Macerata 24 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI. k <, mentre se. x = e. x = che sono le soluzioni dell equazione, 3 9

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1 Macerata 4 marzo 015 classe M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI Problema 1 y = k x + 5k x 4 + k E dato il fascio di parabole di equazione ( ) ( ). SI ha quindi la concavità rivolta k = si ha la parabola degenere (una ret- a) Studia la concavità. Bisogna studiare il segno del coefficiente di verso l alto se k >, verso il basso se ta) di equazione x + y = 0. x, ossia di k k <, mentre se b) Trova le parabole generatrici del fascio e gli eventuali punti base. Sviluppando l equazione del fascio si ha:, ( y x x ) k ( x x ) sono: la parabola x 10 0 y x x = e le rette = 0. Le generatrici x = e x + =. I punti base sono le soluzioni dei sistemi y = x + x x = 6 4, ossia i punti ( ) 1 1,0 P e 8 P, 9 x = che sono le soluzioni dell equazione y = x + 6x 4 e x = 1 c) Trova le parabole degeneri Nei punti precedenti sono state trovate le parabole degeneri; sono le rette: x + y = 0, x = 1, x =. d) Determina per quale valore di k la parabola del fascio passa per il punto A ( 4;). Determina il suo vertice V. Sostituendo le coordinate di A nell equazione del fascio si ottiene: k = 1 e quindi la parabola di e- quazione y x 4x V ; 1 = + il cui vertice ha coordinate ( ) e) Determina le coordinate del punto B in cui la parabola incontra l asse y e il simmetrico di questo rispetto all asse della parabola dimostrando che esso è A. B 0;. Se il simmetrico di B rispetto Il punto B in cui la parabola incontra l asse y ha coordinate ( ) xa + xb all asse della parabola è A, deve essere xv = e ya = yb. Si vede facilmente che le condizioni sono soddisfatte. f) Calcola l area del triangolo BVA. Il triangolo BVA è isoscele sulla base AB. La sua area si ricava quindi dalla formula AB VH Area = essendo H il piede dell altezza condotta da V alla base AB. Facilmente si ricava H ;. Si ha quindi: AB = xa xb = 4 e VH = yv yh = 4. L area cercata è quindi 8. che ( )

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3 Problema a) Scrivi l equazione della parabola avente fuoco F 1; e vertice V ( 1; ). Rappresentala su di un piano cartesiano. Poiché l ascissa de vertice è uguale a quella del fuoco allora la parabola ha asse di simmetria parallelo all asse y e l equazione sarà del tipo y = ax + bx + c, con a 0.Dalle coordinate del vertice di b ricava che = 1 e a b ( b ac) 4ac 1 4 =, mentre dall ordinata del fuoco si ricava =. 4a 4a Mettendo a sistema: b = 1 a b 4ac = ricavando b dalla prima e sostituendo nella seconda e nel- 4a 1 ( b 4ac) = 4a

4 la terza si ha: b = a a c = (a può essere semplificato essendo diverso da zero). Ricavando c dalla seconda e sostituendo nella terza si ha: c = a da cui si ricava l equazione della pa- 1 4a + 4ac + 6a = 0 b = a 1 a = 0 1 rabola: y = x x. b) Determina le tangenti in A e in B alla parabola, dove A e B le intersezioni con la bisettrice del II e IV quadrante ( x A < x B ). Trova il punto C di intersezione delle tangenti. 1 y = x x I punti A e B si ricavano dalla soluzione del sistema. Si ha: A( ; ) e y = x y + y0 x + x0 B ( ; ). Utilizzando la formula di sdoppiamento = axx0 + b + c si ricava che la tangente in A ha equazione: y = x ( + 1) e quella in B ha equazione: y x( ) = 1. È immediato vedere che poiché le due rette hanno lo stesso termine noto passano entrambe per il pun- 0; che è il punto C richiesto. In modo alternativo basta risolvere il sistema to ( ) x ( ) ( ) y = + 1 y = x 1 quindi y =. ossia l equazione x( ) x( ) + 1 = + 1 da cui si ricava x = 0 e c) Determina un punto D sull asse x tale che l area del triangolo ABD sia uguale a 4. Siano ( h ;0) le coordinate del punto D, dove h è un numero reale L area del triangolo può essere calcolata mediante la formula base AB. AB ( x x ) ( y y ) AB DH Area = essendo H il piede dell altezza condotta da D alla = A B + A B = 6, mentre h DH = distanza( H;bisettrice II e IV quadrante) =. 1 h 4 = 6 da cui 4 Si ha quindi ( ) D ( 4;0) h =. I punti sono quindi due, simmetrici, ( ) D1 4;0 e d) Calcola l area del segmento parabolico individuato dalla parabola e dalla bisettrice del II e IV quadrante. Per determinare l area del segmento parabolico richiesto dobbiamo trovare la parallela alla bisettrice del II e IV quadrante che è tangente alla parabola. La sua equazione generica è y = x + q. Imponiamo la condizione di tangenza, ossia che il discriminante dell equazione che risolve il sistema 1 y = x x 1 sia zero. L equazione risolvente è x x = x + q, ossia x q = 0 da y = x + q

5 cui ( q) = 4 = 0 e quindi trovare la distanza d di tale retta da A o da B; si ha: + d = =. L area del seg- 4 mento parabolico Area AB h ( ) q =. L equazione cercata è quindi = = 6 =. 4 y = x. Dobbiamo ora

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