i(y + v) z w = (xu yv) + i(yu + xv). Nella somma si sommao separatamete parte reale e coefficieti dell immagiario metre el prodotto si opera simbolicamete teedo coto che i = 1 I particolare l opposto z ed il reciproco z 1 (z 0) di u umero complesso soo z = x iy, z 1 x = x + y i y x, z 0 (x, y) (0, 0). + y I umeri complessi si possoo idetificare co i puti del piao reale ed è particolarmete importate la simmetria rispetto all asse delle ascisse che prede il ome di coiugio. z = x + iy z = x iy 1

2 Il coiugio è ua fuzioe complessa di variabile complessa che coserva le operazioi di somma e prodotto e se applicato due volte cosecutive, tora al valore z di parteza cioè z + w = z + w Cosideriamo il seguete prodotto essedo z = z w = z w z = z zz = (x + iy)(x iy) = x + y = z (1) x + y = (Re z) + (Im z) modulo di z la distaza el piao xy del puto (x, y) da 0. Notiamo che se e solo se z = 0 z = 0 Ora per z 0 si ha dalla (1) z z z = 1 per cui z 1 = z z da cui la formula del reciproco. I umeri complessi, diversamete da quelli reali, o soo u campo ordiabile e coseguetemete o hao sigificato le diseguagliaze fra essi. Ha ivece seso parlare di diseguagliaze fra i moduli ed i particolare si ha Propositio 1 a) z w = z w b) z + w z + w disuguagliaza triagolare z w = z w z w = z w z w = z w z w = z w z w = z z w w = z w alla dimostrazioe di b) premettiamo le diseguagliaze Re z z Re z + Im z Im z z Re z + Im z

3 [ovvie essedo z = Re z + Im z ] e le relazioi Re z = z + z Im z = z z i [ovvie essedo z = x + iy e z = x iy x = Re z y = Im z] Notiamo ifie che z = z Ora z + w = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = = z + Re (wz) + w z + wz + w = = z + w z + w = ( z + w ) Forma trigoometrica dei umeri complessi La rappresetazioe el piao dei umeri complessi permette la loro rappresetazioe mediate coordiate polari che prede il ome di forma trigoometrica ρ = z = x + y = (Re z) + (Im z) θ = arg z x = ρ cos θ y = ρ si θ Se ρ = 0 (cioè z = 0) arg z resta idetermiato. L argometo θ è idividuato a meo di multipli iteri di π (θ + kπ k Z). Può essere coveiete fissare u argometo ad esempio che suole chiamarsi argometo pricipale. Uguagliaze fra umeri complessi π < Arg z π z 1 = z { Re z1 = Re z Im z 1 = Im z 1 z 1 = z { z1 = z arg z 1 = arg z + kπ Prodotto di due umeri complessi i forma trigoometrica z = r(cos θ + i si θ) r = z θ = arg z w = ρ(cos ρ + i si ϕ) ρ = z ϕ = arg w z w = rρ[(cos θ cos ϕ si θ si ϕ) + i(si θ cos ϕ + si ϕ cos θ)] = rρ[cos(θ + ϕ) + i si(θ + ϕ)] 3

4 aturalmete Per cui z w = z w [cos(arg (z w)) + i si(arg (z w))] z w = z w arg (z w) = arg z + arg w Notiamo che la fuzioe è tale che f(θ) = cos θ + i si θ f(θ) f(ϕ) = f(θ + ϕ) il che giustifica la posizioe (che dimostreremo i seguito) e iθ = cos θ + i si θ e la scrittura z = z e i θ (espoeziale complessa) Notiamo che e iθ = 1 (ifatti e iθ = cos θ + i si θ) ioltre poiché arg (z w) = arg z + arg w Moltiplicare z per e iϕ equivale a far effettuare a z ua rotazioe di ϕ Defiizioe di espoeziale i C Formule di Eulero e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) e z = e x (cos y + i si y) e z = e x arg e z = y + kπ k Z e iθ = cos θ + i si θ e iθ = cos θ i si θ Defiizioe di si z & cos z i C cos θ = eiθ + e iθ si θ = eiθ e iθ i e iθ = e iθ si z = eiz e iz i cos z = eiz + e iz 4

5 Radici Osservazioe: z = w { Re z = Re w Im z = Im w { z = w arg z = arg w + kπ Uguagliaza di due umeri complessi k Z Radici sime di u umero complesso w radice sima di z se e solo se w = z suppoiamo z 0 w = w e iϕ z = z e iθ w = w e iϕ = z e iθ quidi { w = z ϕ = θ + kπ ossia { w = z ϕ = θ + k (π) k Z al variare di k le radici sime o soo ifiite; vi soo solo radici distite ifatti ϕ k+p = θ + k (π) + πp coicide (modulo π) co ϕ k ϕ 0 = θ ϕ 1 = θ + π ϕ = θ + 4π {z 1/ } radici sime di z: ϕ 1 = θ + 1 w k = z (π) arg w k = θ + kπ k = 0, 1,,..., 1 z = z e iθ Dado a k i valori iteri cosecutivi si hao gli argometi: ( ) θ, φ 1 = θ + π, φ = θ + 4π,..., φ 1 = θ ( ) 1 + π Geometricamete: le radici esime di u umero complesso si dispogoo, a partire dall agolo θ, sulla circofereza di raggio z e cetro l origie ai vertici di u poligoo regolare di lati iserito ella circofereza. La costruzioe geometrica è equivalete alla ( ) ifatti el passare da ua radice alla successiva si compie u passo pari a 1/ dell agolo giro. Dopo passi si ritora ella posizioe di parteza. 5

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