LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

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1 LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne

2 CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d. Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola. Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. Il punto in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice della parabola.

3 L EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE COINCIDENTE CON L ASSE y E VERTICE NELL ORIGINE DEGLI ASSI Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = f. Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se cioè: Da cui,,.. Eq. della parabola con vertice nell origine e asse verticale: y = ax 2. Coordinate del fuoco:. Equazione della direttrice:.

4 ESEMPIO Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione: x y 0 0 y = 3x Inoltre:, fuoco, eq. della direttrice.

5 IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA a > 0 y = ax 2 è positiva, la distanza focale è f > 0, F ha ordinata positiva. a < 0 y = ax 2 è negativa, la distanza focale è f < 0, F ha ordinata negativa. Concavità rivolta verso l alto. Concavità rivolta verso il basso.

6 IL VALORE DI a E L APERTURA DELLA PARABOLA a = a = a = 2 Per a > 0, all aumentare di a diminuisce l apertura della parabola.

7 Prof Giovanni ianne L EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE y La trasformazione trasla i punti del piano. Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax 2 diventa: y y V = a(x x V ) 2. In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(x V ; y V ). Possiamo riscrivere l equazione della parabola come y = ax 2 + bx + c. Ascissa del vertice: ; ordinata del vertice:.

8 Prof Giovanni ianne L EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE y Equazione generica della parabola con asse parallelo all asse y La parabola con vertice V(x v ; y v ) ha equazione y y v = a(x x v ) 2, cioè y y v = ax 2 2axx v + ax 2 v o y = ax 2 2ax v x + (ax v2 + y v ). Ponendo otteniamo b = 2ax v, c = ax v2 + y v, y = ax 2 + bx + c. Per le coordinate di V(x v ; y v ) vale:, cioè. RITORNA

9 L EQUAZIONE y = ax 2 + bx + c TEOREMA A ogni parabola con asse parallelo all asse y corrisponde un equazione del tipo y = ax 2 + bx + c, con a 0, e viceversa. REGOLA L asse di simmetria ha equazione:, il vertice è il punto:, il fuoco è il punto:, la direttrice ha equazione: 1 y 4a.

10 ALCUNI CASI PARTICOLARI b = 0 L equazione diventa: y = ax 2 + c. La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l asse y. c = 0 L equazione diventa: y = ax 2 + bx. La parabola passa per l origine O. b = 0, c = 0 L equazione diventa: y = ax 2. La parabola ha il vertice nell origine O.

11 INTERSEZIONI DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA (NON PARALLELA ALL ASSE y) Risolvendo il sistema formato dall equazione della parabola e dall equazione della retta y y 2 ax bx c mx q si ottiene l equazione risolvente di secondo grado b mx c q 0 le cui soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con la retta. Se 0, la retta è secante la parabola in due punti. Se 0, la retta è tangente alla parabola in un punto. Se 0, la retta è esterna alla parabola. ax 2

12 RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA Se un punto P è esterno alla parabola: si possono tracciare due rette tangenti. Se un punto P è sulla parabola: una sola retta tangente. Se un punto P è interno alla parabola: non è possibile tracciare rette tangenti, ossia non esistono rette tangenti. Risolvendo il sistema formato dall equazione della parabola e dall equazione del fascio proprio di rette passanti per P x ; y y ax bx c y y0 mx x si ottiene l equazione risolvente di secondo grado ax b m x c mx0 y0 Si pone la condizione di tangenza, ossia 0. Si risolve rispetto a m l equazione ottenuta e si sostituiscono nell equazione del fascio gli eventuali valori determinati.

13 ALCUNE CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UNA PARABOLAparabola Note le coordinate del vertice e del fuoco Note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l equazione della direttrice La parabola passa per tre punti non allineati La parabola passa per due punti e si conosce l equazione dell asse La parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del fuoco) La parabola passa per un punto e sono note le equazioni dell asse e della direttrice La parabola è tangente a una retta data e passa per due punti

14 ESERCIZI: L EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE y

15 ESERCIZI: L EQUAZIONE y = ax 2 + bx + c

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