RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1

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1 RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1

2 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE, il termine m è detto COEFFICIENTE ANGOLARE. Tale funzione è definita R e rappresenta una retta del piano cartesiano non parallela all asse y. Se q = 0, allora la retta passa per l origine degli assi. Esempio. y = 4 In tal caso le due grandezze e y sono tra loro in una relazione di proporzionalità diretta. Def. Due grandezze si definiscono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. Angela Donatiello

3 A ( 1,y 1 ) B(,y ) - 1 y -y 1 m = y y 1 1 = Δy Δ = tgα dove α è l angolo che la retta forma con l asse delle ascisse valutato in senso antiorario. RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE Ø Tasso di crescita del peso di un neonato tra la seconda e sesta settimana Ø Tasso di dilatazione termica Angela Donatiello 3

4 m > 0 la retta è una funzione crescente ( 1 < y 1 < y ) Δy Per cui = Δ α acuto tgα >0 m < 0 la retta è una funzione decrescente ( 1 < y 1 > y ) Δy Per cui = Δ α ottuso tgα < 0 Angela Donatiello 4

5 Condizione di parallelismo tra rette: Condizione di perpendicolarità tra rette: r // r' m = r r' m' m = 1 m' Equazione del fascio proprio di rette (retta passante per un punto assegnato P( 0,y 0 ) ): y = m( ) y 0 0 Equazione della retta passante per due punti: A ( 1,y 1 ) B(,y ) y y m = 1 e y y1 = m( 1) 1 y y y y 1 y y = 1 + ( y y1 ) = 1 1 Angela Donatiello 5

6 FUNZIONE QUADRATICA Una funzione del tipo f() = a + b + c con a,b,c R ed a 0 È detta funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola generica. Ø Il grafico della parabola è simmetrico rispetto ad una retta parallela all asse y, detto asse di simmetria, di equazione = b a Ø La parabola ha vertice nel punto di coordinate con Δ = b 4ac V Ø Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l alto b a ; Δ 4a Ø Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso Angela Donatiello 6

7 Angela Donatiello 7

8 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Risolvere un equazione del tipo a + b + c = 0 significa risolvere il sistema y = a ossia cercare le intersezioni tra la funzione quadratica e l asse delle ascisse (asse ) Tali soluzioni vengono definite RADICI o ZERI della funzione. y = + 0 b + c Angela Donatiello 8

9 Δ = b 4ac Ø Se Δ > 0 l equazione ammette due soluzioni reali e b Δ b + Δ distinte 1 = e = a a (due intersezioni con l asse ) Ø Se Δ = 0 l equazione ammette due soluzioni reali e b coincidenti 1 = = a (una sola intersezione con l asse ) Ø Se Δ < 0 l equazione non ammette soluzioni reali, ciò vuol dire che la funzione quadratica non ha intersezioni con l asse Angela Donatiello 9

10 a > 0 a + b + c >0 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Δ > 0 > < 1 R, 1 Δ = 0 Δ < 0 R Angela Donatiello 10

11 a > 0 a + b + c 0 Δ > 0 = 0 1 Δ Δ < 0 R R Angela Donatiello 11

12 a > 0 a + b + c < 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ > 0 < < / R / R 1 Angela Donatiello 1

13 a > 0 a + b + c 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ > = / R Angela Donatiello 13

14 RICAPITOLANDO 1) Nel caso di disequazione di secondo grado Pura, Spuria o Completa con Δ > 0, l equazione associata avrà due soluzioni reali e distinte e la disequazione sarà soddisfatta per intervalli esterni o interni, a seconda se sono concordi o discordi il coefficiente del termine di secondo grado e il verso della disequazione:! 5 > 0 < 5 > 5 3! 4 < 0 0 < < 4 3! Angela Donatiello 14

15 ) Nel caso di disequazione di secondo grado Completa con Δ < 0, l equazione associata non avrà soluzioni reali, per cui la parabola a cui il polinomio si riferisce non interseca l asse. Pertanto, facendo in modo di avere il coefficiente del termine di secondo grado positivo, si avranno due casi:! > 0 R! + 7 < 0 impossibile Angela Donatiello 15

16 3) Nel caso di disequazione di secondo grado Completa con Δ = 0 il polinomio è necessariamente un quadrato di binomio, pertanto si presenteranno 4 casi possibili:! = ( 3)! ( 3)! > 0 3 ( 3)! 0 R ( 3)! < 0 impossibile ( 3)! 0 = 3 Angela Donatiello 16

17 DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE N() D() N() 0 o 0 D() Si studiano il segno del numeratore e il segno del denominatore, analizzandone la positività. Si costruisce poi un grafico dei segni su cui riportare gli intervalli di positività di numeratore e denominatore. Si determina, infine, con la regola dei segni, il segno del rapporto N/D. + 5 Esempio Esempio Sol: (-;) Sol: (, 4) ( ; + ) Angela Donatiello 17

18 D (X) > 0 ( < 0) SISTEMI DI DISEQUAZIONI Si determinano le soluzioni della prima 1 disequazione, si determinano le soluzioni della D(X) > 0 ( < 0) seconda disequazione e si rappresentano tali soluzioni su un grafico di sistema. (Le soluzioni di una singola disequazione vanno rappresentate con una linea continua su uno stesso livello, le disequazioni dell altra disequazione su un secondo livello). Si ricercano infine le soluzioni comuni, ossia quelle che soddisfano entrambe le disequazioni. Esempio: 9 5 > Sol: (, 3) (3,5] Angela Donatiello 18

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