Carte di controllo CUSUM. Le carte a somme cumulate risultano utili quando occorre individuare scostamenti dal valore centrale di piccola entità.

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1 Carte di controllo CUSUM Le carte a somme cumulate risultano utili quando occorre individuare scostamenti dal valore centrale di piccola entità. Le carte Shewart utilizzano le informazioni solo dell ultimo campione osservato. All istante t non tengono conto dell informazione contenuta nelle osservazioni effettuate agli istanti t 1, t 2,... Le carte CUSUM si basano sull idea di sommare gli scostamenti (positivi o negativi) dal valore centrale e quindi risultano più sensibili ad un aumento o ad una diminuzione della caratteristica che si sta monitorando. Consideriamo i dati simulati in cui le prime 20 osservazioni sono estratte da una popolazione N(10, 1) mentre le ultime 10 osservazioni sono estratte da una popolazione N(11, 1). 1

2 Le prime due colonne riportano i dati simulati da N(10, 1). La terza colonna riporta i dati simulati da N(11, 1)

3 Il grafico riporta la carta di controllo Shewart ottenuta con tali osservazioni. Si osserva come nessun punto sia fuori controllo. UCL xbar.one Chart for x Group summary statistics LCL Group Number of groups = 30 Center = LCL = StdDev = UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 3

4 Si noti come sapendo il momento in cui si è verificato il cambio di livello un semplice boxplot mette in evidenza tale cambiamento

5 La carta cusum per il controllo della media di un processo si basa sulla costruzione di due statistiche che cumulano gli scarti delle osservazioni da un valore obiettivo. Siano µ 0 e σ il valore della media e dello s.q.m. quando il processo è sotto controllo. µ 0 è il valore obiettivo. σ è supposto noto. Siano x i la i-esima osservazione del processo. Le carte cusum sono utilizzate principalmente per osservazioni singole per cui vediamo prima questo caso. Le due statistiche dette rispettivamente CUSUM unilaterale superiore e CUSUM unilaterale inferiore sono definite come segue C + i C i = max ( 0, x i (µ 0 + K) + C + i 1 = max ( 0, (µ 0 K) x i + C i 1 Dove C 0 + = 0, C 0 = 0 e K, detto valore di tolleranza, è solitamente posto pari a K = µ 1 µ 0 2 se µ 1 è il valore di fuori controllo che si vuole sia individuato quanto prima. ) ) 5

6 Si noti che le due statistiche cumulano le deviazioni del processo che si scostano dal valore obiettivo µ 0 di almeno un ampiezza K. Se x i si discosta da µ 0 per meno del valore di tolleranza K allora i valori cumulati scendono fino ad azzerarsi se dovessero diventare negativi. Il processo è considerato sotto controllo fino a quando una delle due statistiche non supera il livello di decisione H. Tale valore viene solitamente posto pari a H = 5σ. Nelle pagine seguenti riportiamo la tabella con i conti per il calcolo dei valori C + i e C i per i dati simulati e la rappresentazione grafica di tali valori. Abbiamo posto µ 0 = 10 e K = 0.5. Come si vede segnala un punto di fuori controllo per il 23-esimo campione. Dal grafico si può osservare come l inizio del tratto ascendente che porta alla situazione di fuori controllo abbia avuto inizio con il 20-esimo campione. 6

7 x i x i (µ 0 + K) C + i (µ 0 K) x i C i

8 CUSUM Chart Cumulative Sum Index 8

9 Lunghezza media delle sequenze Il calcolo dell ARL per le carte CUSUM presenta notevoli difficoltà. Nella seguente tabella si riportano i valori dell ARL per quando K = µ 1 µ 0 2 = δσ 2, avendo posto µ 1 = µ 0 + δσ, per diversi valori di δ e per valori di H = hσ con h = 4 e h = 5. δ h = 4 h = La prima riga rappresenta il tempo medio per un falso allarme ARL 0. Si osservi che si ha ARL 0 = 370 per h = Il tempo medio per la segnalazione di un F.C. quando si è verificato uno scostamento pari 1σ è 10.4, mentre per la carta Shewart per misure singole è

10 Carte di controllo CUSUM standardizzate A volte è preferibile standardizzare i valori delle osservazioni prima di procedere al calcolo di valori della carta CUSUM. I valori standardizzati sono I valori delle statistiche sono C + i C i z i = x i µ 0 σ = max ( 0, z i k + C + i 1 = max ( 0, k z i + C i 1 Con le carte CUSUM standardizzate i valori di H e K non dipendono più da σ e risultano quindi confrontabili. ) ) Carte di controllo CUSUM per le medie Quando si hanno n osservazioni in ogni gruppo i valori delle statistiche nelle carte CUSUM si calcolano sostituendo a x i la media del gruppo x i e a σ lo s.q.m. della media del gruppo σ/ n 10

11 Carte di controllo CUSUM a risposta iniziale accelerata Questo tipo di carte sono molto utili nelle applicazioni quando un processo pensato sotto controllo parte con una situazione di fuori controllo. La procedura consiste nel porre un valore iniziale fittizio di C + 0 e di C 0 uguale in genere ad H/2. In questo modo se il processo è sotto controllo il valore penalizzante delle statistiche viene riportato a valori nulli in pochi istanti. Se invece il processo è fuori controllo la segnalazione avviene in tempi molto più rapidi rispetto alle carte CUSUM tradizionali. 11

12 Carte di controllo EWMA Le carte di controllo a medie mobili pesate esponenzialmente si utilizzano quando si vogliono scoprire in fretta piccoli scostamenti dal valore obiettivo. Le loro prestazioni sono paragonabili a quelle delle carte CUSUM ma sono di più facile calcolo e lettura. Le carte EMWA sono di solito utilizzate nel caso di misure singole. Siano x i, i = 1,..., m le osservazioni. Definiamo per i = 1,..., m z i = λx i + (1 λ)z i 1 dove 0 < λ < 1 e il valore z 0 è fissato uguale al valore obiettivo µ 0 oppure uguale a x se siamo in una fare iniziale di studio del processo. I valori z i sono i punti della carta EWMA e rappresentano una media ponderata di tutte le osservazioni precedenti all istante i. 12

13 Per sostituzioni successive è facile mostrare che z i = λ i 1 j=0 (1 λ) j x i j + (1 λ) i z 0 I pesi λ(1 λ) j decrescono esponenzialmente e la loro somma vale 1. Mentre la loro somma parziale vale λ i 1 j=0 (1 λ) j = 1 (1 λ) i Se le variabili x i sono le osservazioni di v.c. indipendenti di varianza σ 2 allora le variabili z i hanno varianza data da σz 2 i = σ 2 λ 2 λ ( 1 (1 λ) 2i ) 13

14 La linea centrale e i limiti di controllo della carta EWMA sono UCL i = µ 0 + Lσ CL = µ 0 LCL i = µ 0 Lσ λ 2 λ λ 2 λ ( 1 (1 λ) 2i ) ( 1 (1 λ) 2i ) dove L va scelto in modo da garantirsi una certa prestazione della carta e rappresenta l ampiezza dei limiti di controllo. Anche λ deve essere scelto dall addetto al controllo di qualità. Si noti che i limiti di controllo variano con le osservazioni e sono più ampi al crescere di i. I valori limite sono dati da UCL = µ 0 + Lσ LCL = µ 0 Lσ λ 2 λ λ 2 λ 14

15 EWMA Chart for x Group Summary Statistics Group Number of groups = 30 Target = 10 StdDev = Smoothing parameter = 0.1 Control limits at 2.7*sigma 15

16 La scelta dei parametri in una carta EWMA La scelta dei parametri λ e L deve avvenire a seconda della sensibilità che si richiede alla carta. Studi empirici e teorici sul valore dell ARL per la carta EWMA suggeriscono di utilizzare per λ i valori 0.05, 0.1, 0.2 lam * (1 lam)^i λ = 0.2 λ = 0.1 λ = 0.4 λ = i 16

17 Come norma generale si ottengono migliori prestazioni utilizzando bassi valori di λ se si è interessati a piccoli scostamenti dal valore obiettivo. Conviene utilizzare valori di λ più alti se si è interessati a scostamenti più rilevanti, ma in quest ultimo caso la carta EWMA non fornisce prestazioni ottimali. La scelta di L si orienta intorno al valore 3 delle carte 3-sigma, sebbene per bassi valori di λ si possono ottenere dei vantaggi riducendo i valori di L tra 2.6 e 2.8. La seguente tabella riporta i valori dell ARL, per diversi scostamenti di tipo kσ dal valore obiettivo µ 0, per quei valori di L che, per prefissati valori di λ forniscono un ARL 0 pari a

18 Scarti in σ L = L = L = L = L = k λ = 0.40 λ = 0.25 λ = 0.2 λ = 0.1 λ = Si osservi che per k = 1.00 λ = 0.1 abbiamo per L = un ARL=10.3 simile a quello della carta CUSUM con k = 1 2 e h = 5. 18

19 Carte di controllo a media mobile Si tratta di una carta basata su una media mobile non ponderata. Date le m osservazioni singole x 1,..., x m si calcolano le medie mobili di ampiezza w definite come segue M i = x i + x i x i w+1 w Se E(X i ) = µ 0 e Var(X i ) = σ 2 risulta E(M i ) = µ 0 e Var(M i ) = σ2 w. I limiti di controllo superiore e inferiore a 3-sigma per la carta a Media Mobile sono dati da UCL = µ σ w CL = µ 0 LCL = µ 0 3 σ w L ampiezza del salto di interesse e w sono inversamente proporzionali. Per cui se vogliamo individuare salti piccoli, dobbiamo utilizzare medie lunghe. 19

20 Nel grafico è riportata la carta MA per i dati di pagina 2. Abbiamo utilizzato w = 3. Si noti come il segnale di fuori controllo viene dato alla 24-esima osservazione. MA Chart MA Index 20