Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2."

Transcript

1 LA PARABOLA Rivedi la teoria La parabola e la sua equazione La parabola eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa chiamata direttrice. Il suo grafico eá simmetrico rispetto alla retta che passa per il fuoco ed eá perpendicolare alla direttrice; il punto di intersezione della parabola con il suo asse di simmetria si chiama vertice. Equazione della parabola con asse parallelo all'asse y L'equazione canonica di questa parabola eá: y ˆ ax bx c con a, b, c coefficienti reali e a 6ˆ 0. Essa ha: b l vertice nel punto V a, a b l fuoco nel punto F a, 1 a b l per asse di simmetria la retta di equazione x ˆ a 1 l per direttrice la retta di equazione y ˆ a essendo ˆ b ac. Inoltre: l se a > 0 la parabola eá concava verso l'alto l se a < 0 la parabola eá concava verso il basso. Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax. Casi particolari In corrispondenza di determinati valori dei coefficienti b e c dell'equazione si evidenziano posizioni particolari della parabola nel piano cartesiano: l se c ˆ 0 l'equazione assume la forma y ˆ ax bx. La parabola passa per l'origine (infatti le coordinate dell'origine, entrambe nulle, soddisfano la sua equazione). l se b ˆ 0 l'equazione assume la forma y ˆ ax c. L'ascissa del vertice eá zero, percioá esso appartiene all'asse delle ordinate. l se b ˆ c ˆ 0 la parabola assume la forma che giaá conosciamo y ˆ ax. Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 1

2 ESERCIZIO GUIDA Date le seguenti parabole, troviamo le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice; costruiamone poi il grafico. a. y ˆ 3 x b. y ˆ x x 3 a. La parabola ha vertice nell'origine ed eá a ˆ 3, b ˆ c ˆ 0; essendo a > 0, la parabola eá concava verso l'alto. Per rispondere alle altre richieste calcoliamo prima di tutto il valore di : ˆ ˆ 0! 1 0 Il fuoco ha coordinate: F 0, 3! F 0, 1 6 L'asse di simmetria eá l'asse y. La direttrice ha equazione: y ˆ 1 0 3! y ˆ 1 6 Per costruire il grafico, oltre al vertice, eá necessario conoscere le coordinate di qualche altro punto; attribuiamo ad x valori che si trovano tutti alla destra del vertice e consideriamo poi i loro simmetrici: 3 3 l se x ˆ 1 y ˆ! 1, l se x ˆ y ˆ 6!, 6 3 I loro simmetrici rispetto all'asse della parabola sono i punti 1, e, 6. Il grafico eá in figura. b. In questo caso eá a ˆ 1, b ˆ, c ˆ 3; la parabola eá concava veso l'alto ed eá ˆ 16 1 ˆ. Vertice: x ˆ b ˆ a 1 ˆ y ˆ a ˆ ˆ 1! V, 1 1 Fuoco: x ˆ y ˆ 1 ˆ 1 a 1 ˆ 3! F, 3 Asse: x ˆ Direttrice: y ˆ 1 a ˆ 1 1! y ˆ 5 Per trovare l'ordinata del vertice, si puoá applicare la formula oppure sostituire il valore calcolato dell'ascissa nell'equazione della parabola: x V ˆ y V ˆ 3 ˆ 1 Per tracciare il grafico di questa parabola eá sufficiente disegnare il vertice, l'asse di simmetria e trovare le coordinate di qualche punto; completa la tabella: x y e trova i punti simmetrici rispetto all'asse della parabola. Il grafico eá nella figura a lato. LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

3 PROVA TU Trova vertice, fuoco, asse e direttrice della parabola y ˆ 3x 6x 1 e costruiscine il grafico. Calcola : ˆ :::::::::: Trova il vertice: x V ˆ ::::::::: y V ˆ ::::::::: V ::::::::: Trova il fuoco: x F ˆ ::::::::: y F ˆ ::::::::: F ::::::::: Trova l'asse: x ˆ ::::::::: Trova la direttrice: y ˆ ::::::::: V 1, ; F 1, 3 1 ; x ˆ 1; y ˆ 5 1 Fai gli esercizi 1 Trova le coordinate del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice e costruisci il grafico delle seguenti parabole aventi vertice nell'origine: a. y ˆ x F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ 1 b. y ˆ x F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ c. y ˆ 1 3 x F 0, 3, x ˆ 0, y ˆ 3 d. y ˆ 5 x F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ Trova le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice e costruisci il grafico delle seguenti parabole: a. y ˆ x 3x V 3, 9, F 3,, x ˆ 3, y ˆ 5 b. y ˆ x x 1 V 1, 7, F 1,1, x ˆ 1, y ˆ 3 c. y ˆ 1 x 1 V 0, 1, F 0, 1, x ˆ 0, y ˆ 3 d. y ˆ x 3 V 0, 3, F 0, 11, x ˆ 0, y ˆ 13 e. y ˆ x x V 1,, F 1, 15, x ˆ 1, y ˆ 17 Rivedi la teoria Equazione della parabola con asse parallelo all'asse x L'equazione canonica della parabola con asse parallelo all'asse x eá x ˆ ay by c con a, b, c coefficienti reali e a 6ˆ 0. Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 3

4 Essendo simmetrica della parabola y ˆ ax bx c rispetto alla bisettrice y ˆ x questa parabola ha: l vertice nel punto V a, b a 1 l fuoco nel punto F, b a a b l per asse di simmetria la retta di equazione y ˆ a 1 l per direttrice la retta di equazione x ˆ a Inoltre: l se a > 0 la parabola volge la concavitaá nella direzione del semiasse positivo delle ascisse l se a < 0 la parabola volge la concavitaá nella direzione del semiasse negativo delle ascisse. Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: x ˆ ay. Casi particolari In corrispondenza di determinati valori dei coefficienti b e c dell'equazione si evidenziano posizioni particolari della parabola nel piano cartesiano: l se c ˆ 0 l'equazione assume la forma x ˆ ay by La parabola passa per l'origine (le coordinate dell'origine soddisfano l'equazione della parabola). l se b ˆ 0 l'equazione assume la forma x ˆ ay c L'ordinata del vertice eá zero, percioá esso appartiene all'asse delle ascisse. l se b ˆ c ˆ 0 la parabola assume la forma x ˆ ay che giaá conosciamo. ESERCIZIO GUIDA Troviamo le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice e costruiamo il grafico della parabola di equazione x ˆ y y : In questo caso a ˆ 1, b ˆ ec ˆ. PoicheÁ a < 0 la parabola volge la concavitaá nella direzione del semiasse negativo delle ascisse. Calcoliamo il valore di : ˆ b ac ˆ 16 ˆ Possiamo allora dire che: vertice: x ˆ a ˆ 1 ˆ y ˆ b a ˆ 1 ˆ! V, fuoco: x ˆ 1 ˆ 1 a 1 ˆ 7 y ˆ! F 7, asse: y ˆ direttrice: x ˆ 1 a ˆ 1 1 ˆ 9! x ˆ 9 Per trovare l'ascissa del vertice si puoá applicare la formula, oppure si puoá sostituire il valore calcolato dell'ordinata nell'equazione della parabola. LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

5 Per costruire il grafico troviamo le coordinate di qualche punto attribuendo valori di nostra scelta alla y e calcolando il corrispondente valore di x: x y 0 1 PROVA TU Individua tutte le caratteristiche della parabola x ˆ y 6y 3 e costruiscine il grafico. Calcola : ˆ :::::::::: Trova il vertice: x V ˆ ::::::::: y V ˆ ::::::::: V ::::::::: Trova il fuoco: x F ˆ ::::::::: y F ˆ ::::::::: F ::::::::: Trova l'asse: y ˆ ::::::::: Trova la direttrice: x ˆ ::::::::: " V 3, 3 ; F 11 #, 3 ; y ˆ 3 ; x ˆ 13 Fai gli esercizi 3 Trova le coordinate del vertice e del fuoco, l'equazione dell'asse e della direttrice delle seguenti parabole e costruiscine poi il grafico: a. x ˆ y 3y V 9, 3, F, 3, y ˆ 3, x ˆ 5 b. x ˆ y y 1 V 1, 1, F 7,1, y ˆ 1, x ˆ 9 c. x ˆ y V, 0, F 15,0, y ˆ 0, x ˆ 17 Rivedi la teoria Come determinare l'equazione di una parabola Risolviamo insieme alcuni problemi relativi alla determinazione dell'equazione di una parabola; affincheâ cioá sia possibile dobbiamo disporre di tre condizioni indipendenti percheá tre sono i coefficienti (cioeá a, b, c) dell'equazione da determinare. I Problema: determinare l'equazione di una parabola conoscendo le coordinate di tre suoi punti Sfruttando la condizione di appartenenza di un punto ad una curva impostiamo un sistema di tre equazioni (tre sono i punti per cui passa la parabola), in tre incognite (i coefficienti a, b, c dell'equazione). Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 5

6 ESERCIZIO GUIDA Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti A 1, 1, B, 0, C,. L'equazione generale della parabola eá y ˆ ax bx c La condizione di appartenenza di un punto ad una curva impone che le sue coordinate soddisfino l'equazione della curva; possiamo quindi sostituire l'ascissa di ciascun punto al posto di x, l'ordinata al posto di y e risolvere il sistema nelle tre incognite a, b, c cosõá ottenuto appartenenza del punto A : 1 ˆ a b c appartenenza del punto B : 0 ˆ a b c appartenenza del punto C : ˆ 16a b c Risolvi il sistema ottenuto e trova i coefficienti della parabola. y ˆ 3 x 3x 10 3 PROVA TU Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che passa per i punti A, 0, B 6, 1, C 0, 1. L'equazione della parabola eá del tipo x ˆ ay by c. < ˆ :::::::::::::::: A Imponi il passaggio per i tre punti: 6 ˆ :::::::::::::::: B : ::: ˆ :::::::::::::::: C Risolvi adesso il sistema ottenuto. x ˆ y 3y Š Rivedi la teoria II Problema: determinare l'equazione di una parabola conoscendo le coordinate del vertice Il problema si puoá risolvere in due modi. I modo. L'equazione della parabola si puoá scrivere in funzione delle coordinate x 0, y 0 del vertice nella forma: l y y0 ˆ ax x 0 se l'asse di simmetria eá parallelo all'asse y l x x0 ˆ ay y 0 se l'asse di simmetria eá parallelo all'asse x PercheÁ il problema sia determinato eá sufficiente aggiungere un'altra informazione indipendente che permetta di calcolare il valore di a. II modo. Le formule per il calcolo del vertice ci consentono di scrivere due equazioni nelle incognite a, b e c : l a seconda che la parabola abbia l'asse di simmetria parallelo all'asse x oppure all'asse y, porre l'ascissa o l'ordinata del vertice uguale a b a 6 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

7 l imporre il passaggio della parabola per il vertice. Anche in questo caso occorre aggiungere una informazione che permetta di scrivere la terza equazione del sistema. ESERCIZIO GUIDA Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V, 1 e passa per il punto A 0,. I modo. l L'equazione della parabola eá del tipo: y y 0 ˆ ax x 0 l Sostituiamo in essa le coordinate del vertice: y 1 ˆ ax l Nell'equazione ottenuta imponiamo il passaggio per A e troviamo il valore di a: 1 ˆ a 0! a ˆ 3 La parabola ha quindi equazione: y 1 ˆ 3 x! y ˆ 3 x 3x II modo. l L'equazione della parabola ha la forma: y ˆ ax bx c l L'ascissa del vertice eá uguale a : b a ˆ l La parabola passa per il vertice: 1 ˆ a b c! a b c ˆ 1 l La parabola passa per A : ˆ a 0 b 0 c! c ˆ Scriviamo il sistema delle tre equazioni ottenute e risolviamolo: b >< a ˆ >< a ˆ 3! a b c ˆ 1 >: >: b ˆ 3 c ˆ c ˆ La parabola ha quindi equazione: y ˆ 3 x 3x. PROVA TU Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice in V 3, e interseca l'asse x nel punto di ascissa 1. I modo. Scrivi l'equazione in funzione del vertice: x :::::::::: ˆ a y :::::::::: La successiva informazione ci dice che la parabola passa per il punto di coordinate 1, 0. Imponi il passaggio per tale punto e trova il valore di a: Completa adesso l'equazione della parabola. :::::::::: ˆ a ::::::::::! a ˆ :::::::::: Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 7

8 II modo. L'equazione ha la forma: x ˆ ay by c. Imponi che l'ordinata del vertice, che eá b, sia uguale a : ::::::::: ˆ a Imponi il passaggio per il vertice: 3 ˆ ::::::::::: Imponi il passaggio per il punto 1, 0 : ::::::::: ˆ :::: Risolvi il sistema ottenuto. x ˆ 1 y y 1 Rivedi la teoria III Problema: deteminare l'equazione di una parabola conoscendo le coordinate del fuoco Anche in questo caso si sfruttano le formule che esprimono le coordinate del fuoco; affincheâ il problema sia determinato eá poi necessaria un'ulteriore informazione. ESERCIZIO GUIDA Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha fuoco in F 1, 63 e passa per il punto A 3, 0. Scriviamo le prime due equazioni sfruttando le coordinate del fuoco: l l'ascissa del fuoco deve essere uguale a 1 : b a ˆ 1 l l'ordinata del fuoco deve essere uguale a 63 : 1 a ˆ 63! 1 b ac a ˆ 63 Imponiamo il passaggio per A : 0 ˆ a 3 b 3 c! 9a 3b c ˆ 0 Scriviamo il sistema delle tre equazioni e risolviamolo: b a >< ˆ 1 1 b ac ˆ 63 a >: 9a 3b c ˆ 0 Il sistema eá di secondo grado e ha due soluzioni: < a ˆ b ˆ : c ˆ 6 _ a ˆ 1 3 >< b ˆ 1 16 >: c ˆ 3 3 Esistono quindi due parabole che soddisfano alle condizioni richieste; le loro equazioni sono: y ˆ x x 6 e y ˆ 1 3 x 1 16 x 3 3 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

9 PROVA TU Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha fuoco in F 5, e passa per il punto A 1,. L'equazione della parabola ha la forma: x ˆ ay by c. Imponi che l'ascissa del fuoco sia uguale a 5 : :::::::::: ˆ 5 Imponi che l'ordinata del fuoco sia uguale a : ::::::::::: ˆ Imponi il passaggio per A: ::::::::::: ˆ :::: Risolvi il sistema e scrivi l'equazione richiesta. x ˆ y y 5 Fai gli esercizi Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti di coordinate 0,, 1, 0, 1, 6. y ˆ x 3x Š 5 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y e vertice nell'origine che passa per il punto P 3,. y ˆ 9 x 6 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y e vertice nell'origine, sapendo che la direttrice ha equazione y ˆ 3. y ˆ 3 x 7 Scrivi l'equazione della parabola che ha per asse di simmetria la retta di equazione x ˆ e passa per i punti di coordinate 0, 1 e 3,. y ˆ x x 1Š Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che passa per i punti A 1, 0, B, 1, C 1,. x ˆ y y 1Š 9 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice in V 3, e che passa per A 1, 0. x ˆ 1 y y 1 10 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha vertice in V, 1 e fuoco in F 3,1. x ˆ 1 y y 3 11 Scrivi l'equazione della parabola che ha vertice in V 0, 1 e direttrice di equazione y ˆ. 1 Scrivi l'equazione della parabola che ha fuoco in F 3, y ˆ 1 1 x 1 e direttrice di equazione x ˆ 5. x ˆ y y 3 13 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha fuoco in F 3, 1 e passa per l'origine. y ˆ x 3x, y ˆ 9 x 1 3 x Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 9

10 1 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che taglia l'asse y nel punto di ordinata 1 e passa per i punti A 1, 5 e B, 3. y ˆ 1 x x 1 15 Scrivi l'equazione della parabola che passa per i punti A, 1 e B, 3 e ha direttrice di equazione x ˆ 3. x ˆ 1 y y 5, x ˆ y 3y Rivedi la teoria Posizioni reciproche di una parabola e una retta Per determinare la posizione di una retta rispetto a una parabola si deve: l impostare il sistema retta-parabola l determinare l'equazione risolvente di secondo grado nella variabile x (oppure y a seconda del tipo di parabola) l calcolare il discriminante di questa equazione: se > 0 la retta eá secante la parabola se ˆ 0 la retta eá tangente alla parabola se < 0 la retta non interseca la parabola a. > 0 la retta eá secante b. ˆ 0 la retta eá tangente c. < 0 la retta eá esterna ESERCIZIO GUIDA a. Troviamo, se esistono, le intersezioni tra la parabola di equazione y ˆ x 3x e la retta di equazione x y ˆ 0. y ˆ x 3x Scriviamo il sistema delle due equazioni: x y ˆ 0 x ˆ x 3x Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo: y ˆ x 0 Risolviamo l'equazione in x : x 5x ˆ 0! x ˆ 5 x ˆ 0 x ˆ 5 Soluzioni del sistema: _ y ˆ 0 y ˆ 10 Possiamo cosõá concludere che la retta e la parabola si interecano nei punti di coordinate 0, 0 e 5, 10. b. Verifichiamo che la retta di equazione y ˆ x 1 eá tangente alla parabola di equazione y ˆ x 6x 5 e troviamo le coordinate del punto di tangenza. 10 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

11 Scriviamo il sistema formato dalle due equazioni: Sostituiamo l'espressione di y nella prima equazione: y ˆ x 6x 5 y ˆ x 1 x 1 ˆ x 6x 5 y ˆ x 1 Risolviamo l'equazione in x : x x ˆ 0! x ˆ Il sistema ammette due soluzioni coincidenti x ˆ y ˆ 3 Possiamo cosõá concludere che la retta e la parabola sono tangenti nel punto di coordinate, 3. c. Verifichiamo che la retta di equazione y ˆ x 7 non interseca la parabola di equazione y ˆ 3x. Scriviamo il sistema retta-parabola e troviamo l'equazione risolvente: y ˆ x 7! 3x ˆ x 7! 3x x 7 ˆ 0 y ˆ 3x Poiche ˆ 1 ˆ 3 < 0, la retta non interseca la parabola. PROVA TU Determina la posizione della parabola di equazione y ˆ x x 6 rispetto alle seguenti rette e trovane gli eventuali punti di intersezione. a. y ˆ x b. y ˆ x 9 c. y ˆ x 7 a. Imposta il sistema retta-parabola: n ::::::::::::::::: ::::::::::::::::: Trova l'equazione risolvente e determinane le soluzioni: x ˆ :::::::::::: La retta interseca la parabola in due punti distinti. Prosegui la risoluzione del sistema e trova le coordinate dei punti. Ripeti la stessa procedura con le altre due rette. a:, 0 ;, 6 ; b: non si intersecano; c: tangente in 1, 6 Š Fai gli esercizi Trova, se esistono, le coordinate dei punti di intersezione delle seguenti parabole con le rette date. 16 y ˆ x x 1 y ˆ x 3 nessun punto di intersezioneš 17 y ˆ x x y ˆ x 3 A 1, 7 ; B 3, 6 1 y ˆ x x x y 1 ˆ 0 A 3, 1 ; B 1, 3 19 y ˆ x x y ˆ x 9 A 3, 3 Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 11

12 Rivedi la teoria Come trovare la retta tangente a una parabola Dato un punto P x 0, y 0, vogliamo scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola y ˆ ax bx c (oppure x ˆ ay by c) che passano per P. Per risolvere il problema: l scriviamo l'equazione della retta per P : y y0 ˆ m x x 0 l l scriviamo il sistema retta-parabola troviamo l'equazione risolvente l calcoliamo il discriminante e imponiamo che sia uguale a zero: ˆ 0. Se il punto P appartiene alla parabola, oltre a questo metodo se ne possono usare due piuá semplici nel calcolo. l Troviamo il coefficiente angolare della retta con la formula: m ˆ ax 0 b se la parabola eá y ˆ ax bx c 1 m ˆ se la parabola eá x ˆ ay by c ay 0 b Scriviamo poi l'equazione della retta per P di coefficiente angolare m. l Usiamo le formule di sdoppiamento ponendo nell'equazione della parabola, a seconda della forma: x 0 x al posto di x y 0 y al posto di y 1 x 0 x al posto di x 1 y 0 y al posto di y ESERCIZIO GUIDA a. Data la parabola y ˆ x, vogliamo trovare le equazioni delle rette ad essa tangenti che passano per il punto P 1, 6 : Il punto P non appartiene alla parabola (le sue coordinate non ne soddisfano l'equazione). Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro P : y 6 ˆ mx 1 Mettiamo in sistema l'equazione della parabola con quella del fascio di rette y ˆ x y 6 ˆ mx 1 Sostituiamo l'espressione di y ricavata dall'equazione della retta e troviamo l'equazione risolvente: y ˆ mx 1 6 equazione risolvente x mx m ˆ 0 mx 1 6 ˆ x Condizione di tangenza ˆ 0 m m ˆ 0 p Risolvendo questa equazione troviamo m ˆ 3 1 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

13 Le rette tangenti sono due ed hanno equazione p y ˆ p p 3 x 1 6 cioeá y ˆ 3 x 3 p y ˆ p p 3 x 1 6 cioeá y ˆ 3 x 3 b. Scriviamo l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione y ˆ x x passante per il suo punto P di ascissa 1. L'ordinata del punto di ottiene sostituendo 1 nell'equazione della parabola: y ˆ 1 ˆ 1! P 1, 1 I metodo. Troviamo il coefficiente angolare: m ˆ ax 0 b ˆ 1 1 ˆ Scriviamo l'equazione della retta: y 1 ˆ x 1! y ˆ x 3 II metodo. Applichiamo le formule di sdoppiamento: 1 x 0 x ˆ 1 x ˆ x x x 0 ˆ1 x 1 1 y y 0 ˆ1 y 1 Sostituiamo nell'equazione della parabola: y ˆ x 1 x diventa y 1 ˆ x 1 x 1 Svolgendo i calcoli otteniamo y ˆ x 3. c. Scriviamo l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti A 0, e B 1, 6 ed eá tangente alla retta di equazione y ˆ x 1. Imponiamo il passaggio per A : Imponiamo il passaggio per B : c ˆ 6 ˆ a b c Per ottenere la condizione di tangenza scriviamo il sistema parabola-retta, troviamo l'equazione risolvente e imponiamo che sia ˆ 0 : y ˆ ax bx c sistema: y ˆ x 1 equazione risolvente: ax x b 1 c 1 ˆ 0 condizione di tangenza ˆ 0 : b 1 a c 1 ˆ 0 c ˆ >< Scriviamo ora il sistema formato dalle tre equazioni: 6 ˆ a b c >: b 1 a c 1 ˆ 0 Risolvendolo otteniamo: < a ˆ 1 b ˆ 3 : c ˆ _ < a ˆ 9 b ˆ 5 : c ˆ Il problema ammette due soluzioni, le parabole di equazioni: y ˆ x 3x e y ˆ 9x 5x Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 13

14 PROVA TU a. Scrivi l'equazione delle rette tangenti alla parabola y ˆ x x uscenti dal punto P 3, 1. Il punto P non appartiene alla parabola. Scrivi l'equazione della retta per P: y :::::::::: ˆm x :::::::::: Trova l'equazione risolvente il sistema retta-parabola:... p Imponi la condizione di tangenza e trova il valore di m:... m ˆ 5 5 b. Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per A, 0 e che eá tangente alla retta y ˆ x 1 nel suo punto B di ascissa 1. Trova l'ordinata del punto di tangenza:... La parabola passa quindi anche per il punto B 1, :::::. Imponi il passaggio per A :... Imponi il passaggio per B :... Usa la condizione di tangenza m ˆ ax 0 b con m ˆ (il coefficiente angolare della retta tangente). Risolvi il sistema ottenuto e scrivi l'equazione della parabola. y ˆ 5x 1x Fai gli esercizi 0 Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P assegnato e tangenti alla parabola data. a. y ˆ x x 3 P 0, 3 y ˆ x 3Š b. y ˆ x x P 1, 0 p y ˆ p 3 x 1, y ˆ 3 x 1 c. y ˆ 1 x P, y ˆ x Š d. y ˆ 1 x 1 7 P, y x 9 ˆ 0Š 1 Scrivi l'equazione della parabola avente per asse la retta y ˆ 1 che passa per il punto A 3, 0 ed eá tangente alla retta x y ˆ 0. x ˆ y y 3Š Trova l'equazione della retta tangente alla parabola y ˆ x x che eá parallela alla retta di equazione y ˆ x 3. y ˆ x 1 3 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che passa per i punti A 0, 1 e B 1, 1 e che eá tangente alla retta y ˆ x 3. y ˆ x 3x 1; y ˆ 9x 11x 1Š Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V, 0 ed eá tangente alla retta y ˆ x 1. y ˆ 1 x x 1 1 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

15 Verifica del recupero 1 La parabola di equazione y ˆ x 6x 3 ha vertice e fuoco rispettivamente nei punti: a. V 6, 3 F 3,3 b. V 3, 6 F 3, 3 c. V 3, 3 F 3, 5 d. V 3, 6 F 3, 9 La parabola di equazione x ˆ 1 y y ha vertice e asse di simmetria che sono: a. V 5,1 y ˆ 5 b. V 1, 9 x ˆ 1 c. V 9, 1 y ˆ 1 d. V 9, 1 x ˆ 9 10 punti 10 punti 3 Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che passa per i punti di coordinate, 1,,,, punti Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V 0, 3 e passa per A, punti 5 Scrivi l'equazione della retta tangente alla parabola y ˆ x x echeeá perpendicolare alla retta y ˆ 3 x. Trova poi il punto di tangenza. 0 punti 6 Scrivi l'equazione della parabola avente per asse la retta x ˆ 1cheeÁ tangente in A, 1 ad una retta di coefficiente angolare 1. 0 punti Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA LA PARABOLA 15

16 Soluzioni 1 b. c. 3 x ˆ y 3y y ˆ 3 x 3 5 y ˆ 3 x 1 9 ; 1 3 ; y ˆ 1 x x 1 Esercizio Punteggio Punteggio Voto: punteggio 10 1 ˆ 16 LA PARABOLA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

b 2 4c. Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e, in caso affermativo, determiniamone centro e raggio.

b 2 4c. Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e, in caso affermativo, determiniamone centro e raggio. LA CIRCONFERENZA Rivedi la teoria L'equazione della circonferenza e le sue caratteristiche La circonferenza eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro;

Dettagli

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y LEZIONI PARABOLA Definizione Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso,, detto fuoco, e da una retta fissa, d, detta direttrice. La definizione data mette

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Per ricordare H Consideriamo una retta orientata r, fissiamo su di essa un punto O e prendiamo un segmento u come unitaá di misura; consideriamo un punto

Dettagli

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. LA PARABOLA Definizione: Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Dimostrazione della parabola con

Dettagli

LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI Problema 1 Determinare l'equazione della parabola di vertice V( 2;0) e passante per P(0;4).

LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI Problema 1 Determinare l'equazione della parabola di vertice V( 2;0) e passante per P(0;4). LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI Prolema 1 Determinare l'equazione della paraola di vertice V( 2;0) e passante per P(0;4). y = ax 2 + x + c 1)l'appartenenza del punto P alla paraola, 2)l'appartenenza

Dettagli

Esercizi e problemi sulla parabola

Esercizi e problemi sulla parabola Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare,

Dettagli

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da

Dettagli

LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI

LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI LA PARABOLA E LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 6 Per ricordare H Una funzione di secondo grado la cui equazione assume la forma y ˆ a b c si chiama arabola. Le sue caratteristiche sono le seguenti (osserva

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA

Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA LA PARABOLA La parabola è una figura curva che, come la retta, è associata ad un polinomio che ne definisce l'equazione. A differenza della retta, però, il polinomio non è di primo grado, ma è di secondo

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1 GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)

Dettagli

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo

Dettagli

MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO

MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO La Parabola Introduzione e definizione Prima di affrontare la parabola e la sua analisi matematica, appare opportuno definirla nelle sue caratteristiche essenziali. Anzitutto

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

Circonferenza. Riordinando i termini secondo il loro grado in senso decrescente, Fig. 1 La circonferenza come luogo geometrico

Circonferenza. Riordinando i termini secondo il loro grado in senso decrescente, Fig. 1 La circonferenza come luogo geometrico 1 Circonferenza La circonferenza come luogo geometrico Nel capitolo precedente, abbiamo definito la circonferenza come la curva che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano perpendicolare

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3,

Dettagli

Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?

Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza

Dettagli

LA RETTA. La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine.

LA RETTA. La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine. LA RETTA La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine. Proprietà: Per due punti del piano passa una ed una sola retta. Nel precedente modulo abbiamo visto che ad ogni punto del

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA

ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA Exercise 0.1.1. Si scriva l'equazione della circonferenza che passa per i punti O 0; 0) e A 7; 0)

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza 1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Macerata 24 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI. k <, mentre se. x = e. x = che sono le soluzioni dell equazione, 3 9

Macerata 24 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI. k <, mentre se. x = e. x = che sono le soluzioni dell equazione, 3 9 Macerata 4 marzo 015 classe M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI Problema 1 y = k x + 5k x 4 + k E dato il fascio di parabole di equazione ( ) ( ). SI ha quindi la concavità rivolta k = si ha la parabola degenere

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane

Dettagli

Parabola. , rappresentano in generale delle curve dette coniche. y 2

Parabola. , rappresentano in generale delle curve dette coniche. y 2 1 Parabola Coniche Abbiamo visto che ogni equazione di primo grado in due incognite ha come grafico cartesiano una retta Potremmo dimostrare che: le equazioni di secondo grado in due incognite, che possono

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi La parabola. Dare la definizione di parabola come luogo di punti La parabola è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del piano che verificano tutti

Dettagli

Sistemi di equazioni di secondo grado

Sistemi di equazioni di secondo grado 1 Sistemi di equazioni di secondo grado Risoluzione algebrica Riprendiamo alcune nozioni che abbiamo già trattato in seconda, parlando dei sistemi di equazioni di primo grado: Una soluzione di un'equazione

Dettagli

SCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA

SCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA Pag. 1 di 5 SCHEDA OBIETTIVI MINIMI Materia:MATEMATICA Classi QUARTA A e QUARTA B Spec.: LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE a.s: 2016 / 2017 4 3 2 1 Presidente di dipartimento 0 DOC DS Maria Grazia Gillone

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano 6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Iperbole L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Vedi figura: Figura 1 Iperbole equilatera. Se i fuochi si trovano sull

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un

Dettagli

Equazione della circonferenza

Equazione della circonferenza Equazione della circonferenza Scrivi la circonferenza Γ di centro C(-,4) e raggio r=3. L equazione di Γ è: y 4 3 cioè y 4 9 sviluppiamo (ricordando che a b a ab b ): 4 4 y 8y 16 9 mettiamo tutto a primo

Dettagli

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio 2010 1 Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale:

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche

Dettagli

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI)

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) D1 E' dato il fascio 2x+4y +k(8x+5y 6)=0 trovare le coordinate del centro... Risposta. Le rette base del fascio sono r1 : 2x+4y-=0 r2 : 8x+5y-6=0

Dettagli

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 3 Agosto 205 Recupero MATEMATICA. Scrivi l equazione della circonferenza passante per i punti ;2 e 2;5 e avente il centro sulla retta di equazione = 2 2. L asse del segmento

Dettagli

Prof. I. Savoia. 1 PROPRIETA' p. 2. p.24

Prof. I. Savoia. 1 PROPRIETA' p. 2. p.24 PARABLA NEL PIAN CARTESIAN Prof. I. Savoia INDICE DEGLI ARGMENTI PRPRIETA' p.. Parabola come luogo geometrico. p.. Parabola come funzione. p. 3 PARABLA TRASLATA ED EQUAZINE GENERALE. p. 5. Intersezioni

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola.

asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola. D3. Parabola D3.1 Definizione di parabola come luogo di punti Definizione: una parabola è formata dai punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. L equazione della parabola

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico

Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico www.matematicamente.it Compito sulla circonferenza 1 Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico 1. Determina e rappresenta graficamente l equazione della circonferenza di

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere

Dettagli

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4). . Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni

Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni 1 Geometria analitica La geometria analitica stabilisce una corrispondenza tra il mondo della geometria e il mondo dell'algebra. Ciò significa che gli enti geometrici hanno degli enti corrispondenti nel

Dettagli

Parabola ************************* La curva chiamata PARABOLA si rappresenta con la seguente funzione matematica (1)

Parabola ************************* La curva chiamata PARABOLA si rappresenta con la seguente funzione matematica (1) ttività di recupero conoscenze di ase) araola Oiettivi Saper riconoscere la funzione che esprime la conica. Saper tracciare il grafico di una paraola. Saper determinare gli elementi caratterizzanti una

Dettagli

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti ppunti: il piano cartesiano Distanza tra due punti Come determinare la distanza tra i punti ( ; ) e ( ; ): Se i due punti e hanno la stessa ascissa = allora (-3;1) (-3; 5) d()= d()= 1 5 4 4 Se i due punti

Dettagli

Scheda 1. Concavo e convesso

Scheda 1. Concavo e convesso Scheda 1 Concavo e convesso Scheda 2 Concavità Fig.1 Concavità rivolta verso l alto Concavità rivolta verso il basso Fig.3 Concavità rivolta verso l alto Fig.2 Concavità rivolta verso il basso Fig.4 Scheda

Dettagli

Compito A

Compito A Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente).

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;

3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga; ^ - TETI compito n 2-2014-2015 1 Il triangolo ha come lati le rette r : y=x 2, s: x 4=0, t : x y 22=0 Disegna le rette r, s, t e determina: a le coordinate dei vertici =r s, =s t, =t r ; b l'area del triangolo;

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

f(x) = sin cos α = k2 2 k

f(x) = sin cos α = k2 2 k 28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza

Dettagli

LA CIRCONFERENZA. Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che

LA CIRCONFERENZA. Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse. La distanza fra ognuno

Dettagli

L equazione generica della funzione costante è y=k, il grafico è una retta parallela all asse x (asse delle ascisse). retta parallela all'asse x y

L equazione generica della funzione costante è y=k, il grafico è una retta parallela all asse x (asse delle ascisse). retta parallela all'asse x y La funzione costante L equazione generica della funzione costante è =k, il grafico è una retta parallela all asse (asse delle ascisse). Esempio di esercizio, dall equazione al grafico: =- retta parallela

Dettagli

Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti

Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = 8 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme

Dettagli

Problemi sull ellisse

Problemi sull ellisse 1 equazione dell ellisse Determina l equazione di un ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse, semiasse maggiore lungo 6 e distanza focale uguale a 6 + yy Scrivi l equazione dell ellisse con i fuochi

Dettagli

Anno 3 Rette e circonferenze

Anno 3 Rette e circonferenze Anno 3 Rette e circonferenze 1 Introduzione In questa lezione esamineremo le reciproche posizioni che possono sussistere tra retta e circonferenza o tra due circonferenze. Al termine della lezione sarai

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme

Dettagli

Derivata di una funzione

Derivata di una funzione Derivata di una funzione Prof. E. Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it Il problema delle tangenti Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la

Dettagli

TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI

TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI Trasformazioni del piano e grafici TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: consideriamo il piano R munito di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Una trasformazione

Dettagli

Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli. Programma sintetico.

Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli. Programma sintetico. Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. 1. Equazioni e disequazioni a) Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.

Dettagli

Studio del segno di un prodotto

Studio del segno di un prodotto Studio del segno di un prodotto Consideriamo una disequazione costituita dal prodotto di più binomi, ad esempio: ( x 1 )( 4 x)( x + 3) > 0 Per risolverla possiamo studiare il segno del prodotto al variare

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

Una rappresentazione grafica indicativa della parabola nel piano cartesiano è data dalla figura seguente.

Una rappresentazione grafica indicativa della parabola nel piano cartesiano è data dalla figura seguente. La paraola Definizione: si definisce paraola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Una rappresentazione grafica indicativa

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le

2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le PROBLEMA. Raccolta di problemi sulla circonferenza Scritta l equazione della circonferenza con centro in ( ) C e passante per l origine O, si conducano per O la retta a di equazione + y indicando con A

Dettagli

[ RITORNA ALLE DOMANDE] 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 1) Che cos è una conica?

[ RITORNA ALLE DOMANDE] 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 1) Che cos è una conica? Matematica 1) Che cos è una conica? 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 3) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y? 4) Qual è l equazione di una

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

D3. Parabola - Esercizi

D3. Parabola - Esercizi D3. Parabola - Esercizi Traccia il grafico delle seguenti parabole e trova i punti d incontro con l asse e con l asse graficamente e/o algebricamente. 1) = ++ (0;)] ) = -+1 ( + 3 ;0), ( 3 ;0), (0;1)] 3)

Dettagli

La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi

La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi Forma implicita Forma esplicita a x b y c 0 y m x q a c y x b b Esempio

Dettagli

Coniche - risposte 1.9

Coniche - risposte 1.9 Coniche - risposte. CAMBI DI COORDINATE ) ) cosπ/) sinπ/). a. Rotazione di π/, la matrice di rotazione è = sinπ/) cosπ/) ) ) ) X = Y X = Quindi le formule sono: cioè: Y = X e inversamente Y = = Y X = b.

Dettagli

Anno 3 Equazione dell'ellisse

Anno 3 Equazione dell'ellisse Anno Equazione dell'ellisse 1 Introduzione In questa lezione affronteremo una serie di problemi che ci chiederanno di determinare l equazione di un ellisse sotto certe condizioni. Al termine della lezione

Dettagli

Corso di Matematica II

Corso di Matematica II Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica

Dettagli

LE COORDINATE CARTESIANE

LE COORDINATE CARTESIANE CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate

Dettagli