FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

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1 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra la retta e l asse y. Il termine a si chiama coefficiente angolare e ci dà informazioni sull angolo che la retta fa con l asse x. In particolare, se a è maggiore di zero allora la retta è strettamente crescente, se invece a è minore di zero allora la retta è strettamente decrescente. Inoltre, maggiore in modulo è a e maggiore è la pendenza della curva. La funzione retta è definita in tutto R. Se a è diverso da zero allora è una funzione biunivoca, quindi è possibile calcolare la funzione inversa che è ancora una retta. In questo esempio abbiamo il grafico della funzione y = 2 x -3 Il 2, essendo maggiore di zero, ci dice che la retta è strettamente crescente, mentre il -3 indica che la retta interseca l asse y nel punto (0, -3). In questo esempio abbiamo il grafico della funzione y = -2 x 4 Il -2, essendo minore di zero, ci dice che la retta è strettamente decrescente, mentre il 4 indica che la retta interseca l asse y nel punto (0, 4).

2 2 Casi particolari della funzione retta. Funzione costante Se il termine a è uguale a zero, allora l equazione della retta si riduce a y = b Il grafico di questa equazione è una retta orizzontale in cui tutti i suoi punti hanno ordinata uguale a b. Una funzione così fatta si chiama funzione costante. Una funzione costante è quindi una funzione in cui tutti gli elementi del dominio hanno per corrispondente un unico elemento uguale per tutti. In questo esempio abbiamo il grafico della funzione y = 2.5 che consiste in una retta orizzontale in cui tutti i punti hanno ordinata uguale a 2.5 Quindi in questa funzione ad ogni numero reale corrisponde 2.5 Ovviamente la funzione costante non è né iniettiva né suriettiva, quindi non esiste la funzione inversa. Funzione identica Se nella equazione generale della funzione retta poniamo b = 0 e a = 1, allora abbiamo la funzione di equazione y = x il cui grafico è la bisettrice del primo e terzo quadrante ossia la retta in cui ogni punto ha uguali ascissa e ordinata. Questa funzione ha la particolarità che ad ogni numero corrisponde lo stesso numero. Una tale funzione, in cui ogni elemento è il corrispondente di sé stesso si chiama funzione identica e viene indicata talvolta con la lettera i. Ovviamente in una funzione identica l insieme di partenza e l insieme di arrivo devono coincidere. È ovvio inoltre che la funzione identica è invertibile e la sua inversa è ancora la funzione identica. Accanto abbiamo il grafico della funzione y = x che è una retta che taglia il primo e il terzo quadrante, facendo con gli assi angoli di 45.

3 3 Funzione parabola L equazione generale della funzione parabola è y = a x 2 + b x + c dove a, b, c sono tre numeri reali fissati. La funzione parabola è definita in tutto R. Il grafico di questa funzione è una parabola con asse verticale. 2 b b 4ac Il vertice è il punto di coordinate, 2a 4a Se a è positivo allora la parabola ha la concavità verso l alto (come nella figura accanto). Se a è negativo allora la parabola ha la concavità verso il basso (vedi la figura a sinistra). Funzione potenza n-ma L equazione della funzione potenza n-ma è y = x n dove n è un qualunque numero naturale maggiore di 1 ed è definita in tutto R. In particolare se n = 2 allora l equazione diventa y = x 2. Il grafico consiste in una parabola con concavità verso l alto e con vertice nell origine. Infatti questa funzione si può ottenere dalla equazione generale della parabola ponendo a = 1, b = 0 e c = 0.

4 4 Se n = 3 allora è una funzione strettamente crescente e il suo grafico è raffigurato a sinistra. In generale, se n è pari il grafico della funzione è simile ad una parabola con la concavità rivolta verso l'alto (ed è una vera e propria parabola solo per n = 2). Maggiore è n (pari) e più il grafico risulta "schiacciato" in prossimità dell'origine e "ripido" a mano a mano che ci si allontana da essa. In generale, se n è dispari il grafico della funzione è simile a quello rappresentato in figura (in cui è stato posto n = 5). Anche in questo caso, maggiore è n (dispari) e più il grafico risulta "schiacciato" in prossimità dell'origine e "ripido" a mano a mano che ci si allontana da essa.

5 5 La funzione potenza n-ma è biettiva solo se n è dispari, mentre se n è pari non è biettiva perché non è né suriettiva né iniettiva. Non è suriettiva perché assume solo valori positivi e non è iniettiva perché ogni numero ha la stessa immagine del suo opposto; si ha quindi che due elementi distinti del dominio, se sono l'uno l'opposto dell'altro, hanno la stessa immagine. Anche se la funzione potenze n-ma non è biettiva, è possibile comunque considerare la sua funzione inversa a patto di riconsiderare il dominio e l'insieme di arrivo della funzione potenza n-ma (sia con n pari che con n dispari). Se infatti poniamo come dominio e come insieme di arrivo della potenza n-ma l'intervallo [0, + [, allora questa funzione è biettiva (nota: questa funzione viene detta restrizione della potenza n-ma all'intervallo [0, + [). A sinistra abbiamo il grafico della restrizione della funzione potenza n-ma (con n = 2) all'intervallo [0, + [. In altre parole: abbiamo il grafico della funzione y = x 2 in cui si è posto come dominio e insieme di arrivo l'intervallo [0, + [. In questo caso la funzione è biettiva e quindi possiamo considerare la funzione inversa che è la funzione radice n-ma esposta nel prossimo paragrafo. Funzione radice n-ma La funzione y = n x (con n numero naturale maggiore di 1) è detta radice n-ma. Poiché un radicando non può essere mai negativo, questa funzione è definita in [0, + [, quindi il grafico si trova tutto "alla destra" dell'asse y. A sinistra il grafico della funzione y = 2 x A sinistra il grafico della funzione y = 3 x La funzione radice n-ma è strettamente crescente, inoltre passa per l'origine e per (1, 1) qualunque sia n. NOTA: in alcuni testi si trova che se n è dispari, allora la funzione radice n-ma è definita in tutto R, e si pone f(x) = n x se x > 0 e f(x) = - n - x se x è negativo.

6 6 Funzione esponenziale L'equazione generale della funzione esponenziale è y = a x dove a è un numero reale maggiore di zero e diverso da 1. Nota: a deve essere necessariamente maggiore di zero perché non è possibile considerare una potenza con esponente non intero che abbia base negativa. Inoltre a deve essere diverso da 1, altrimenti si avrebbe la funzione y = 1 x che è ovviamente la funzione costante y = 1. Se 0 < a < 1, allora la funzione è strettamente decrescente. Per valori positivi molto elevati la funzione si "avvicina" a zero, assumendo valori prossimi a zero quanto si desidera, senza però mai assumere il valore zero. Possiamo perciò anche questa volta dire che l'asse x è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione. In entrambi i casi, la funzione esponenziale è definita in tutto R, ha per codominio l'insieme ]0, + [ ed il suo grafico passa per il punto (0, 1). Si noti ancora che la funzione esponenziale è inettiva ma non suriettiva. E' comunque possibile considerare la sua funzione inversa, purché si ponga come insieme di arrivo della funzione esponenziale l'insieme ]0, + [. Per questa ragione la funzione inversa dell'esponenziale (ossia, come vedremo fra poco, la funzione logaritmo), deve essere definita in ]0, + [ e deve avere come codominio tutto R.

7 7 Funzione logaritmo L'equazione generale della funzione logaritmo è y = log a ( x) dove, per definizione di logaritmo, a > 0 e a 1 e, ovviamente, x > 0, quindi il grafico si trova tutto "alla destra" dell'asse y. Se a > 1, allora la funzione è strettamente crescente ed assume valori negativi sempre più elevati a mano a mano che la x si approssima allo zero. Ciò comporta che l'asse y è un asintoto verticale del grafico della funzione logaritmo. È importante notare che la funzione è negativa se x < 1, vale zero per x = 1 ed è positiva per x > 1. Accanto: il grafico della funzione logaritmo in base "e". In altre parole, in questo caso la funzione è y = ln(x) Accanto: il grafico della funzione logaritmo in base 10, ossia: y = log 10 ( x) Accanto: il grafico della funzione logaritmo in base 2, ossia: y = ( ) x log 2 Se invece la base del logaritmo è compresa tra zero ed 1, allora la funzione logaritmo è strettamente decrescente e, a differenza del caso precedente, assume valori positivi sempre più elevati a mano a mano che la x si approssima allo zero. Anche in questo caso ciò comporta che l'asse y è un asintoto verticale del grafico della funzione logaritmo. È importante notare che la funzione è positiva se x < 1, vale zero per x = 1 ed è negativa per x > 1 (vedi figure seguenti).

8 8 Accanto si ha il grafico della funzione logaritmo con base 1/2, ossia: log x y = ( ) 1 2 Funzione proporzionalità inversa. L'equazione generale della funzione proporzionalità inversa è y = x k dove k è un qualunque numero diverso da zero. Ovviamente essa è definita in R - {0}. Il grafico di questa funzione è un'iperbole equilatera avente gli assi cartesiani come asintoti (ricordiamo che un'iperbole si dice equilatera quando i suoi asintoti sono due rette perpendicolari). In particolare, per entrambi i rami dell'iperbole, l'asse x è un asintoto orizzontale e l'asse y è un asintoto verticale. Se k > 0 allora l'iperbole si trova nel 1 e 3 quadrante. Se invece k < 0 allora l'iperbole si trova nel 2 e 4 quadrante.

9 9 Funzione omografica L'equazione generale della funzione omografica è ax + b y = cx + d con c 0 e ad bc. Notare che c deve essere diverso da zero, perché se c fosse uguale a zero la funzione si ridurrebbe ad una retta (lo si verifichi per esercizio). Contemporaneamente se sussistesse l'eguaglianza ad = bc avremmo una funzione costante (lo si verifichi per esercizio). d Ovviamente questa funzione è definita in R -. c Come nel caso precedente, il grafico della funzione è un'iperbole equilatera, ma questa voltagli asintoti non sono gli assi cartesiani, ma le due seguenti rette: d a x = (asintoto verticale) e y = (asintoto orizzontale). c c asintoto orizzontale asintoto verticale Altre funzioni elementari sono le funzioni trigonometriche di cui parleremo in seguito.

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