[ RITORNA ALLE DOMANDE] 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 1) Che cos è una conica?

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1 Matematica 1) Che cos è una conica? 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 3) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y? 4) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle x? 5) Casi particolari di equazione della parabola 6) Posizioni tra rette e parabole 7) Come si determina l equazione di una parabola passante per 3 punti?

2 1) Che cos è una conica? Figura 1- superfici coniche Se si considera una retta r generatrice, che ruota di un giro completo intorno a un altra retta a, detta asse, appoggiandosi a un punto fisso V ( vertice) di quest ultima, avremo una superficie conica circolare a due falde. Sezionando tale superficie in modo opportuno si ottengono le coniche, e precisamente: - Se il piano intersecante( non passante per il vertice) è perpendicolare all asse a della superficie conica si ottiene la circonferenza ( β=90, dove β è l angolo che l asse a forma con il piano). - Se il piano è parallelo ad una retta generatrice r si ottiene una parabola ( l angolo β ha la stessa ampiezza dell angolo formato tra l asse e la retta r) - Se il piano è parallelo all asse a oppure forma con esso un angolo compreso fra le rette a e r si ottengono i due rami dell iperbole ( l angolo β è uguale a zero oppure inferiore all ampiezzaa dell angolo formato tra l asse e la retta r ). - Negli altri casi è una ellisse ( l angolo β è minore di 90 e maggiore - dell ampiezza dell angolo formato tra l asse e la retta r. 2) Definisci la parabola come luogo geometrico.

3 La parabola, in geometria analitica, è definita come il luogo geometrico, e precisamente come il luogo dei punti P del piano cartesiano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa d, detta direttrice. Il rapporto di queste distanze è dunque uguale a 1, ossia l eccentricità della parabola è uguale a 1. Per la dinamicità del file clicca sopra le seguenti parole: parabola.html Inoltre per ogni parabola è possibile determinare: a) Un asse di simmetria, cioè una retta che divide tale figura in due parti simmetriche, ossia tali che loro due punti qualsiasi P e Q corrispondenti sono ugualmente distanti da tale retta, ossia PM=QM b) Il punto della parabola, punto medio tra il fuoco e la direttrice si chiama vertice della parabola. c) La posizione del fuoco rispetto alla direttrice determina la concavità della parabola 3) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y? L equazione della parabola con asse di simmetria rispetto all asse y ha come forma canonica = ++ dove a,b,c sono numeri reali e x e y sono le coordinate generiche di un punto della parabola stessa. Le caratteristiche principali della parabola sono:

4 CONCAVITA : determinata dal segno del termine a( cioè il coefficiente numerico del monomio contenente x 2 )attraverso questa regola: se a è maggiore di zero la concavità è rivolta verso l alto, se a è minore di zero la concavità è rivolta verso il basso. VERTICE: punto di coordinate ; = 4 FUOCO: punto di coordinate ; DIRETTRICE: retta di equazione = ASSE DI SIMMETRIA: retta di equazione = INTERSEZIONE ASSE Y = punto di coordinate 0; EVENTUALI PUNTI DI INTERSEZIONE CON ASSE X: dipende dal segno del Δ; infatti: se Δ>0, due punti di intersezione: A se Δ=0, un punto di intersezione A Se Δ<0, nessun punto in comune. Nota la seguente relazione: ;0 ;0 ;0 ; in questo caso A coincide con il vertice. = = 1 4 Dalla formula inversa si ha: = 4) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle x? L equazione della parabola con asse di simmetria rispetto all asse x ha come forma canonica = ++ dove a,b,c sono numeri reali e x e y sono le coordinate generiche di un punto della parabola stessa. Le caratteristiche principali della parabola sono: CONCAVITA : determinata dal segno del termine a( cioè il coefficiente numerico del monomio contenente x 2 )attraverso questa regola: se a è maggiore di zero la concavità è rivolta verso destra, se a è minore di zero la concavità è rivolta verso sinistra VERTICE: punto di coordinate ; = 4 FUOCO: punto di coordinate ; DIRETTRICE: retta di equazione = ASSE DI SIMMETRIA: retta di equazione = INTERSEZIONE ASSE x = punto di coordinate ;0 EVENTUALI PUNTI DI INTERSEZIONE CON ASSE y: dipende dal segno del Δ; infatti:

5 se Δ>0, due punti di intersezione: A 0; 0; se Δ=0, un punto di intersezione A ;0 ; in questo caso A coincide con il vertice. Se Δ<0, nessun punto in comune. Nota la seguente relazione: Dalla formula inversa si ha: = = = 1 4 5) Casi particolare di equazioni della parabola y=ax 2 +bx+c Con b=0, la parabola ha il vertice sull asse y. Infatti = = =0 ; = 4=0 4= 4 Quindi il vertice è situato in V(0;c). = 4 = 4 4 = Con c=0 la parabola passa per l origine del piano cartesiano. Con b=0 e c=0 la parabola ha il vertice nell origine del piano cartesiano. Quindi tutte le parabole di equazione y=ax 2 hanno il vertice nell origine del piano cartesiano e il fuoco in 0; e direttrice = 6) Posizione tra rette e parabole Una retta rispetto ad una parabola può essere: secante, se la retta e la parabola hanno due punti del piano in comune; oppure, tangente, se la retta e la parabola hanno un solo punto in comune; oppure, esterna, se la retta e la parabola non hanno nessun punto in comune Figura 2: retta secante

6 Figura 3 retta tangente Figura 4 retta esterna Algebricamente per provare la posizione di una retta rispetto ad una parabola si mette a sistema l equazione della retta data con l equazione della parabola assegnata. Sia =+ l equazione della retta data e sia = ++ l equazione della parabola, si procede mettendo a sistema le due equazioni. =+ = ++, : ++ =+ Si porta tutto a primo membro, si sommano gli eventuali monomi simili, si ordina rispetto al grado della x in ordine decrescente ottenendo una equazione di II grado nella variabile x, denominata EQUAZIONE RISOLVENTE DEL SISTEMA: + + = Essendo un equazione di II grado, possiamo scoprire il numero delle soluzioni calcolando il In questo caso il calcolo del = Il risultato sarà un numero, che determinerà il numero di soluzioni. Infatti se risulterà >0, l equazione risolvente avrà due soluzioni, quindi la retta risulterà secante. Se =, la retta risulterà tangente e se <0, la retta risulterà esterna. 7) Come si determina l equazione di una parabola passante per tre punti? Supponendo che l equazione della parabola abbia la forma classica = ++, si impongono i passaggi per i tre punti assegnati procedendo in questo modo: -per ogni punto si sostituiscono alle incognite e presenti nell equazione le coordinate ottenendo così un equazione nelle variabili a,b,c. - si mettono a sistema le tre equazioni trovate;

7 - si risolve il sistema dato (metodo della sostituzione, riduzione..) e si trovano i valori rispettivamente di a,b,c Per chiarire vedere l esercizio parabola passante per 3 punti

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