Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 1 - Introduzione a MATLAB

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 1 - Introduzione a MATLAB MATLAB =MAT(rix)-LAB(oratory) è un ambiente integrato per il calcolo scientifico utilizzabile sia in maniera interattiva che come linguaggio di programmazione. In Matlab ogni quantità (variabile) viene trattata come matrice. Un numero reale è una matrice 1 1. Sono predefinite numerose funzioni di uso generale(built-in functions), e raccolte di funzioni dedicate ad uno specifico argomento (toolboxes). Per informazioni su Matlab: Matlab è un software a pagamento. Octave è un software gratuito che ne riproduce buona parte delle funzioni fondamentali. Per info vedere

2 Matlab in modalità interattiva All avvio di Matlab si accede ad una finestra di lavoro caratterizzata dal prompt >> Tutto quanto inserito dopo il prompt verrà eseguito dopo aver premuto il tasto enter. Se Matlab riconosce il comando digitato produrrà un output in caso contrario segnalerà un errore. In ogni caso il sistema ripropone al termine il prompt in attesa di un nuovo comando. Matlab si chiude con il comando quit 2

3 La prima cosa da fare: >> cd z: Altri comandi del sistema operativo importanti da conoscere: >> pwd Z:\ >> mkdir CalcNum >> ls. CalcNum.. >> cd CalcNum 3

4 Alcuni comandi Matlab importanti da conoscere: >> help >> doc permettono di ottenere informazioni dettagliate su qualsiasi comando. Il comando doc mostra anche quali pacchetti (toolboxes) siano installati nella versione in uso. Ad esempio: >> help sqrt >> doc sin Per cercare il nome esatto di un comando: >> lookfor cosine cerca i comandi nella cui descrizione appare la parola cosine (ATT.NE la documentazione di Matlab è in inglese!) 4

5 Scalari in Matlab Matlab valuta espressioni e le associa a variabili. Assegnazione della variabile z: >> z=6 z = 6 >> 6 6 se non specificato il valore 6 viene assegnato alla variabile ans che contiene sempre l ultimo valore non esplicitamente assegnato ad una variabile. >> a=3+2; >> a a = 5 Il ; alla fine dell istruzione sopprime la visualizzazione a schermo del risultato (ma non l esecuzione dell operazione!). Sono definite le operazioni elementari: +,,, /, (elevamento a potenza). >> a=3+2, b=5-3, d=3*4, e=3/2, f=2^3 5

6 Attenzione alle precedenze: >> 3+2*4 ans= 11 >> 3*2^4 ans= 48 Per alterare l ordine delle operazioni si utilizzano le parentesi tonde. >> (3+2)*4 ans= 20 >> (3*2)^4 ans= 1296 >> (who) whos (elenca le variabili attualmente attive in memoria) e dà alcune informazioni importanti sulle loro caratteristiche (tipo di oggetto, dimensioni...) >> clear all cancella il valore di tutte le variabili attive in memoria. 6

7 Esercizio 1 Posto a = 3,b = 2, calcolare 3 a+b, a+b 2, a+b 2a, 1 Se x = 10,y = 5,z = 2, calcolare 3x 2y 5z 2 (= 1) 8 1 3, 4 64 Se a = 1 3,b = 1 5, calcolare a 3 (1 b+3a) 2 (= 8.3) 7

8 Variabili predefinite: pi (pigreco), i,j (unità immaginaria), Ogni variabile può essere sovrascritta. Per tornare indietro: clear. >>pi >>pi=5; >> clear pi >> pi Numeri Complessi: Oltre ai numeri reali in Matlab sono definiti i numeri complessi, ovvero del tipo: z = Re(z)+iIm(z). Se la variabile i non è stata ridefinita, un tale numero può essere scritto in Matlab nei modi seguenti >> z=5+3i z = i >> y=2.5-2*i y = i 8

9 Funzioni matematiche predefinite: abs(x) x sqrt(x) x exp(x) e x, exp(1) = e = Costante di Nepero 2, log(x) ln(x) sin(x) sen(x) cos(x) cos(x) tan(x) tan(x) asin(x) arcsen(x)... Per vedere l elenco: >> help elfun Attenzione: Se z=a+bi è un numero complesso per definizione si ha z = a 2 +b 2 >> z=2+3i >> abs(z) Attenzione: Sezèunnumeronegativoocomplessolog(z)non da errore ma restituisce il logaritmo complesso >> log(-1) i 9

10 Esercizio 2 Calcolare: y = 2sin(x)cos(x) cos(2x) con x = π/2, (R = 1) y = esin(x2) +cos(x) 2 x+5ln(x) con x = 10, (R = ) 10

11 Vettori in Matlab Assegnazione di un vettore riga: >> w=[1 2 3] w = Assegnazione di un vettore colonna: >> v=[1; 2; 3] w = Altri modi di generare vettori riga: >> v=[1:8] v = >> v=[1:.5:3] v = La sintassi generale è v=[valore iniz:passo:valore finale]. Il passo può essere anche negativo, ad es. v=[10:-.5:1]; 11

12 Il comando linspace(valore iniziale, valore finale, N) genera N valori equispaziati fra valore iniziale e valore finale (estremi compresi). Ad esempio >> v=linspace(0,1,5) Il comando zeros(n,1)( zeros(1,n)) produce un vettore colonna (riga) di lunghezza n con elementi tutti nulli. Il comando ones(n,1) (ones(1,n)) genera un vettore colonna (riga) con tutte le componenti pari a 1. Per accedere alla componente di un vettore: >> v(3) 0.5 Attenzione: in Matlab l indicizzazione inizia da 1 e non da 0! 12

13 Matlab produce un messaggio di errore quando si cerchi di accedere ad una componente non definita, ad esempio: >> z=v(0)??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. Nota: esiste in Matlab la parola chiave end per accedere all ultimo elemento di un vettore. Ad es., se v ha dieci elementi, v(end) equivale a v(10). Per conoscere la lunghezza di un vettore v: >> length(v) 5 Per controllare la dimensione di una variabile v: >> size(v)

14 Operazioni su vettori Dati i vettori v=[ ] e w=ones(1,4). Trasposizione: >> u=v u = Somma (sottrazione) algebrica tra vettori di ugual dimensioni >> v+w >> v-w Prodotto scalare (v,w) = (v 1 w 1 +v 2 w v n w n ). >> dot(v,w) (oppure v*w se v e w sono vettori riga) 10 14

15 Norma euclidea v = n i=1 v2 i : >> norm(v,2) (oppure >> norm(v)) Operazioni su vettori componente per componente. Consideriamo i vettori di ugual dimensione a=[ ], b=[ ]. il prodotto componente per componente genera il vettore: (a 1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3,a 4 b 4 ) >> a.*b la divisione componente per componente genera il vettore: (a 1 /b 1,a 2 /b 2,a 3 /b 3,a 4 /b 4 ) >> a./b

16 l elevamento a potenza componente per componente genera il vettore: (a b 1 1,a b 2 2,a b 3 3,a b 4 4 ) >> a.^b Le stesse operazioni possono essere applicate a vettori colonna (o a matrici come vedremo in seguito). È necessario però che gli operandi abbiano la stessa dimensione, fa eccezione il caso in cui uno dei due é una costante: >> a.^ Esercizio 3 Generare gli interi da 28 a 80 con passo 1 generare gli interi da 22 a -10 con passo -4 generare 125 punti equispaziati tra -1 e 5 Assegnati i vettori u = [1,0,2, 3] e v = [3;0;2;1] a) calcolarne il prodotto scalare in due modi diversi; cosa fornisce il prodotto v u? b) calcolare i vettori colonna z, w, y definiti, componente per componente, da z i = u i v i, w i = u v i i, y i = z i /w i 16

17 Manipolazione di sottoblocchi di vettori e concatenazione Siano v=[ ] e w=[ ]. Per sostituire alle ultime due componenti di v le componenti di w: >> v=[ ]; w=[ ]; >> v(end-1:end)=w v= Pereliminaredavlaterzaelaquartacomponenteusiamoilvettore vuoto []: >> v=[ ]; >> v(3:4)=[]; v= Per concatenare i due vettori: >> z=[v w] z=

18 Altre funzioni predefinite sui vettori >> v=[1,5,3]; >> sum(v) 9 >> prod(v) 15 >> max(v) 5 >> min(v) 1 >> sort(v) >> diff(v) % => [v(2)-v(1), v(3)-v(2),...v(end)-v(end-1)]

19 Esercizio 4 Sia x = [ 3,5,8,0,1,5, 2,4]: - imporre 6 elemento =100 - togliere 4 elemento - aggiungere in testa = [1,2,3] Siconsiderilasuccessionediterminen-esimoa n = sin(n 2 )con n 1. Si calcolino il più grande e piú piccolo numero tra i primi 10 elementi della successione. Suggerimento: Sieseguanooperazionisulvettore[1,2,3,...,10]. (Soluzioni: max = , min = ) Siconsiderilasuccessionediterminen-esimoa n = 1/n,n 1. - Calcolare la somma dei primi 100 termini della successione. - Fissato n = 20, calcolare le seguenti quantità: n 1 a i+1 B1 =, B2 = n (a i +a 1 ) a i i=1 i=2 ( Soluzioni: B1 = , B2 = ) - Per n = 10,100 calcolare il vettore b di componenti b i = a i+1 a i e verificare che la somma delle sue componenti è uguale a a n 1. N.B. Si risolva l esercizio eseguendo operazioni vettoriali. 19

20 Programmare con Matlab: Script-files Che cos è uno script-file? È un file con estensione.m (ad esempio: myfile.m). Contiene una sequenza di istruzioni Matlab, scritte come se fossero digitate in modalità interattiva. Digitando il nome di uno script-file a destra del prompt: >> myfile vengono eseguite in successione tutte le istruzioni contenute nel file. Le variabili assegnate in uno script-file sono visibili dall esterno, ovvero persistono in memoria al termine dell esecuzione. 20

21 Alcune buone regole Il nome di uno script-file deve essere diverso dai nomi delle variabili che esso elabora e dai nomi delle variabili presenti in Workspace, altrimenti non verrà eseguito. Non assegnare ad uno script-file il nome di una funzione predefinita di Matlab. Per verificare se un nome esiste già: >> exist( nome ) Esempio Scrivere uno script-file che dato n N, calcoli il fattoriale n! = (n 1) n Per genereare un nuovo script-file selezioniamo dal menu: file new Mfile fattoriale.m n=input( inserisci numero intero positivo ) fact=prod([1:n]) disp( fattoriale= ) disp(fact) 21

22 Molte funzioni Matlab, come ad esempio tutte le funzioni matematiche predefinite viste in precedenza accettano come argomenti in entrata anche dei vettori. Non è il caso invece dello script file fattoriale che abbiamo appena definito. Esiste però una funzione predefinita di Matlab che calcola il fattoriale di ogni componente di un vettore se questo gli viene passato in input invece di un semplice scalare >> factorial([2 4]) 2 24 Questa proprietà di Matlab permette di scrivere codici in forma vettoriale che risultano più chiari, compatti e veloci eliminando in molti casi l uso di cicli. È importante abituarsi sin da principio ad utilizzare Matlab in modo vettoriale. Esempio Un approssimazione del fattoriale di un numero naturale n è data dalla funzione seguente, detta approssimazione di Stirling S(n) = ( n n 2πn e) Scriviamo uno script file per costruire una semplice tabella contenente i valori dell approssimazione di Stirling per il fattoriale dei primi 10 numeri naturali a confronto con i valori del fattoriale esatti. Salviamo le righe di codice che seguono in un file di nome stirling.m 22

23 n=[1:10] ; Sn= sqrt(2*pi*n).*(n./exp(1)).^n; fn=factorial(n); disp( n n! S(n) ) [n fn Sn] Se eseguiamo questo script otteniamo: >> stirling n n! S(n) ans= e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+06 23

24 Esercizi di riepilogo: 1. Calcolare: y = e 2x cos(3x) 3 x+1 con x = 3, (R = ) a = e2 cos(π/6)+1, (R = 1,4512) 4+ln(3) 2. generare gli interi da -13 a 75 con passo 2 generare i punti tra -2.7 a 8.3 con passo 1.5 (cosa si osserva?) generare 100 punti equispaziati tra 2 e 3 generare 150 punti equispaziati tra -2 e 3 3. Sia x = [ 1,2,3,8,10,5, 4,3]: imporre 1,2,3 elemento = [5,6,7] aggiungere in coda = [10,11,12] togliere, con un solo comando, dal 4 al 7 elemento compresi. 4. Verificare per n = 10,100 le seguenti uguaglianze n i=1 i = n(n+1) ; 2 n i=1 i 2 = n(n+1)(2n+1) 6 Suggerimento: Sieseguanooperazionisulvettore[1,2,3,...,n]. 24

25 5. Siconsiderilasuccessionediterminen-esimoa n = 1/n,n 1. Calcolare il prodotto dei primi 10 termini di indice dispari della successione. 6. Assegnato il vettore x contenente 10 punti equispaziati nell intervallo [0, 2 π] costruire una tabella contenente su tre colonne i valori di x e delle funzioni seno e coseno valutate nei punti di x. 25