SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (EUROPA) SESSIONE ORDINARIA 2013 QUESITO 1

Transcript

1 SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (EUROPA) SESSIONE ORDINARIA 2013 QUESITO 1 Dat un triangl ABC, si indichi cn M il punt medi del lat BC. Si dimstri che la mediana AM è il lug gemetric dei punti P del triangl, tali che i triangli ABP e ACP hann aree uguali. Suppniam P appartenente alla mediana AM e dimstriam che i due triangli ABP e ACP hann la stessa area. I triangli ABM ed ACM hann la stessa area piché hann ugual base (BM ed MC) ed ugual altezza (l altezza relativa a BM è uguale a quella relativa ad MC, in quant è l altezza del triangl ABC relativa a BC). Anche PBM e PCM hann la stessa area (BM è uguale ad MC e l altezza relativa a BM ed MC è la stessa, h). Per differenza si ha che ABP e ACP hann la stessa area. Suppniam ra che i due triangli ABP e ACP abbian la stessa area e dimstriam che P appartiene alla mediana AM. Pres un punt generic P intern al triangl, tale che ABP e ACP abbian la stessa area, indichiam cn M l intersezine della retta AP cn BC: dbbiam dimstrare che M è il punt medi di BC, ciè che BM ed MC sn uguali. Piché ABP ed ACP hann la stessa area e la base AP in cmune, le altezze relative a tali lati (k ed m) sn uguali: ciò equivale a dire che la distanza di A dalla retta AM è uguale alla distanza di C dalla stessa retta AM. Ma allra i due triangli ABM e ACM hann la stessa area ( base AM cmune è uguali altezze relative k ed m). Ne segue che, per differenza, anche i triangli APM e PCM hann la stessa area; ma l altezza relativa alle basi AM ed MC è la stessa (h), quindi le basi BM e CM devn essere uguali, c.v.d. 1 / 7

2 QUESITO 2 In un libr si legge: Ogni misura di grandezza implica una nzine apprssimativa di numer reale. Si chiede di spiegare, eventualmente cn qualche esempi, il significat di tale frase. Ricrdiam che il termine grandezza sta ad indicare una qualità dei crpi che sddisfa due prprietà: la cnfrntabilità e l additività. Le grandezze hann anche un altra caratteristica: sn misurabili. Misurare una grandezza, riferiamci per esempi ai segmenti, vul dire stabilire quante vlte una grandezza mgenea, scelta cme unità di misura, è cntenuta in essa. Il numer che si ttiene si chiama lunghezza del segment. Se le grandezze sn cmmensurabili, il lr rapprt è un numer razinale (psitiv), se sn incmmensurabili (cme, ad esempi, la diagnale di un quadrat ed il lat del quadrat stess) il lr rapprt è un numer irrazinale (psitiv). Quindi il cncett di misura di una grandezza implica la nzine di numer reale. QUESITO 3 Si verifichi l identità: 2ctg(2α) + tg(α) = ctg(α). Siccme: ctg(2α) = 1 = 1 tg2 (α) tg(2α) 2tg(α) si ha: 2ctg(2α) + tg(α) = 2 1 tg2 (α) + tg(α) = 1 tg2 (α) 2tg(α) tg(α) = 1 1 tg(α) + tg(α) = = ctg(α). tg(α) tg(α) + tg(α) = QUESITO E apprpriat definire una retta tangente a una curva C in un punt P di C cme una retta che ha un sl punt in cmune cn C? Si mtivi esaurientemente la rispsta. N, nn è apprpriat. Diam alcuni esempi: la retta a, parallela all asse di una parabla, ha cn la curva un sl punt in cmune ma nn è tangente. La retta b è tangente in D alla curva ma nn ha cn essa un sl punt in cmune. La retta c ha cn la curva un sl punt in cmune, ma in realtà sn tre cincidenti (si tratta della tangente inflessinale di una cubica). 2 / 7

3 In generale un retta t è tangente ad una curva C in un punt P se ha cn C almen due intersezini cincidenti in P (t può avere, eventualmente, altre intersezini cn la curva ltre a P). La definizine più cmpleta è la seguente: Data una curva C ed un su punt P, cnsideriam un generic punt Q della curva e sia r la retta che cngiunge P cn Q. Se esiste la psizine limite t di r, quand Q si avvicina a P in md qualsiasi, la retta t è detta tangente alla curva in P. Nel punt P della curva C seguente, nn esiste la tangente, piché nn esiste la psizine limite della generica secante (esiste il limite destr ed esiste il limite sinistr, quindi esisterann due semitangenti, ma nn esiste la tangente): 3 / 7

4 QUESITO 5 Si faccia un esempi di una funzine, definita per tutti i numeri reali x, che sia priva di derivata: a) in un cert punt; b) in più punti; c) in infiniti punti. (a) f(x)= x è definita su tutt R ed è derivabile dappertutt tranne che in x=0 (dve c è un punt angls) 3 f(x) = x è definita su tutt R ed è derivabile dappertutt tranne che in x=0 (dve c è un punt di fless a tangente verticale) f(x) = x è definita su tutt R ed è derivabile dappertutt tranne che in x=0 (dve c è una cuspide) (b) La funzine di equazine f(x) = x 2 è definita su tutt R ed è derivabile dappertutt tranne che in x=-2 e x=2 (dve ci sn dei punti anglsi) / 7

5 (c) f(x) = sen(x) è definita su tutt R ed ha infiniti punti di nn derivabilità, e precisamente punti anglsi per x = + k, cn k Z QUESITO 6 Un cn rtnd ha altezza h = 5 dm e raggi r = 3 dm. Si vule diminuire la prima di quant si aumenta il secnd in md che il vlume del cn aumenti del 30 %. Si dica se la questine ammette sluzini e, in cas affermativ, si dica quali sn. V 1 = 1 3 r2 h, V 2 = 1 3 (r + x)2 (h x) = 1.3 V 1, cn 0<x<5 1 (r + 3 x)2 (h x) = r2 h (3 + x) 2 (5 x) = = Eseguend i calcli si arriva all equazine: x 3 x x + 5 = x 3 + 2x 2 2x + 27 = 0 che equivale a: 2x 3 = 2x 2 + 2x 27. Rappresentand graficamente le curve di equazini y = 2x 3 e y = 2x 2 + 2x 27 Si verifica che ci sn due sluzini accettabili: 0 < x 1 < 1 e 3 < x 2 < (un studi più apprfndit prta a x e x / 7

6 QUESITO 7 Si vglin cstruire cn un determinat materiale, delle scatle, senza cperchi, aventi una base quadrata e facce rettanglari. Se si vule che il vlume di gni scatla sia 256 dm 3 quali sn le dimensini della scatla che richiedn la minima quantità di materiale? N.B nel test c è un evidente errre nell unità di misura del vlume (dat in dm 2 ) Indichiam cn a il lat del quadrat di base e cn h l altezza della scatla (parallelepiped rett a base quadrata). Risulta: V = a 2 h = 256 da cui h = 256 a 2 La grandezza da rendere minima (superficie laterale più una base) è: S = a 2 + S l = a 2 + ah = a 2 + a 256 a 2 = a (a > 0) a S = 2a 102 a 2 0 se 2a a 2 0, a 512 = 8 S quindi decresce per 0 < a < 8 e cresce per a > 8, pertant è minima se a = 8 6 / 7

7 QUESITO 8 La superficie piana S, delimitata dalla curva γ di equazine y = 1 + tgx e dall'asse x nell'intervall 0 x, è la base di un slid Σ, le cui sezini, ttenute cn piani perpendiclari all'asse x, sn tutte triangli equilateri. Si calcli il vlume di Σ. Il vlume richiest si ttiene calcland il seguente integrale: V = S(x)dx Dve S(x) è l area del triangl equilater di lat f(x) = 1 + tgx. Quindi: S(x) = (1 + tgx) 2 3. Pertant: V = S(x)dx = V = 3 (1 + tgx)2 dx = 3 (1 + 2tgx + tg2 x) dx (1 + 2tgx + tg 2 x) dx = (1 + tg 2 x + 2tgx) dx = tgx 2ln cs(x) + K V = 3 [tgx 2ln cs(x) ] 0 = 3 3 [1 2ln ( 2)] = 2 [1 ln (1 2 )] = = 3 (1 + ln2) u3 Cn la cllabrazine di Angela Santamaria, Simna Scleri e Stefan Scleri 7 / 7