FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta"

Transcript

1 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra la retta e l asse y. Il termine a si chiama coefficiente angolare e ci dà informazioni sull angolo che la retta fa con l asse x. In particolare, se a è maggiore di zero allora la retta è strettamente crescente, se invece a è minore di zero allora la retta è strettamente decrescente. Inoltre, maggiore in modulo è a e maggiore è la pendenza della curva. La funzione retta è definita in tutto R. Se a è diverso da zero allora è una funzione biunivoca, quindi è possibile calcolare la funzione inversa che è ancora una retta. In questo esempio abbiamo il grafico della funzione y = 2 x -3 Il 2, essendo maggiore di zero, ci dice che la retta è strettamente crescente, mentre il -3 indica che la retta interseca l asse y nel punto (0, -3). In questo esempio abbiamo il grafico della funzione y = -2 x 4 Il -2, essendo minore di zero, ci dice che la retta è strettamente decrescente, mentre il 4 indica che la retta interseca l asse y nel punto (0, 4).

2 2 Casi particolari della funzione retta. Funzione costante Se il termine a è uguale a zero, allora l equazione della retta si riduce a y = b Il grafico di questa equazione è una retta orizzontale in cui tutti i suoi punti hanno ordinata uguale a b. Una funzione così fatta si chiama funzione costante. Una funzione costante è quindi una funzione in cui tutti gli elementi del dominio hanno per corrispondente un unico elemento uguale per tutti. In questo esempio abbiamo il grafico della funzione y = 2.5 che consiste in una retta orizzontale in cui tutti i punti hanno ordinata uguale a 2.5 Quindi in questa funzione ad ogni numero reale corrisponde 2.5 Ovviamente la funzione costante non è né iniettiva né suriettiva, quindi non esiste la funzione inversa. Funzione identica Se nella equazione generale della funzione retta poniamo b = 0 e a = 1, allora abbiamo la funzione di equazione y = x il cui grafico è la bisettrice del primo e terzo quadrante ossia la retta in cui ogni punto ha uguali ascissa e ordinata. Questa funzione ha la particolarità che ad ogni numero corrisponde lo stesso numero. Una tale funzione, in cui ogni elemento è il corrispondente di sé stesso si chiama funzione identica e viene indicata talvolta con la lettera i. Ovviamente in una funzione identica l insieme di partenza e l insieme di arrivo devono coincidere. È ovvio inoltre che la funzione identica è invertibile e la sua inversa è ancora la funzione identica. Accanto abbiamo il grafico della funzione y = x che è una retta che taglia il primo e il terzo quadrante, facendo con gli assi angoli di 45.

3 3 Funzione parabola L equazione generale della funzione parabola è y = a x 2 + b x + c dove a, b, c sono tre numeri reali fissati. La funzione parabola è definita in tutto R. Il grafico di questa funzione è una parabola con asse verticale. 2 b b 4ac Il vertice è il punto di coordinate, 2a 4a Se a è positivo allora la parabola ha la concavità verso l alto (come nella figura accanto). Se a è negativo allora la parabola ha la concavità verso il basso (vedi la figura a sinistra). Funzione potenza n-ma L equazione della funzione potenza n-ma è y = x n dove n è un qualunque numero naturale maggiore di 1 ed è definita in tutto R. In particolare se n = 2 allora l equazione diventa y = x 2. Il grafico consiste in una parabola con concavità verso l alto e con vertice nell origine. Infatti questa funzione si può ottenere dalla equazione generale della parabola ponendo a = 1, b = 0 e c = 0.

4 4 Se n = 3 allora è una funzione strettamente crescente e il suo grafico è raffigurato a sinistra. In generale, se n è pari il grafico della funzione è simile ad una parabola con la concavità rivolta verso l'alto (ed è una vera e propria parabola solo per n = 2). Maggiore è n (pari) e più il grafico risulta "schiacciato" in prossimità dell'origine e "ripido" a mano a mano che ci si allontana da essa. In generale, se n è dispari il grafico della funzione è simile a quello rappresentato in figura (in cui è stato posto n = 5). Anche in questo caso, maggiore è n (dispari) e più il grafico risulta "schiacciato" in prossimità dell'origine e "ripido" a mano a mano che ci si allontana da essa.

5 5 La funzione potenza n-ma è biettiva solo se n è dispari, mentre se n è pari non è biettiva perché non è né suriettiva né iniettiva. Non è suriettiva perché assume solo valori positivi e non è iniettiva perché ogni numero ha la stessa immagine del suo opposto; si ha quindi che due elementi distinti del dominio, se sono l'uno l'opposto dell'altro, hanno la stessa immagine. Anche se la funzione potenze n-ma non è biettiva, è possibile comunque considerare la sua funzione inversa a patto di riconsiderare il dominio e l'insieme di arrivo della funzione potenza n-ma (sia con n pari che con n dispari). Se infatti poniamo come dominio e come insieme di arrivo della potenza n-ma l'intervallo [0, + [, allora questa funzione è biettiva (nota: questa funzione viene detta restrizione della potenza n-ma all'intervallo [0, + [). A sinistra abbiamo il grafico della restrizione della funzione potenza n-ma (con n = 2) all'intervallo [0, + [. In altre parole: abbiamo il grafico della funzione y = x 2 in cui si è posto come dominio e insieme di arrivo l'intervallo [0, + [. In questo caso la funzione è biettiva e quindi possiamo considerare la funzione inversa che è la funzione radice n-ma esposta nel prossimo paragrafo. Funzione radice n-ma La funzione y = n x (con n numero naturale maggiore di 1) è detta radice n-ma. Poiché un radicando non può essere mai negativo, questa funzione è definita in [0, + [, quindi il grafico si trova tutto "alla destra" dell'asse y. A sinistra il grafico della funzione y = 2 x A sinistra il grafico della funzione y = 3 x La funzione radice n-ma è strettamente crescente, inoltre passa per l'origine e per (1, 1) qualunque sia n. NOTA: in alcuni testi si trova che se n è dispari, allora la funzione radice n-ma è definita in tutto R, e si pone f(x) = n x se x > 0 e f(x) = - n - x se x è negativo.

6 6 Funzione esponenziale L'equazione generale della funzione esponenziale è y = a x dove a è un numero reale maggiore di zero e diverso da 1. Nota: a deve essere necessariamente maggiore di zero perché non è possibile considerare una potenza con esponente non intero che abbia base negativa. Inoltre a deve essere diverso da 1, altrimenti si avrebbe la funzione y = 1 x che è ovviamente la funzione costante y = 1. Se 0 < a < 1, allora la funzione è strettamente decrescente. Per valori positivi molto elevati la funzione si "avvicina" a zero, assumendo valori prossimi a zero quanto si desidera, senza però mai assumere il valore zero. Possiamo perciò anche questa volta dire che l'asse x è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione. In entrambi i casi, la funzione esponenziale è definita in tutto R, ha per codominio l'insieme ]0, + [ ed il suo grafico passa per il punto (0, 1). Si noti ancora che la funzione esponenziale è inettiva ma non suriettiva. E' comunque possibile considerare la sua funzione inversa, purché si ponga come insieme di arrivo della funzione esponenziale l'insieme ]0, + [. Per questa ragione la funzione inversa dell'esponenziale (ossia, come vedremo fra poco, la funzione logaritmo), deve essere definita in ]0, + [ e deve avere come codominio tutto R.

7 7 Funzione logaritmo L'equazione generale della funzione logaritmo è y = log a ( x) dove, per definizione di logaritmo, a > 0 e a 1 e, ovviamente, x > 0, quindi il grafico si trova tutto "alla destra" dell'asse y. Se a > 1, allora la funzione è strettamente crescente ed assume valori negativi sempre più elevati a mano a mano che la x si approssima allo zero. Ciò comporta che l'asse y è un asintoto verticale del grafico della funzione logaritmo. È importante notare che la funzione è negativa se x < 1, vale zero per x = 1 ed è positiva per x > 1. Accanto: il grafico della funzione logaritmo in base "e". In altre parole, in questo caso la funzione è y = ln(x) Accanto: il grafico della funzione logaritmo in base 10, ossia: y = log 10 ( x) Accanto: il grafico della funzione logaritmo in base 2, ossia: y = ( ) x log 2 Se invece la base del logaritmo è compresa tra zero ed 1, allora la funzione logaritmo è strettamente decrescente e, a differenza del caso precedente, assume valori positivi sempre più elevati a mano a mano che la x si approssima allo zero. Anche in questo caso ciò comporta che l'asse y è un asintoto verticale del grafico della funzione logaritmo. È importante notare che la funzione è positiva se x < 1, vale zero per x = 1 ed è negativa per x > 1 (vedi figure seguenti).

8 8 Accanto si ha il grafico della funzione logaritmo con base 1/2, ossia: log x y = ( ) 1 2 Funzione proporzionalità inversa. L'equazione generale della funzione proporzionalità inversa è y = x k dove k è un qualunque numero diverso da zero. Ovviamente essa è definita in R - {0}. Il grafico di questa funzione è un'iperbole equilatera avente gli assi cartesiani come asintoti (ricordiamo che un'iperbole si dice equilatera quando i suoi asintoti sono due rette perpendicolari). In particolare, per entrambi i rami dell'iperbole, l'asse x è un asintoto orizzontale e l'asse y è un asintoto verticale. Se k > 0 allora l'iperbole si trova nel 1 e 3 quadrante. Se invece k < 0 allora l'iperbole si trova nel 2 e 4 quadrante.

9 9 Funzione omografica L'equazione generale della funzione omografica è ax + b y = cx + d con c 0 e ad bc. Notare che c deve essere diverso da zero, perché se c fosse uguale a zero la funzione si ridurrebbe ad una retta (lo si verifichi per esercizio). Contemporaneamente se sussistesse l'eguaglianza ad = bc avremmo una funzione costante (lo si verifichi per esercizio). d Ovviamente questa funzione è definita in R -. c Come nel caso precedente, il grafico della funzione è un'iperbole equilatera, ma questa voltagli asintoti non sono gli assi cartesiani, ma le due seguenti rette: d a x = (asintoto verticale) e y = (asintoto orizzontale). c c asintoto orizzontale asintoto verticale Altre funzioni elementari sono le funzioni trigonometriche di cui parleremo in seguito.

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1 GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)

Dettagli

Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source

Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source Funzioni elementari Proporzionalità diretta e inversa Retta, funzione identità e funzione costante Parabola, funzione quadratica e cubica Funzione omografica Funzione esponenziale e logaritmica Funzioni

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. A x 1. x. x 3..y 1.y.y 3 B C.y 5 x 4..y

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Quadro riassuntivo di geometria analitica

Quadro riassuntivo di geometria analitica Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

3. Segni della funzione (positività e negatività)

3. Segni della funzione (positività e negatività) . Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte): MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

05 - Funzioni di una Variabile

05 - Funzioni di una Variabile Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 05 - Funzioni di una Variabile Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Verso il concetto di funzione

Verso il concetto di funzione Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

LOGARITMI. log = = con >0, 1; >0 = >0, 1, >0. log =1 >0, 1. notebookitalia.altervista.org

LOGARITMI. log = = con >0, 1; >0 = >0, 1, >0. log =1 >0, 1. notebookitalia.altervista.org LOGARITMI Sia un numero reale positivo ed un numero reale, positivo, diverso da 1; si dice logaritmo di in base il valore da attribuire come esponente alla base per ottenere una potenza uguale all argomento.

Dettagli

Introduzione. Test d ingresso

Introduzione. Test d ingresso Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche

Dettagli

1) a c - > 0 si ha un ellisse; 2) a c - 4. = 0 si ha una parabola; 3) a c - 4. < 0 si ha un iperbole.

1) a c - > 0 si ha un ellisse; 2) a c - 4. = 0 si ha una parabola; 3) a c - 4. < 0 si ha un iperbole. 1 Generalità sulle coniche AVVERTENZA QUESTI APPUNTI CONTENGONO DELLE NOTE INTRODUTTIVE SULLE CONICHE. QUESTE NOTE HANNO UN CARATTERE INTUITIVO, NON RIGOROSO E NON ESAUSTIVO. ESSE SONO STATE SCRITTE SOLO

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

L equazione generica della funzione costante è y=k, il grafico è una retta parallela all asse x (asse delle ascisse). retta parallela all'asse x y

L equazione generica della funzione costante è y=k, il grafico è una retta parallela all asse x (asse delle ascisse). retta parallela all'asse x y La funzione costante L equazione generica della funzione costante è =k, il grafico è una retta parallela all asse (asse delle ascisse). Esempio di esercizio, dall equazione al grafico: =- retta parallela

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 2.8 esercizi 31 2.8 esercizi hi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 Vero o falso? a. I punti (0, 2), (4, 4), (6, 0) e (2, 2) sono i vertici di un quadrato. V F b. Non esiste il coefficiente

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

1 Funzioni reali di una variabile reale

1 Funzioni reali di una variabile reale 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f

Dettagli

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane

Dettagli

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

, per cui le due curve f( x)

, per cui le due curve f( x) DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica http://spazioinwind.libero.it/adolscim DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione

Dettagli

ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI

ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI 0 novembre 206 Esercizi Esercizio n. Si consideri la funzione f(x) = 7 x 2 + 3 Dominio: R Intersezioni con gli assi: Intersezioni con l asse x: { y = 0 y = 7 x 2 + 3.

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni

Dettagli

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo

Dettagli

Anno Scolastico:

Anno Scolastico: LICEO SCIENTIFICO DI STATO "G. BATTAGLINI" TARANTO PROGRAMMA DI MATEMATICA svolto nella Classe III Sezione A. Anno Scolastico: 2012-2013. Docente: Francesco Pantano. 1. Disequazioni. Richiami sulle disequazioni

Dettagli

SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE. 16 20 20 0 5 5 dovendo essere

SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE. 16 20 20 0 5 5 dovendo essere SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE Problema 1: a) y = 4 x 4 x + x = 0 y = x x 1 x 1 C. E.: 4 x 0 x y = 4 x y = 4 x x + y = 4 semiocirconferenza superiore di centro l'origine e raggio C. C.:

Dettagli

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15 Tutorato di Analisi - AA / Emanuele Fabbiani marzo Funzioni in più variabili. Dominio Determinare e rappresentare gracamente il più grande insieme di R n che può essere dominio delle seguenti funzioni.

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI. Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce

Dettagli

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data

Dettagli

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E Esame di Matematica Generale 7 Febbraio 013 - Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio.

Dettagli

Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G

Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G Liceo Scientifico Statale G. BATTAGLINI Corso Umberto I 74100 Taranto Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G Prof. Paolo Pantano Richiami di Algebra Equazioni e disequazioni Definizioni.

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica a.a

Formulario di Geometria Analitica a.a Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 011 SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI ASSE X: P ( x,y ) a P1 ( x, y ) ; punto medio: M1 ( x,0) ASSE Y: P ( x,y ) a P ( x, y ),

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio.

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio. Materia: Matematica. Docente : Varano Franco Antonio. Classe : 3 C Liceo Scientifico, opzione Scienze Applicate. ATTIVITA CONTENUTI PERIODO / DURATA LE ISOMETRIE. LE FUNZIONI. LA RETTA. Le isometrie, la

Dettagli

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi 3 1. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata prima, con tracciamento di grafico ed indicazione

Dettagli

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica

Dettagli

Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com

Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi

Dettagli

1.3. Logaritmi ed esponenziali

1.3. Logaritmi ed esponenziali 1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione

Dettagli

Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli. Programma sintetico.

Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli. Programma sintetico. Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. 1. Equazioni e disequazioni a) Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ F a.s. 2013/14 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da

Dettagli

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE 1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Matematica Capitolo 1. Funzioni. Ivan Zivko

Matematica Capitolo 1. Funzioni. Ivan Zivko Matematica Capitolo 1 Funzioni Ivan Zivko Introduzione Una unzione è un qualcosa che mette in relazione un valore in entrata ( input ) con un altro in uscita ( output ). Input FUNZIONE Output Matematica

Dettagli

Geometria analitica del piano

Geometria analitica del piano Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema

Dettagli

Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA

Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA LA PARABOLA La parabola è una figura curva che, come la retta, è associata ad un polinomio che ne definisce l'equazione. A differenza della retta, però, il polinomio non è di primo grado, ma è di secondo

Dettagli

2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica.

2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. 2ALS Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. Si consiglia il libro: Matematica-recupero dei debiti formativi e ripasso estivo 2 ISBN 978-88-24741279

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se

Dettagli

Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. 1. Disegnare il graco della funzione: [10 punti]

Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. 1. Disegnare il graco della funzione: [10 punti] Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l'economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 7 gennaio 203. Disegnare il graco della funzione: [0 punti]

Dettagli

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema

Dettagli

Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +

Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 + Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere

Dettagli

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1 RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE,

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006

Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006 Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 005/006 Antonella Ballabene SOLUZIONI -14 marzo 006- SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI 1. Dominio della funzione f)..

Dettagli

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

CLASSE QUARTA RECUPERO PRIMO QUADRIMESTRE ANN

CLASSE QUARTA RECUPERO PRIMO QUADRIMESTRE ANN CLASSE QUARTA RECUPERO PRIMO QUADRIMESTRE ANN0 011-01 FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA Si dice campo di esistenza (C.E.) di una funzione y= f(x), l'insieme di tutti i valori reali

Dettagli

Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni

Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1 Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1. Date le funzioni f 1 (x) = x/4 1, f 2 (x) = 3 x, f 3 (x) = x 4 2x, scrivere a parole le operazioni che, dato x in modo opportuno, permettono di calcolare

Dettagli

Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2.

Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2. LA PARABOLA Rivedi la teoria La parabola e la sua equazione La parabola eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa chiamata direttrice.

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ). ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica

Dettagli

Problema ( ) = 0,!

Problema ( ) = 0,! Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

COMPENDIO ESPONENZIALI LOGARITMI

COMPENDIO ESPONENZIALI LOGARITMI TORINO SETTEMBRE 2010 COMPENDIO DI ESPONENZIALI E LOGARITMI di Bart VEGLIA 1 ESPONENZIALi 1 Equazioni esponenziali Un espressione in cui l incognita compare all esponente di una o più potenze si chiama

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

y = è una relazione tra due variabili, che ad ogni valore della

y = è una relazione tra due variabili, che ad ogni valore della LE FUNZIONI DEFIINIIZIIONE Una funzione f () = è una relazione tra due variabili, che ad ogni valore della VARIABILE INDIPENDENTE associa AL PIU (al massimo) un valore della VARIABILE DIPENDENTE E UNA

Dettagli

EQUAZIONI DISEQUAZIONI

EQUAZIONI DISEQUAZIONI EQUAZIONI DISEQUAZIONI Indice 1 Background 1 1.1 Proprietà delle potenze................................ 1 1.2 Prodotti notevoli................................... 1 2 Equazioni e disequazioni razionali

Dettagli

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13 Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0 Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: Primo grado ax + b = 0 (a 0) x = b a Secondo grado ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Si hanno due soluzioni che possono essere reali

Dettagli