CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica

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1 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Definizione. Si definisce asse di simmetria di una parabola la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice. Definizione. Si definisce vertice di una parabola il punto dell asse di simmetria che appartiene alla parabola. Osservazione. Il vertice della parabola è il punto medio del segmento avente come estremi il fuoco e la proiezione di questo sulla direttrice.

2 Si dimostra che l equazione di una generica parabola è la seguente: con }. Teorema. Ogni equazione del tipo, con }, rappresenta una parabola avente: vertice in fuoco in direttrice di equazione asse di simmetria di equazione STUDIO DI UNA PARABOLA Tracciamo il grafico della parabola di equazione: Vertice Utilizzando le formule date nel teorema precedente si ha: Per determinare l ordinata del vertice, basta sostituire il valore dell ascissa nell equazione della parabola. Si ha: Quindi il vertice ha coordinate: Fuoco L ascissa del fuoco è uguale a quella del vertice: Il dell equazione è dato da: Quindi l ordinata del fuoco è: 2

3 Le coordinate de fuoco sono: Direttrice L equazione della direttrice è data da: Asse di simmetria L asse di simmetria della parabola ha equazione: Intersezioni con gli assi Per determinare le intersezioni con l asse delle ascisse bisogna risolvere il sistema: da cui si ha l equazione: ossia: Essendo: le soluzioni saranno: Quindi i punti d intersezione della parabola con l asse delle ascisse sono: ( ) ( ) Per determinare le intersezioni con l asse delle ordinate bisogna risolvere il sistema: 3

4 da cui, sostituendo, si ha: Quindi il punto d intersezione della parabola con l asse delle ordinate è: 4

5 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI DI UNA PARABOLA E IL SUO GRAFICO COEFFICIENTE RELAZIONE GRAFICO a Ci dà informazioni sulla concavità della parabola. Se, allora la concavità è rivolta verso l alto; se, essa è rivolta verso il basso. b Rende conto dello spostamento dell asse della parabola. Se b aumenta l asse si sposta verso sinistra, se b diminuisce l asse si sposta verso destra. c Rende conto dello spostamento del punto d intersezione della parabola con l asse delle ordinate. 5

6 RELAZIONE TRA IL DISCRIMINANTE E LE INTERSEZIONI CON L ASSE DELLE ASCISSE DISCRIMINANTE INTERSEZIONI EVENTUALI GRAFICO La parabola ha due punti di intersezione distinti con l asse delle ascisse. La parabola ha due punti di intersezione con l asse delle ascisse coincidenti, ossia la parabola è tangente all asse delle ascisse. La parabola non interseca l asse delle ascisse. MUTUA POSIZIONE FRA RETTA E PARABOLA Per studiare la mutua posizione tra una retta e una parabola basta risolvere il seguente sistema: Si possono verificare i tre casi illustrati nella seguente tabella, in base al valore del discriminante del sistema. 6

7 DISCRIMINANTE POSIZIONE GRAFICO La retta e la parabola sono secanti. La retta e la parabola sono tangenti. La retta e la parabola sono esterne. Data la parabola di equazione: TANGENTE A UNA PARABOLA IN UN SUO PUNTO sia un suo punto. Per determinare l equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P, si procede come segue: 1) si scrive l equazione del fascio proprio di rette passante per, cioè: 2) si determina il coefficiente angolare della retta tangente utilizzando la seguente formula: essendo i coefficienti della parabola e l ascissa del suo punto P. 7

8 Esempio. Scrivere l equazione della retta tangente alla parabola di equazione: nel suo punto. Scriviamo l equazione del fascio di rette passante per il punto P: Determiniamo il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto dato: L equazione della retta tangente è quindi: Ossia: TANGENTI A UNA PARABOLA CONDOTTE DA UN PUNTO ESTERNO A ESSA Data la parabola di equazione: sia un punto che non appartiene a essa. Per determinare l equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P, si procede come segue: 1) si scrive l equazione del fascio proprio di rette passante per, cioè: 2) si considera il sistema formato dalla parabola e dal fascio proprio di rette: 3) si pone uguale a zero il discriminante del sistema: 4) si sostituiscono i valori trovati nell equazione del fascio proprio di rette. 8

9 Esempio. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione: nel suo punto. Scriviamo l equazione del fascio di rette passante per il punto P: Consideriamo il sistema: da cui si ricava l equazione: ovvero: Raccogliendo si ottiene l equazione: Il discriminante è dato dall espressione: Imponendo, si ottiene: Risolvendo: Quindi le equazioni delle rette tangenti sono: ( ) ( ) ( ) ( ) 9

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