Comportamento Meccanico dei Materiali. Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione. Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione.

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1 . Principio di de Saint Venant Nee precedenti schede abbiamo visto come si ottengono e componenti de tensore dee tensioni per un soido di de Saint Venant. Moto spesso i soidi che devono essere cacoati non sono a rigore dei soidi di de Saint Venant perché presentano dee brusche variaioni di seione (vedi figura); ci chiediamo se possiamo ancora utiiare e formue viste anche in questi casi. In effetti viene in nostro aiuto i Principio di de Saint Venant che possiamo così esporre: e modaità con cui i vincoi e carichi sono appicati interessano soo a ona di appicaione non conformità dea geometria (brusche variaioni) provocano perturbaioni di carattere ocae estensione dea ona disturbata è circa uguae aa dimensione trasversae de soido In presena di brusche variaioni di geometria (intagi) e tensioni ocai possono essere cacoate a partire dae tensioni nominai, cioè quee cacoate con e formue vaide per i soido di de Saint Venant. Equiibrio dei corpi Un sistema di fore appicato ad un corpo comporta dei moti rigidi e degi spostamenti ocai, dovuti aa deformabiità dea struttura. Quando gi spostamenti ocai sono piccoi rispetto ae dimensioni de corpo, questo può essere trattato come un corpo rigido. Se i sistema di fore appicate non permette moti rigidi i corpo si dice in equiibrio statico. Per un corpo in equiibrio statico a risutante dee fore appicate e quea dei momenti (rispetto ad un punto quaunque) devono essere nue: R = = 0 M M i o = = 0 Queste equaioni vettoriai diventano 6 equaioni scaari neo spaio: o i Poitecnico di Torino Pagina 1 di 16 Data utima revisione 2/10/00

2 Rx = = 0 M M xi x = x = 0 i R = = 0 M M i = = 0 i R = = 0 M M i = = 0 i e tre equaioni scaari in un piano (ad esempio i piano ): R = = 0 i R = = 0 i Mx = Mx = 0 i Nea figura è riportato un esempio di equiibrio statico di un corpo. 2 2 M x5 5 1 o 1 o = = M x5 = 0 Linee di distacco Se sono note tutte e fore appicate e caratteristiche di sono facimente determinabii. I metodo è queo di isoare una parte de corpo tramite una inea di distacco. Questa parte de corpo deve rimanere in equiibrio graie ae fore appicate sua porione de corpo isoata e ae caratteristiche di nea seione che viene tagiata. Utiiando e equaioni di equiibrio risuta quindi facie ricavare e caratteristiche di incognite. Ne caso dee travi, graie aa monodimensionaità, è possibie schematiare a trave in esame mediante a soa inea d asse e considerare tutte e fore e i momenti agenti appicate a tae inea. A questo proposito si ricorda che ad una fora agente ad una distana d da una inea e ad essa paraea è possibie sostituire a stessa fora agente sua inea più un momento di trasporto pari a prodotto fra a fora e a distana d. Poitecnico di Torino Pagina 2 di 16 Data utima revisione 2/10/00

3 d M=d Si consideri come esempio a trave in figura soggetta ae fore e ai momenti indicati (tutti noti): 2 M x e si vogiano cacoare e caratteristiche di nea seione * 2 M x1 2 2 T N 1 1 * * M x Sarà sufficiente sostituire aa parte de corpo non compresa nea inea di distacco (tratteggiata) e corrispondenti caratteristiche di (essendo un probema piano si avranno come caratteristiche di o sforo normae N, i tagio T ungo e i momento fettente M x ). I versi positivi di tai caratteristiche di sono determinati daa regoa dea mano destra ed indicati in figura. A questo punto, utiiando e equaioni di equiibrio per i caso piano, si possono scrivere tre equaioni nee tre incognite N, T, M x, in particoare una equaione aa trasaione oriontae () una nea direione trasversae () ed una di momento rispetto ad un punto quaunque, ad esempio origine o degi assi da cui si ricavano e incognite. 1 + N = T = 0 o T * + M x = 0 I punto attorno a quae viene scritta equaione di momento è indifferente; se ad esempio si utiia i punto di coordinata * utima equaione viene sostituita daa: ma i risutato ovviamente non cambia. * M x + 1 (*- 1 )- 2 (*- 2 )- (*- )=0 Poitecnico di Torino Pagina di 16 Data utima revisione 2/10/00

4 Si noti che e equaioni di equiibrio sono scritte considerando a struttura indeformata, cioè si trascurano gi spostamenti ocai. Tae assunione, necessaria per ottenere dee reaioni ineari, è vaida soo se gi spostamenti sono piccoi rispetto ae dimensioni dea struttura. Questo è generamente vero in quanto gi spostamenti eastici sono di soito piccoi, ma in acuni casi assunione deve essere verificata con i metodi che vedremo in seguito. Cassificaione dei carichi I carichi che possono essere appicati ad una struttura possono essere sia di tipo concentrato, come visto finora, sia di tipo distribuito. concentrate (N ) ore di inea q (N /m ) (N /m m ) distribuite di superficie p (P a ) (M P a ) di voume p v (N/m ) (N/mm ) concentrati b Momenti p M = b (Nm) (Mmm) b distribuiti m = pb (Nm/m) (Nmm/mm) Poitecnico di Torino Pagina 4 di 16 Data utima revisione 2/10/00

5 Le fore concentrate hanno natura vettoriae, in quanto sono definite assegnandone moduo direione e verso. L unità di misura dee fore ne SI (Sistema internaionae) è i Newton (N). Otre ae fore concentrate esistono dee fore distribuite di inea (ad es. i peso per unità di unghea di una trave), di superficie (ad es. a pressione idrostatica) e di voume ad esempio i peso proprio). Atri carichi possibii sono i momenti. I momento di una fora rispetto ad un punto O è dato da prodotto esterno fra a fora e a distana d de punto O daa retta d aione dea fora: MO = d I momenti concentrati sono vettori perpendicoari sia a sia a a segmento d. L unità di misura ne SI è i Newton per metro (Nm) ma in meccanica spesso si utiia i Nmm. Anche in questo caso possono esistere dei momenti distribuiti (su una inea). A rigore i carichi concentrati non esistono, in quanto appicaione de carico interessa sempre una ona più o meno estesa ma finita. Ai fini pratici si assume che un carico sia concentrato quando a ona di appicaione de carico è piccoa rispetto ae dimensioni caratteristiche dea struttura. La presena di carichi distribuiti contraddice ae ipotesi reative a soido di de Saint Venant, in quanto questi carichi non sono appicati soo ae basi. Si possono comunque utiiare e souioni viste sostituendo ai carichi distribuiti a oro risutante e cacoando e perturbaioni ocai a parte. Cassificaione dei vincoi e reaioni vincoari Le fore che agiscono sue strutture non sono a priori tutte note. Infatti otre ae fore appicate, concorrono a equiibrio anche i vincoi che coegano a struttura a terreno o a teaio dea macchina (vincoi esterni) o che coegano fra oro eementi diversi dea struttura (vincoi interni). I vincoi possono essere considerati da due punti di vista: da punto di vista cinematico essi impongono acuni spostamenti e/o rotaioni ai punti dea struttura in cui sono appicati, ad esempio annuandoi, (vincoi esterni) o impongono spostamenti e/o rotaioni uguai a due parti dea struttura (vincoi interni); da punto di vista statico i vincoi trasmettono dee fore e dei momenti; i vincoi interni trasmettono fore e momenti fra un corpo e atro, i vincoi esterni trasmetto dee fore e momenti che vanno ad equiibrare i carichi appicati; tai fore e momenti vengono detti reaioni vincoari che sono, a priori, incognite. Considerando un probema piano, i vincoi possono essere sempici, doppi o tripi in base a numero di spostamenti e rotaioni che impediscono e, conseguentemente, a numero di reaioni che trasmettono a corpo in esame. Nee figure seguenti sono indicati i principai tipi di vincoi ne piano con a oro rappresentaione grafica. Si considerano soo i vincoi ne piano perché è consuetudine ridurre probemi spaiai a due probemi piani (su piani ortogonai). Poitecnico di Torino Pagina 5 di 16 Data utima revisione 2/10/00

6 Vincoi esterni ne piano sempici impediscono 1 movimento 1 reaione v. Vincoi esterni ne piano doppi impediscono 2 movimenti 2 reaioni v. Appoggio Biea Reaione Cerniera (fissa) Doppia biea Reaioni Vincoi esterni ne piano doppi impediscono 2 movimenti 2 reaioni v. Vincoi esterni ne piano tripi impediscono movimenti reaioni v. Carreo sena cerniera Doppia biea paraea Incastro Reaioni Incastro scorrevoe Vincoi interni ne piano Reaioni Tripa biea (non concorrenti) Vincoi interni ne piano T 2 T 2 Cerniera interna (vincoo doppio) H 1 H 2 T 1 Reaioni Coppia prismatica (vincoo doppio) M 1 M 2 T 1 H 1 = H 2 T 1 = T 2 M 1 = M 2 T 1 = T 2 Si deve fare attenione a fatto che o stesso dispositivo fisico può avere effetti diversi nei due piani considerati e deve essere quindi schematiato in modo diverso nei due casi. Grado di iperstaticità Ci chiediamo adesso se è possibie cacoare facimente e reaioni vincoari. Questo è possibie soo se i numero di reaioni vincoari incognite è uguae a numero di equaioni di equiibrio dea struttura che possiamo scrivere. Si consideri una struttura composta da m corpi rigidi coegati fra oro e con i teaio tramite dei vincoi. I numero di equaioni di equiibrio che è possibie scrivere è: e = m Poitecnico di Torino Pagina 6 di 16 Data utima revisione 2/10/00

7 I numero di spostamenti impediti, e quindi di reaioni vincoari incognite sarà: ( ) v = i+ 2 c+ p + a dove i è i numero di incastri, c e p sono i numeri di cerniere e di coppie prismatiche, a è i numero di appoggi che coegano a struttura a teaio o i vari corpi in cui si suddivide a struttura. Si definisce come grado di iperstaticità h a differena fra i numero di incognite e i numero di equaioni disponibii: ( ) h= v e= i+ 2 c+ p + a m se h < 0 a struttura è abie, cioè e fore appicate, se non sono autoequiibrate, provocano dei moti rigidi; se h = 0 a struttura è isostatica, ed è in equiibrio statico quaunque sia i sistema di fore appicato; se h > 0 a struttura è iperstatica, è in equiibrio statico ma i numero di fore incognite è superiore a numero di equaioni indipendenti che è possibie scrivere. Considerando corpi rigidi a condiione necessaria affinché si possano cacoare e reaioni vincoari è che a struttura sia isostatica, cioè che sia h = 0. Nee figure seguenti sono riportati degi esempi di cacoo de grado di iperstaticità. m = 1 v = 0 h = - c=1 m = 1 v = 2 h = -1 i=1 m = 1 v = h = 0 i=1 a=1 m = 1 v = 4 h = 1 c=1 a=1 m = 1 v = h = 0 c=2 m = 1 v = 4 h = 1 i=1 c=1 m = 1 v = 5 h = 2 i=2 m = 1 v = 6 h = c=2 a=1 m=2 v=5 h=-1 i=1 c=1 a=1 m=2 v=6 h=0 c= m=2 v=6 h=0 c=1 a=2 m=2 v=6 h=0 Bisogna comunque fare attenione a fatto che h = 0 è condiione necessaria ma non sufficiente affinché sia possibie cacoare e reaioni vincoari, infatti i vincoi appicati devono essere efficaci, cioè togiere aa struttura tutti i possibii gradi di ibertà. Se si considera i caso dea figura sotto si vede che appicaione di tre appoggi (h= 0) su una stessa inea d asse non togie aa struttura a abiità oriontae, mentre rende a struttura iperstatica nea direione verticae Bisogna inotre fare attenione ae strutture anomae, dove a disposiione dei vincoi crea dee cerniere virtuai che rendono abie a struttura. Poitecnico di Torino Pagina 7 di 16 Data utima revisione 2/10/00

8 h = -1 h = 0 cerniera virtuae m= c=4 a=1 h=0 Cacoo dee reaioni vincoari I cacoo dee reaioni vincoari di una struttura isostatica è effettuato sostituendo a vincoo a reaione vincoare incognita (se i vincoo è doppio o tripo tue e reaioni vincoari incognite) e scrivendo quindi e equaioni di equiibrio dea struttura. Risovendo tai equaioni si ricavano i vaori dee incognite. Nee figure si riportano due esempi di cacoo dee reaioni vincoari per un corpo sempice ne piano. Si noti che i carichi distribuiti possono essere sostituiti daa oro risutante (appicata a oro baricentro). M H V H = 0 V+=0 V = - o M-=0 M = M /2 H = 0 q H V q V+q=0 V = -q o M-q /2 =0 M = q 2 /2 Poitecnico di Torino Pagina 8 di 16 Data utima revisione 2/10/00

9 Per e strutture con vincoi interni, cioè composte da più corpi, in primo uogo si separano i corpi, sostituendo ai vincoi e fore scambiate. Poi per ognuno dei due corpi vengono scritte e equaioni di equiibrio: 2 1 a b H 2 V 2 H 2 b1 d 2 H 1 a V 2 b d 2 b 2 V1 c1 H V c 2 a1 a2 Corpo a H1 H2 = 0 V1+ a V2 = 0 a c1+ H2 b1 V2 a1 = 0 Corpo b H+ H2 b = 0 V2 + V = 0 b d2 H2 b2 V2 a2 = 0 Ottenendo così sei equaioni in sei incognite. La sceta dee inee di distacco non è univoca: ne nostro caso una aternativa e presentata nea figura sotto 2 1 a b Si noti che non è necessario scrivere sempre e equaioni di equiibrio finora utiiate (trasaione oriontae, trasaione verticae e momento rispetto ad un punto). L importante è che e tre equaioni ne piano siano inearmente indipendenti. Le aternative possibii risutano essere: due equaioni di equiibrio aa trasaione (dir. non paraee) e una equaione di equiibrio aa rotaione due equaioni di equiibrio aa rotaione (punti diversi) e una equaione di equiibrio aa trasaione in direione non perpendicoare aa congiungente i due punti tre equaioni di equiibrio aa rotaione intorno a punti non aineati. Poitecnico di Torino Pagina 9 di 16 Data utima revisione 2/10/00

10 Eserciio -1a Data a struttura schematiata in figura cacoare e reaioni vincoari. Dimensioni: a= 70 mm, b= 80 mm, c= 100 mm; ore 1= 1000 N, 2 = 1500 N Risovere prima in modo etterae. 1 2 a b c Eserciio -1b Data a struttura schematiata in figura cacoare e reaioni vincoari. Dimensioni: a= 70 mm, b= 80 mm, c= 100 mm; ore 1= 1000 N, 2 = 1500 N Risovere prima in modo etterae. 1 2 a b c Eserciio -1c Data a struttura schematiata in figura cacoare e reaioni vincoari. Dimensioni: a= 90 mm, b= 15 mm, c= 75 mm; ore 1= 1000 N, 2 = 1500 N Risovere prima in modo etterae. 1 2 a b c Eserciio -1d Data a struttura schematiata in figura cacoare e reaioni vincoari. Dimensioni: a= 90 mm, b= 15 mm, c= 75 mm; ore 1= 1000 N, 2 = 1500 N N Risovere prima in modo etterae. 1 2 a b c Poitecnico di Torino Pagina 10 di 16 Data utima revisione 2/10/00

11 Diagrammi dee caratteristiche di Una vota note e reaioni vincoari sono note tutte e fore agenti sua trave, ed è quindi possibie vautare e caratteristiche di in ogni seione. Per visuaiare andamento dee caratteristiche di nee parti dee strutture è comodo utiiare dei diagrammi che riportano i vaore di ogni caratteristica in funione dea posiione. Tai diagrammi vengono disegnati sua inea d asse dee struttura stessa che funge da ascissa, mentre in ordinata viene diagrammata a caratteristica in esame. Si vogiano per esempio tracciare e caratteristiche di dea struttura in figura (mensoa incastrata). In primo uogo si cacoano e reaioni vincoari. L L P M= P H= - P V=- Per i cacoo dee caratteristiche di è necessario distinguere in quae tratto si trova a seione considerata; infatti sono diversi i carichi da incudere nee equaioni di equiibrio. Si consideri a coordinata * ; bisognerà distinguere i due casi in cui * < e * >. ne primo caso e equaioni di equiibrio in funione di * saranno: M= *< * N= -H=P T =-V= M x =-M-V*=(*-) mentre per * > si avrà: M= *> T =0 H= -P V=- N=-H=P M x =0 (M x +M+V*+(*-)=0 => M x =-+*-(*-)=0) In definitiva, utiiando e equaioni scritte in precedena si avranno i diagrammi dee caratteristiche di riportati a sotto. Poitecnico di Torino Pagina 11 di 16 Data utima revisione 2/10/00

12 L N=P T = + + max(m x )= - - Si noti che andamento de tagio è costante, mentre queo de momento è ineare. Infatti abbiamo già visto che i tagio è a derivata de momento: dm T = x d La pendena de momento cambia nei punti di appicaione dee fore. Si consideri adesso i caso di una mensoa soggetta ad un carico uniformemente distribuito in direione trasversae. Per comodità si utiia una diversa coordinata ζ che ha origine a estremità ibera dea trave; si noti che in questo caso a faccia dea seione di vota in vota considerata è di tipo negativo. Si ottengono e equaioni in funione di ζ riportate in figura: V=-q ζ q M = q 2 /2 q ζ N=0 T =qζ M x =-q ζ ζ/2= -q ζ 2 /2 e quindi i diagrammi dee caratteristiche di riportate sotto: max(t )=q + max(m x )= -q 2 /2 - Poitecnico di Torino Pagina 12 di 16 Data utima revisione 2/10/00

13 Si noti che andamento de tagio è ineare mentre queo de momento è paraboico. anche in questo caso vae a reaione fra momento e tagio. dm T = x d Ne caso in cui vi sia un carico distribuito, si può inotre ricavare una reaione fra tagio T e carico distribuito q considerando equiibrio di un eemento di trave. Nei due piani e x si hanno e seuenti reaioni: M x T q d T +dt M x +dm x M T x q x d T x +dt x M +dm dt = q d dmx d = T dt x = q d dm d = Tx Vi sono acune proprietà dei diagrammi utii sia per tracciari in modo veoce sia per un eventuae controo: sena carico distribuito q: andamento de tagio T è costante, queo de momento fettente M è ineare con carico distribuito q (costante): andamento de tagio T è ineare, queo de momento fettente M è paraboico in corrispondena di una fora concentrata: discontinuità de diagramma di tagio T, e una variaione di pendena de momento fettente M in corrispondena di una coppia concentrata i tagio T non varia mentre i momento fettente M presenta una discontinuità. In corrispondena di appoggi di estremità (sena coppia concentrata) e di cerniere (che interrompono a continuità) i momento fettente si annua. Eserciio -2a Con riferimento a eserciio -1a tracciare i diagrammi dee caratteristiche di Eserciio -2b Con riferimento a eserciio -1b tracciare i diagrammi dee caratteristiche di Eserciio -2c Con riferimento a eserciio -1c tracciare i diagrammi dee caratteristiche di Eserciio -2d Con riferimento a eserciio -1d tracciare i diagrammi dee caratteristiche di Poitecnico di Torino Pagina 1 di 16 Data utima revisione 2/10/00

14 Eserciio - Una trave di seione rettangoare 60x40 mm unga 2 m, appoggiata ae estremità, è soggetta ad un carico verticae di 6000 N che agisce nea meeria. Cacoare e massime tensioni normai e tangeniai. =6000 N 60 = = Eserciio -4 Una trave IPE 120 UNI 598 unga 2 m è soggetta ai carichi indicati in figura. Determinare e tensioni agenti sua trave. 1 = 15 KN 2 = 15 KN x Caratteristiche dea seione: A = mm 2 J xx = mm 4 J = mm 4 ) Eserciio -5 Una trave incastrata unga 500 mm, di seione circoare 5 mm, è soggetta ad un momento torcente M = 60 Nm, ad un carico distribuito in direione verticae (q) di 700 N/m diretto verso i basso, ad un carico = 1000 N verso ato ed un carico in direione oriontae x = 1200 N, appicati a estremità ibera dea seione. Cacoare a tensione ideae ne punto più soecitato dea trave. x q x = 500 M Poitecnico di Torino Pagina 14 di 16 Data utima revisione 2/10/00

15 Eserciio -6 La figura iustra schematicamente un assae ferroviario con i carichi ad esso appicati. Si noti che, a causa dea geometria de contatto fra ruota e rotaia, se a rotaia appica un carico P in direione verticae, sarà presente anche un carico oriontae P pari ad un ventesimo di P.(ne nostro caso 5000 N). Cacoare e tensioni agenti ne tratto fra e due ruote. φ 920 φ kn φ kn P = P/ P Eserciio -7 Nea figura è schematiato i braccio di un paranco formato da una trave oriontae di seione rettangoare cava incernierata in un muro e da un asta 1 che funge da tirante. Cacoare e tensioni agenti. B Se. BB 1 B A 20 b 40 6 Se. AA 100 A 2 P 50 Dati: 1 = 1 m ; 2 = 1.5 m; = 0.9 m b= 100 mm; P = 5 kn Eserciio -8 La figura iustra schematicamente abero di rinvio fra due ruote dentate a denti diritti con angoo di pressione di 20. I cuscinetto di sinistra è boccato sia su aneo esterno sia su aneo interno e sopporta eventuai carichi assiai; i cuscinetto di destra è ibero di muoversi assiamente. Sapendo che i momento torcente trasmesso è di 200 Nm, cacoare e tensioni agenti su abero. 1 Asta = eemento che sopporta soo carichi normai, agenti ungo asse de corpo. Sono aste tutti i corpi incernierati ae estremità in cui i carichi sono appicati soo in corrispondena dee cerniere. La risutante dee fore appicate è diretta ungo asse de asta. Tirante = Asta posta in traione. Puntone = Asta posta in compressione. Poitecnico di Torino Pagina 15 di 16 Data utima revisione 2/10/00

16 Diametro primitivo φ 100 Diametro primitivo φ 80 t2 r1 t1 φ40 φ50 φ50 φ40 r Poitecnico di Torino Pagina 16 di 16 Data utima revisione 2/10/00