INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA

Transcript

1 INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA L trigonometri: come e perché. L prol trigonometri signific misur degli elementi di un tringolo; prolem primrio di questo cpitolo dell mtemtic è quello di determinre l misur dei lti e degli ngoli di un tringolo prtire d lcuni di questi elementi. Poiché un tringolo non è definito se si conoscono solo i suoi ngoli (vremmo tnti tringoli simili), lmeno uno dei dti deve essere un lto. È noto dll geometri elementre che per individure un tringolo possono essere ssegnti:. due lti e l ngolo tr essi compreso (primo criterio di eguglinz dei tringoli),. due ngoli ed un lto (secondo criterio più, eventulmente, il teorem sull somm degli ngoli interni),. tre lti (terzo criterio). Ponimoci dunque il seguente prolem: PROBLEMA Dto un tringolo del qule si conoscono i tre elementi indicti in uno dei punti precedenti, determinrne tutti gli ltri. Affrontimo lo studio di questo prolem, esminndo per primo il cso prticolre dei tringoli rettngoli. Già in quest form il prolem si present di ntur non elementre (trnne il cso in cui sino noti due lti ed uno degli ngoli cuti: il teorem di Pitgor e quello dell somm degli ngoli interni di un tringolo permettono di concludere in modo ovvio). Vedremo più vnti come i risultti ottenuti per tringoli rettngoli potrnno essere utilizzti per studire il cso generle. Inizimo con due osservzioni generli. B B A C C F igur

2 Osservzione. Considerimo i tringoli ABC e AB C, rettngoli rispettivmente in C ed in C e con lo stesso ngolo in corrispondenz del vertice A (Figur ). Questi sono evidentemente simili e quindi si h: BC AB = B C AB, AC AB = AC AB Dunque in tutti i tringoli rettngoli che hnno uno stesso ngolo cuto il rpporto tr un cteto e l ipotenus si mntiene costnte. Osservzione. Considerimo i tringoli ABC e AB C, rettngoli rispettivmente in C e in C, venti il vertice dell ngolo  l centro di un cerchio e i punti B e B sul ordo di esso (vedi Figur ). Dll figur risult evidentemente CÂB > C ÂB, mentre : B C AB perché AB = AB, B C < BC, AC < AC. < BC AB, AC AB < AC AB B B A C C F igur Dunque in tringoli rettngoli che hnno un ngolo cuto diverso il rpporto tr cteto e ipotenus cmi. D queste due osservzioni segue che i rpporti: BC AB e AC AB di un cteto con l ipotenus dipendono solo dll mpiezz dell ngolo (sono cioè funzioni di ). B c β γ A C F igur

3 Le uguglinze: ovvero (con riferimento ll figur ) sin = BC AB, cos = AC AB sin = c, cos = c definiscono rispettivmente le funzioni trigonometriche seno e coseno. In ltre prole sin è il rpporto tr il cteto opposto d e l ipotenus, cos quello tr il cteto dicente d e l ipotenus. Possimo riscrivere = c sin, = c cos. Osservimo che per il teorem di Pitgor si h + = c, dunque: (c sin ) + (c cos ) = c, d cui ottenimo l seguente identità (dett Relzione Pitgoric o identità fondmentle dell trigonometri): sin + cos =. A prtire d quest identità ritrovimo un risultto che è immedito dedurre dlle definizioni dte: cioè: in un tringolo rettngolo il seno ed il coseno sono quntità positive e minori o uguli, in un tringolo rettngolo: 0 sin, 0 cos. Simo or in grdo di ffrontre il prolem che ci simo posti in prtenz (Prolem ) per i tringoli rettngoli (vedi figur ). i) Dti due lti e l ngolo tr essi compreso, determinre gli ltri elementi del tringolo. Noti, c, β = c = 90 0 β, c, = c β = 90 0,, γ c = + sin = c β = 90 0 sin β = c = 90 0 β cos = c β = 90 0 cos β = c = 90 0 β Si noti che cos = sin β e sin = cos β. Possimo dunque dedurre d queste osservzioni l seguente identità: sin = cos(90 0 ).

4 ii) Dti due ngoli ed un lto.( ) Noti c,, β = c sin = c cos = c cos β = c sin β,, β c = sin = c c = cos β,, β c = sin β c = cos = c iii) Dti tre lti. Noti,, c sin = c β = 90 0 cos = c sin β = c = 90 0 β cos β = c Questo non è ncor l oiettivo che ci ervmo posti ll inizio poiché le soluzioni sono stte scritte utilizzndo non direttmente gli ngoli, m il loro seno o coseno. Occorre sper pssre dl vlore dell funzione quello degli ngoli e vicevers: dto sin o cos doimo sper clcolre oppure dto clcolre sin e cos. L geometri ci consente di eseguire questi clcoli per un numero limitto di ngoli (vedi oltre). In tutti gli ltri csi si deve ricorrere gli strumenti più rffinti forniti dll Anlisi Mtemtic. Esminimo lcuni ngoli prticolri per i quli è possiile clcolre seno e coseno. = 45 o (Figur 4) Osservimo che il tringolo ABC è isoscele, perché Â = B = 45 o. Essendo dunque =, per il teorem di Pitgor risult c = + = d cui c = = sin 45 o = c = = = cos 45 o = c = = = Poiché dti due ngoli, il terzo è utomticmente noto, possimo limitrci supporre che sino ssegnti β. 4

5 B c 45 o A C = 0 o (Figur 5) F igur 4 Osservimo che il tringolo AB B è equiltero (tutti i sui ngoli misurno 60 o ), quindi: = CB = BB = AB = c. In definitiv: sin 0 o = c = =, cos 0o = c = c 4 = c oppure dll relzione pitgoric: cos 0 o = (sin 0 o ) = 4 =. = ; B c 60 o A 0 o 0 o C 60 o B = 60 o (Figur 6) F igur 5 Osservndo che il tringolo AA B è equiltero e rgionndo come nel cso precedente, ricvimo che = c e quindi: cos 60 o = =, sin 60o = = 0 o In questo cso il tringolo si riduce d un segmento in cui B C e dunque = 0, = c. Allor: sin 0 o = 0 = 0, cos 0o = c c =. 5

6 B 0 o 0 o c 60 o 60 o A C A F igur 6 = 90 o Anche in questo cso il tringolo divent un segmento, con A B e dunque c = 0 e =. Allor: Le funzioni trigonometriche. sin 90 o = =, cos 90o = 0 = 0 Le funzioni trigonometriche sono stte definite nel prgrfo precedente per gli ngoli interni di un tringolo rettngolo (quindi per ngoli di mpiezz compres tr 0 o e 90 o ). Nel presente prgrfo dimo un definizione delle funzioni trigonometriche per ngoli di mpiezz qulunque, nche negtiv. Per questo scopo, introducimo prim l nozione di ngoli orientti. Angoli orientti. Considerimo l ngolo individuto dll coppi ordint, di semirette del pino con l medesim origine O. Diremo che l ngolo è orientto se è stilito qule delle due semirette deve considerrsi come primo lto. Se scrivimo â considerimo come primo lto. Quindi â e sono d considerrsi diversi (Figur 7). F igur 7 L ngolo â si dice positivo se è descritto dll semirett medinte un rotzione ntiorri, negtivo se l rotzione è orri. L misur di un ngolo è positiv o negtiv second che l ngolo si positivo o negtivo. Supponimo che l semirett si sovrppong ll semirett dopo ver percorso l ngolo di misur. L semirett continuerà sovrpporsi se l ruotimo ulteriormente di uno o più ngoli giri. Tenendo conto di quest considerzione, possimo ssocire ll ngolo â infiniti numeri reli dell form + k600 : ognuno di essi può essere scelto come misur dell ngolo â. In ltre prole, l misur di un ngolo è individut meno di multipli interi di 60 0 : mis â = + k60o, 0 < Chimeremo il vlore misur principle dell ngolo. A meno che non si specificto diversmente, qundo prleremo di misur di un ngolo intenderemo sempre riferirci questo vlore principle. Considerimo un sistem di ssi crtesini venti l origine O nel vertice dell ngolo â e il semisse positivo delle scisse coincidente con. Aggiungimo inoltre un circonferenz di rggio unitrio vente il centro in O e indichimo con A e B rispettivmente l intersezione di quest con le semirette, (Figur 8). 6

7 y B=(x,y) 0 C A x F igur 8 Definizione. Se B = (x, y) e misur di â =, ponimo: sin = y, cos = x. In questo modo le funzioni trigonometriche sono definite per qulunque vlore dell ngolo â (positivo o negtivo). Nel cso in cui l misur dell ngolo i un vlore compreso tr 0 o e 90 o ritrovimo l stess definizione del prgrfo precedente; inftti: CB sin â = OB = CB Continu vlere l relzione pitgoric in qunto: Dll definizione dt è fcile verificre che: = ordint di B, cos â = OC OB = OC sin + cos = x + y = (BO) =. = sciss di B. sin, cos. Aimo osservto in precedenz che se â h mpiezz llor gli ngoli di mpiezz + k60o, k Z coincidono con â, quindi nche il vlore delle loro funzioni trigonometriche coincide: sin = sin( + k 60 o ), cos = cos( + k 60 o ), k Z. Queste eguglinze provno che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo Come imo già detto nelle definizioni preliminri viste nel Prgrfo, per clcolre esplicitmente il vlore del seno e del coseno di un ngolo si dovreero utilizzre gli strumenti dell Anlisi Mtemtic (formul di Tylor). In prtic st un PC o un clcoltrice scientific secondo le istruzioni già introdotte. Un funzione f : R R si dice periodic di periodo T > 0, se per ogni x R risult f(x) = f(x + T ). 7

8 Per un numero limitto di ngoli, il risultto si può ottenere ncor per vi geometric. A tle scopo richimimo nelle figure sotto le relzioni rispettivmente tr ltezz e lto di un tringolo equiltero (Figur 9), lto e digonle di un qudrto (Figur 0) (si us il teorem di Pitgor). C G F A 60 0 H B D 45 0 E F igur 9 F igur 0 HB = CB, HC = CB, DF = DE = 0 o Considerimo il tringolo AOB (equiltero)( ) (Figur ). y B A C 0 X F igur Per qunto osservto sopr, sin = ordint di B = BC = OB =. Mentre cos = sciss di C = OC = OB =. = 80 o Il punto B h coordinte (-,0), quindi: sin = 0, cos =. = 5 0 (Figur ) Perchè OA = OB = e ÂOB misur 60 o. 8

9 y C 5 0 O x B 45 0 E F igur B è il vertice del qudrto OCBE l cui digonle OB =. Quindi l misur di BC è ugule ll misur di BE ed è ugule. Tenuto conto che B si trov nel qudrnte dove x e y sono negtivi, possimo scrivere: sin 5 o = cos 5 o = In mnier nlog si rgion per determinre il vlore delle funzioni trigonometriche per ltri ngoli notevoli (vedi l tell più vnti). Dimo or un esempio di come, rgionndo sull circonferenz trigonometric, si ottiene un delle relzioni degli ngoli ssociti riportt nell tell. sin(80 0 ) = sin y sin 80 0 x Risoluzione dei prolemi sui tringoli In questo prgrfo riprendimo il Prolem sull risoluzione dei tringoli, ffrontndo il cso generle. Per fre questo, imo isogno di richimre due teoremi di trigonometri: il teorem dei seni o di Eulero 9

10 e il teorem del coseno o di Crnot, entrmi vlidi per un tringolo qulunque ABC (figur ). C γ β A c B F igur TEOREMA DEI SENI O DI EULERO In un tringolo qulunque le misure dei lti sono proporzionli i seni degli ngoli opposti. Questo teorem può essere espresso nell form: sin = sin β = c sin γ. L dimostrzione è un semplice ppliczione delle formule sui tringoli rettngoli viste ll inizo del cpitolo unit delle proprietà di geometri dei tringoli inscritti nelle circonferenze. Considerimo quindi l cisrconferenz di rggio r in cui è inscritto il tringolo dto. Si distinguono due csi. 0 ) Il tringolo è cutngolo. A c D O B β γ C Osservimo che nell figur sopr il tringolo BCD è rettngolo (in qunto è stto costruito in modo d essere inscritto in un semicirconferenz e con un lto coincidente con un dimetro). Bsterà provre che il rpporto tr l lunghezz di un lto ed il seno dell ngolo opposto è costnte, in prticolre proveremo che 0

11 risult A tle scopo osservimo che sin = r BAC = BDC perchè sono due ngoli ll circonferenz che insistono sullo stesso rco BC. Applichimo le formule reltive l tringolo rettngolo viste nel primo prgrfo l tringolo BDC : BC = BD sin BDC Osservimo che risult d cui e quindi BC =, BD = r BDC =, BAC =. = r sin sin = r 0 ) Il tringolo è ottusngolo. c A B β γ C O D Si osservi che nell figur sopr gli ngoli BAC e BDC sono supplementri, perché ngoli opposti di un qudriltero inscritto in un semicirconferenz; risult: Considerimo il tringolo rettngolo BDC, si h: BDC = 80 0 BC = BD sin BDC, ovvero = r sin

12 d cui sin = r. Procedendo in mnier nlog per gli ltri due ngoli del tringolo, si possono scriver infine le relzioni: dlle quli ottenimo sin = r, sin = sin β = r, TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT ( 4 ) sin β = c sin γ = r c sin γ. In un tringolo qulsisi, il qudrto dell misur di ogni lto è egule ll somm dei qudrti delle misure degli ltri due diminuit del doppio prodotto delle misure di questi due lti per il coseno dell ngolo tr essi compreso. In formul: = + c c cos = c + c cos β c = + cos γ. Osservzione. Il teorem dei coseni è un generlizzzione del Teorem di Pitgor. Inftti se uno degli ngoli, d esempio, misur 90 0, sostituendo cos = 0 nell prim eguglinz si ottiene = + c che esprime ppunto l identità pitgoric. A questo punto simo in grdo di risolvere il Prolem per un tringolo qulunque. Cso i). Noti due lti e l ngolo tr essi compreso. Se conoscimo d esempio, c,, l prim delle formule del Teorem di Crnot ci permette di clcolre, mentre dll second e dll terz ricvimo: cos β = c + c Per clcolre β e γ potremmo nche ricorrere l teorem dei seni, cos γ = + c. sin β = sin sin γ = c sin. Ci sree però miguità nel ricvre i vlori di β e di γ, perché i due ngoli potreero essere entrmi cuti oppure uno cuto e l ltro ottuso. Così, se β fosse cuto, sree «β = rcsin sin 4 Lzre Crnot, (75-8), mtemtico frncese. Prtecipò ll Rivoluzione del 789. Come memro del Comitto di Slute pulic dette un contriuto decisivo ll politic scientific dell Repulic, in prticolre ll fondzione delle Grndi Scuole....Con l fondzione delle Grndi Scuole finì per mutre definitivmente nche il ruolo socile del mtemtico, non più un dilettnte, come spesso er stto nel Seicento, né un dotto o un ccdemico come nel Settecento. Trnne poche eccezioni, d llor in poi il mestiere del mtemtico srà indissoluilmente legto quello di insegnnte, nelle Grndi Scuole in Frnci, generlmente nelle università negli ltri Pesi. Tle ftto vrà esiti non indifferenti nche sul modo di fre mtemtic. L orgnizzzione delle teorie necessrie per un chir esposizione didttic finirà inftti per riflettersi nche sugli stndrd di rigore ccettili in mtemtic. U. Bottzzini, Il fluto di Hilert, UTET, 00.

13 ltrimenti «β = π rcsin sin. Quest miguità può essere risolt tenendo presente che in un tringolo lto mggiore è opposto ngolo mggiore. L utilizzo del teorem del coseno permette invece di risolvere direttmente il prolem. Cso ii). Noti due ngoli ed un lto. Supponimo di conoscere, β,. Dl teorem sull somm degli ngoli interni di un tringolo deducimo suito γ = 80 o β. Per clcolre, c utilizzimo il teorem dei seni, ottenendo = sin β sin, c = sin γ sin. Cso iii). Noti i tre lti. Supponimo di conoscere,, c. Dl teorem di Crnot deducimo il coseno degli ngoli, β, γ e quindi gli ngoli stessi. cos = + c c cos β = + c c () () cos γ = + c. () Ovvimente le equzioni (), (), () mmettono soluzioni, β, γ se i dti verificno rispettivmente le condizioni: + c c, + c c + c. (4) L prim di queste disequzioni equivle + c c che possimo riscrivere successivmente nelle forme equivlenti: Anlogmente dlle ltre disequzioni si deduce:, (5) c + c e + c c (6) ( + c) e ( c) + c e c. + c e c, c + e c. Queste sono proprio le condizioni dettte di noti teoremi di geometri sulle relzioni tr le lunghezze dei lti di un tringolo: in un tringolo l misur di un lto è minore dell somm delle misure degli ltri due e mggiore dell loro differenz. L eguglinz si ottiene solo nel cso in cui il tringolo degeneri in un segmento. I dti del prolem devono dunque verificre queste condizioni per individure un tringolo. Nello studio dell risoluzione di un tringolo c è un cso non ncor esminto: quello in cui sono noti due lti (d esempio, ) ed un ngolo non compreso tr essi (d esempio ). In quest situzione i teoremi di eguglinz dei tringoli non ci ssicurno l unicità di soluzioni (e nemmeno l esistenz). Esminimo nel dettglio il prolem. L strd più ovvi d seguire è quell di pplicre il Teorem dei seni per clcolre l ngolo β, e di conseguenz l ngolo γ, riconducendosi così l cso i): sin = sin β

14 ovvero sin β = sin. (7) Un volt ricvto β, srà γ = 80 0 β. Per trovre c, possimo ricorrere l teorem dei seni o quello del coseno. Riprendimo l equzione (7): sppimo che h soluzione se e solo se risult: sin. (8) Poiché è l ngolo interno di un tringolo (e dunque sin 0) l condizione (8) si può riscrivere in modo equivlente nell form cioè sin sin. Quest condizione è dunque necessri per l esistenz del tringolo. Se = sin, si deduce sin β = cioè β = 90 0 : in questo cso dunque il tringolo è rettngolo. Se > sin, l equzione (7) fornisce due soluzioni ( 5 ) β = β [ 0, π ) e β = β ( π, π ]. Perché si possiile l scelt di β deve essere > (inftti in questo cso l ngolo β risult mggiore dell ngolo e dunque il lto opposto β deve essere mggiore del lto opposto d ). Rissumendo se < sin il tringolo non esiste se = sin il tringolo è unico e rettngolo se sin < < esistono due tringoli se = il tringolo è unico e isoscele se > il tringolo è unico. β sin β Esempio. Sino =, =, γ = 5 0. Clcolre c,, β. 5 Se fosse stto dto > π, ovvimente l second soluzione sree d scrtre. Nel cso < π scelte entrme le soluzioni. priori possono essere 4

15 Applicndo il teorem del coseno, si ottiene: c = cos 5 0 d cui c =, 066. Sempre per lo stesso teorem: cos β = c + β = 4 0 c Di conseguenz = Se invece usimo il teorem dei seni per clcolre β, trovimo sin β = sin 50, 066 cioè sin β = 0, 48 Quest ultim equzione fornisce β = 4 0 oppure β = L soluzione β è nturlmente d scrtre, tenendo conto dell somm degli ngoli interni di un tringolo. Avremmo potuto scrtre priori l possiilità di β ngolo ottuso, perché il lto opposto β misur meno del lto opposto d (si ricordi che lti minori corrispondono ngoli minori). Dunque l unic soluzione possiile per β è il vlore 4 0, che coincide con il risultto trovto pplicndo il teorem del coseno. Esempio. Sino = 8, = 5, = 7 0. Clcolre c, β, γ. Si h = 5 sin 7 0 = 4, 658. Poiché risult > h, il tringolo esiste; inoltre, essendo >, il tringolo è unico (vedi figur.) h Procedendo come nel precedente esercizio: Esempio. Sino = 9, =, = 6 0. Clcolre c, β, γ. sin β = sin = 0, β = , γ = 80 0 ( + β) = , c = sin γ = 5, 6. sin 5

16 c β h c β γ γ = Poiché h = sin 6 0 = 7, 05, risult > h e quindi il tringolo esiste, mentre dl ftto che < si deduce che esistono due tringoli. Applichimo il teorem dei seni: sin β = sin = 0, 7877; le soluzioni sono β = e β = Tenuto conto del teorem dell somm degli ngoli interni di un tringolo, possimo clcolre il vlore del terzo ngolo γ = oppure γ = Applicndo di nuovo il teorem dei seni ottenimo il vlore del terzo lto Esempio 4. Sino = 8, = 0, = Clcolre c, β, γ. Osservimo che poiché risult: si h < h e quindi il tringolo non esiste. c = sin γ sin = 5, 98, oppure c = sin γ = 4, 8. sin h = 0 sin 65 0 = 9, 06, h 4 Misur dell ngolo in rdinti Come imo visto, le funzioni trigonometriche sono definite come rpporto tr lunghezze e perciò sono quntità dimensionli. Se voglimo che questo ccd per gli ngoli, occorre dre un nuov definizione: quell di misur di un ngolo in rdinti. Per introdurl, fissto l ngolo positivo â di vertice 0, considerimo 6

17 il sistem di riferimento come in Figur cui sovrpponimo l circonferenz C di centro l origine e rggio R; (in quest Figur il rggio è ) sino A, B rispettivmente le intersezioni con le semirette,. y 0 A=(,0) x F igur Indicto con AB l rco di circonferenz delimitto di due punti A, B, dimo l seguente definizione: Definizione. Si dice misur in rdinti dell ngolo positivo â il numero rele = mis AB rggio di C. Si può dimostrre che il vlore di questo rpporto non dipende dl rggio dell circonferenz. ( 6 ) y r r x F igur 4 In prticolre, se C è l circonferenz di rggio unitrio, l misur in rdinti dell ngolo coincide con l lunghezz dell rco AB. Nel cso di un ngolo giro risult A = B e l rco AB è l inter circonferenz, l cui misur è dunque πr. Dll definizione dt si deduce pertnto che l misur in rdinti dell ngolo giro è π, quell di un ngolo pitto π e quell di un ngolo retto π. In generle per pssre d grdi rdinti e vicevers si us l proporzione: ovvero: o : rd = 60 o : π, o : rd = 80 o : π 6 Ricordimo che prese due circonferenze concentriche di rggi r, r, se considerimo due rchi di lunghezz, sottesi dllo stesso ngolo, vle l relzione: : = r : r.(vedi figur 4) 7

18 dove o rppresent l misur di â in grdi e rd quell di â in rdinti. In prticolre: rd = 57 o 8, o = π 80 rd = 0, 0745 rd. Ogni ngolo positivo è dunque misurto d un numero rele compreso tr 0 e π. Se l ngolo â è negtivo, definimo l su misur in rdinti come l opposto dell misur in rdinti dell ngolo positivo. Come nel cso dei grdi vevmo definito l misur meno di multipli interi di 60 0, così desso l misur in rdinti srà dt meno di multipli interi di π. Come già detto, utilizzndo l circonferenz di rggio unitrio (circonferenz goniometric): l misur in rdinti di un ngolo l centro è ugule ll lunghezz s dell rco d esso sotteso. Si può immginre che l circonferenz rechi un scl numeric su cui leggere ; d esempio, si può pensre di vvolgere ttorno ll circonferenz un rett in cui si stto introdotto un riferimento crtesino vente come unità di misur l lunghezz del rggio. Si colloc l origine nel punto A = (, 0) dell circonferenz e poi si vvolge l semirett positiv in senso ntiorrio, quell negtiv in senso orrio. In questo modo l ngolo si può leggere su questo sse curvilineo. In quest costruzione d ogni ngolo l centro corrisponde uno ed un solo punto sull circonferenz e vicevers (corrispondenz iunivoc); d ogni punto dell circonferenz corrispondono però infiniti punti del sse curvilineo e dunque infiniti numeri reli: inftti, qundo si esegue l vvolgimento i punti che distno tr loro kπ unità (k Z) hnno come immgine lo stesso punto. y P r 0 r=0 x F igur 5 L utilità che le funzioni trigonometriche e i loro rgomenti ino l stess unità di misur è evidente oltre che d considerzioni di crttere teorico, nche d quelle prtiche. Ricordimo nell fisic il procedimento con il qule si deduce l legge delle piccole oscillzioni del pendolo. Nell dimostrzione dell formul si osserv che per ngoli piccoli sin = (circ ugule). Quest uguglinz vree poco senso se l grndezz l primo memro fosse espress d esempio in millimetri e quell l secondo memro in grdi. L tell che segue ci dà un ide di ciò. ( 7 ) o = rd sin Differenz, % 0 o = 0, 0000 rd 0,0000 0,00 o = 0, 049 rd 0,049 0,00 5 o = 0, 087 rd 0,087 0, 0 o = 0, 745 rd 0,76 0,5 5 o = 0, 68 rd 0,588,4 Osservndo l Figur 6 ci si può rendere conto di qunto osservto sopr, cioè, se l misur dell rco è piccol, il segmento che rppresent sin tende coincidere con esso. 7 vedi: R. Resnick D. Hllidy, FISICA, (Prte Prim), cp.5, pr

19 B O C A F igur 6 Come imo già detto, in generle il vlore di sin e cos non può essere ottenuto per vi elementre, m solo utilizzndo i metodi dell Anlisi Mtemtic. Possimo però servirci di un clcoltrice. In generle l clcoltrice legge i grdi e le sue frzioni decimli, m non quelle sessgesimli. Per gli ngoli espressi in quest form occorre operre prim un conversione (cos che l clcoltrice f qundo viene digitto un opportuno tsto che vri second del modello). Ad esempio, clcolimo sin e cos per = Ricordimo che: un primo = di grdo, un secondo = di grdo Possimo quindi scrivere = = Digitimo il vlore ottenuto nell clcoltrice ed ottenimo: ( ) 0 = (0, ) sin (0, ) 0 = 0, , cos (0, ) 0 = 0, Vicevers, voglimo clcolre l ngolo compreso tr 0 0 e 90 0 tle che cos = 0, 7. Digitimo questo vlore sull clcoltrice, poi digitimo cos ed ottenimo (45, 57996) 0. A questo punto trsformimo le frzioni decimli dei grdi ottenuti in frzioni sessgesimli (e nche per quest operzione l clcoltrice h un tsto opportuno che deve essere digitto). Concretmente, moltiplichimo 0, per 60 ed ottenimo 4, 7976 (primi); moltiplicndo 0, 7976 per 60 ottenimo, 7856 (secondi). In definitiv (45, 57996) 0 = (, 7856). L funzione tngente. L funzione tngente, indict tn o tg, è definit ttrverso l eguglinz: tn = sin cos. Il dominio di quest funzione, differenz di qunto ccde per seno e coseno, non è tutto l insieme R. Inftti nel rpporto che definisce l tngente il denomintore si nnull per = k80 0, ovvero per = π + kπ, (k Z), vlori che doimo escludere dl dominio dell funzione, che dunque è definit per k80 0 ovvero π + kπ, k Z. 9

20 Osservzione 4. Anche tn h un rppresentzione geometric come sin e cos. Nell Figur 9 considerimo i tringoli CB OCB e OAD. Essendo simili possimo scrivere: ; m OC = cos, CB = sin, OA = e quindi OC = AD OA tn = sin cos = OC CB = AD OA = AD. Di conseguenz tn è l ordint del punto D sull rett tngente orientt positivmente verso l lto. A differenz di sin e cos che vrino sempre tr e, non c è lcun limitzione per tn che vri su tutto R. y B D O C x A=(,0) F igur 7 Possimo definire un nuov funzione, dett cotngente e indict cot (o nche cot o cotg ), ttrverso l uguglinz cot = cos x sin x. Quest funzione è definit se sin x cioè per x kπ (k Z). Possimo nche scrivere cot = tn con l convenzione che cot = 0 per = π + kπ (k Z) (cioè dove l tngente non è definit); l nuov espressione non è definit nei punti in cui tn = 0, cioè ppunto per = kπ, (k Z). 0

21 Rissumimo nell seguente tell qunto imo ottenuto finor. o rd sin cos tn 0 o o π 6 45 o π 4 60 o π 90 o π 0 o π 5 o π 4 50 o 5π 6 0 non esiste - 80 o π o 7π 6 5 o 5π 4 40 o 4π 70 o π 00 o 5π 5 o 7π 4 0 o π 6-0 non esiste - 60 o π 0 0

22 I dti riportti nell tell ci permettono di trccire un grfico pprossimto di ciscun funzione trigonometric. y π π π π π π 0 π π x y = sin x y π π 0 π π x y = cos x π π 0 π π π π y = tn x

23 π π π 0 π π π 5 Formule dell trigonometri. y = cot x In questo prgrfo riportimo le principli formule dell trigonometri, utili nell semplificzione di espresioni o equzioni in cui compiono le funzioni trigonometriche. Mettimo suito in gurdi il lettore dl ritenere che queste funzioni dipendno linermente dl loro rgomento. Ad esempio: sin x NON È UGUALE A sin x Inftti se x = 45 0 si h che sin 45 0 = sin 90 0 =, mentre sin 45 0 = =. Ed ncor sin( + β) NON È UGUALE A sin + sin β. Inftti se = 0 0 e β = 60 0 si h che sin( ) = sin 90 0 =, mentre sin sin 60 0 = + = + >. Noto sin cos tn cot sin sin ± sin cos ± cos cos sin ± sin ± cos cos ± sin sin cos ± cos tn tn ± + tn ± + tn tn tn cot ± + cot cot ± + cot cot N.B. Qundo nelle formule sopr compre ± non si intende che vdno ene entrme le opzioni, m il segno si sceglie in se l qudrnte dove cde il secondo lto dell ngolo. cot

24 Angoli ssociti. sin( ) = sin cos( ) = cos tn( ) = tn sin(π ) = sin cos(π ) = cos tn(π ) = tn sin( + π) = sin cos( + π) = cos tn( + π) = tn sin( π ) = cos cos( π ) = sin sin( π + ) = cos cos( π + ) = sin tn( π ) = cot tn( π + ) = cot Formule di ddizione. sin( + β) = sin cos β + sin β cos cos( + β) = cos cos β sin sin β tn + tn β tn( + β) = tn tn β Formule di sottrzione. sin( β) = sin cos β sin β cos cos( β) = cos cos β + sin sin β tn tn β tn( β) = + tn tn β Formule di dupliczione. sin = sin cos cos = cos sin = sin = cos tn = tn tn Formule di isezione. 8 sin = ± cos cos = ± + cos tn = ± cos + cos 8 Anche in questo cso l scelt del segno si f in se l qudrnte dove cde il secondo lto dell ngolo. 4

25 Formule di prostferesi. sin p ± sin q = sin p±q cos p q cos p + cos q = cos p+q cos p q cos p cos q = sin p+q sin p q Formule di Werner.( 9 ) sin sin β = [cos( β) cos( + β)] cos cos β = [cos( + β) + cos( β)] sin cos β = [sin( + β) + sin( β)] Espressioni di sin e cos come funzioni rzionli di tn. sin = tn + tn ; cos = tn + tn Dimo lcuni esempi di come usre le formule dell trigonometri elencte sopr. Si trtt di dimostrre lcune identità. Esempio 5. Sviluppimo il primo memro: cos 4 ξ sin 4 ξ = cos ξ (9) cos 4 ξ sin 4 ξ = (cos ξ sin ξ)(cos ξ + sin ξ) = (per l relzione Pitgoric) = (cos ξ sin ξ) = (vedi formule di dupliczione) = cos ξ. Esempio 6. cos tn ξ + sin ξ ξ = tn ξ (0) Sviluppimo il primo memro utilizndo l formul di isezione del coseno: cos ξ = + cos ξ = + cos ξ Sviluppimo il secondo memro di (0) tn ξ + sin ξ tn ξ = tn ξ tn ξ + sin ξ tn ξ = + sin ξ tn ξ = + sin ξ sin ξ cos ξ = + cos ξ () L identità è verifict. 9 Johnnes Werner, (468-58), mtemtico tedesco. 5

26 Esempio 7. Sviluppimo il qudrto l primo memro: (sin ξ + cos ξ) = (sin ξ + cos ξ) = + sin ξ. () = {}}{ sin ξ + cos ξ + sin ξ cos ξ = (relzione Pitgoric) = + sin ξ cos ξ = (formul di dupliczione del seno) = + sin ξ. Esempio 8. sin ξ cosξ cos ξ sin ξ = sin ξ. () Applichimo l primo memro di () le formule di sottrzione del seno, prendendo = ξ, β = ξ : sin ξ cos ξ cos ξ sin ξ = sin(ξ ξ) = sin ξ. In lterntiv, utilizzndo le formule di dupliczione, il primo memro si scrive nell form sin ξ cos ξ (cos ξ sin ξ) sin ξ = sin ξ(sin ξ + cos ξ) = sin ξ. Esempio 9. sin ξ sin ξ = (cos ξ cos 5ξ) (4) Applichimo l primo memro dell identità le formule di Werner (vedi Tell sopr) con = ξ, β = ξ : d cui segue l identità propost. sin ξ sin ξ = [cos(ξ ξ) cos(ξ + ξ)], Esempio 0. cos ξ sin ξ tn ξ = cos ξ cos ξ (5) Sviluppimo il primo memro di (5) nel modo che segue: cos ξ sin ξ tn ξ = cos ξ sin ξ sin ξ cos ξ cos ξ cos ξ sin ξ sin ξ =, (6) cos ξ l numertore dell frzione di (6) pplichimo l formul di ddizione del coseno prendendo = ξ, β = ξ: cos ξ cos ξ sin ξ sin ξ = cos(ξ + ξ) = cos ξ. Sostituendo quest espressione in (6) ottenimo l identità (5). Esempio. sin ξ = ( sin ξ sin ξ) (7) 4 6

27 Esprimimo sin ξ, utilizzndo le formule di ddizione del seno come segue: sin ξ = sin(ξ + ξ) = sin ξ cos ξ + cos ξ sin ξ, sostituendo l secondo memro di (7): 4 [ sin ξ (sin ξ cos ξ + cos ξ sin ξ)] = [ sin ξ sin ξ cos ξ cos ξ sin ξ] = 4 (formule di dupliczione del seno e del coseno) = 4 [ sin ξ sin ξ cos ξ cos ξ sin ξ + sin ξ] = (relzione Pitgoric) = 4 [ sin ξ sin ξ( sin ξ) + sin ξ] = = 4 [ sin ξ + sin ξ] = sin ξ. Esempio. sin ξ + sin ξ + sin ξ = sin ξ ( + cos ξ) (8) Al primo memro di (8) pplichimo le formule di ddizione del seno ll funzione sin x come segue: sin ξ = sin(ξ + ξ) = sin ξ cos ξ + cos ξ sin ξ; possimo sostituire quest espressione nel primo memro di (8): sin ξ + sin ξ + sin ξ = sin ξ + sin ξ + sin ξ cos ξ + cos ξ sin ξ = = sin ξ( + cos ξ) + sin ξ( + cos ξ) = (formul di dupliczione del coseno) = sin ξ( + cos ξ) + sin ξ( + cos ξ ) = = sin ξ( + cos ξ) + sin ξ cos ξ cos ξ = (formul di dupliczione del seno) = sin ξ( + cos ξ) + sin ξ cos ξ = sin ξ( + cos ξ). Esempio. tn + tn β = sin( + β) cos cos β (9) Esprimimo l tngente come rpporto tr seno e coseno: sin cos + sin β cos β = = sin cos β + sin β cos cos cos β sin( + β) cos cos β = (formule di ddizione del seno) Esempio 4. tn tn β = sin( β) cos cos β (0) 7

28 Si procede in mnier nlog quell dell esercizio precedente. sin cos sin β cos β = = sin cos β sin β cos cos cos β sin( β) cos cos β = (formule di sottrzione del seno) 6 Equzioni goniometriche elementri Un equzione goniometric è un equzione in cui l incognit compre come rgomento di un funzione trigonometric. Nei csi più elementri, dto m R, si trtt di determinre (se esiste) x R tle che: oppure oppure ) sin x = m, ) cos x = m, ) tn x = m. Esminimo in dettglio ciscuno di questi csi. ) sin x = m Quest equzione h soluzione se e solo se m [, ] (vedi definizione di seno); se R è un soluzione, tutte le soluzioni si possono scrivere nell form: x = + hπ oppure x = π + kπ, h, k Z, ovvero, in mnier più concis, x = ( ) k + kπ, k Z. y P m P π 0 A x Inftti le soluzioni possono essere ottenute grficmente intersecndo l circonferenz goniometric con l rett y = m. I punti P, P di intersezione individuno gli ngoli ÂOP, ÂOP le cui misure in rdinti forniscono le soluzioni dell equzione: x = + kπ, x = π + kπ, k Z. È evidente che queste soluzioni esistono se e solo se m ; in prticolre, se m = ± i due punti P e P coincidono e invece di due infinità di soluzioni ne trovimo solo un (x = π + kπ, se m = ; x = π + kπ, 8

29 se m = ). Un ltro metodo grfico di risoluzione consiste nel trovre i punti di intersezione dell rett y = m con il grfico dell funzione seno: le scisse di questi punti sono le soluzioni. y m 0 x Un ed un sol di queste soluzioni cde nell intervllo [ π, π ]. Chimeremo quest soluzione rcsin m (rcoseno) (vedi, più vnti, 5). Le soluzioni possono essere riscritte nell form : x = rcsin m + kπ, x = π rcsin m + kπ, k Z, ovvero x = ( ) k rcsin m + kπ, k Z. ) cos x = m Quest equzione h soluzione se e solo se m [, ] (vedi definizione di coseno); se R è un soluzione, tutte le soluzioni si possono scrivere nell form x = ± + kπ, k Z. y P O m A x P Inftti le soluzioni si possono ottenere grficmente intersecndo l circonferenz goniometric con l rett x = m. I punti P P di intersezione individuno gli ngoli ÂOP, ÂOP le cui misure in rdinti forniscono le soluzioni dell equzione: x = + kπ, x = + kπ, k Z. È evidente che queste soluzioni esistono se e solo se m ; in prticolre, se m = ± i due punti P, P coincidono ed invece di due infinità di soluzioni ne trovimo solo un, cioè x = kπ, k Z se m = ; x = π + kπ, k Z se m =. Come nel cso dell funzione seno nche per l funzione coseno si può utilizzre un ltro metodo di risoluzione grfic, che consiste nel trovre i punti di intersezione dell rett y = m con il grfico dell funzione coseno: le scisse di questi punti sono le soluzioni dell equzione. Un ed un sol di queste soluzioni cde nell intervllo [0, π]. Chimeremo quest soluzione rcos m (rcocoseno)(vedi, più vnti, 5). 9

30 Le soluzioni possono dunque essere riscritte nell form x = ± rccos m + kπ, k Z. y 0 m x ) tn x = m Quest equzione h soluzione per ogni vlore rele di di m; se R è un soluzione, tutte le ltre si possono scrivere nell form x = + kπ, k Z, Dl punto di vist geometrico, l rett orizzontle di equzione y = m intersec l rett tngente ll circonferenz goniometric in un punto T ; su volt l rett per O e T intersec l circonferenz nei due punti P e P. L misur in rdinti degli ngoli ÂOP, ÂOP fornisce le soluzioni dell equzione: x = + k π oppure x = + π + k π, k Z che possimo riscrivere più semplicemente nell form x = + k π, k Z. y m T P O A x P t Anche in questo cso possimo considerre l intersezione dell rett y = m con il grfico dell funzione tngente: le scisse di questi punti sono le soluzioni dell equzione. Un ed un sol di queste cde nell intervllo ( π, π ). Chimeremo quest soluzione rctn m (rcotngente) (vedi, più vnti, 5). Le soluzioni possono essere scritte nche nell form x = rctn m + kπ, k Z. 0

31 m π π π 0 π π π Esempio 5. Risolvere l equzione: sin x =. Consultndo l tell con i vlori notevoli delle funzioni trigonometriche, vedimo che un soluzione è π. Dunque tutte le soluzioni dell equzione sono: x = π + hπ, oppure x = π π + kπ = π + kπ, h, k Z In mnier più sintetic: x = ( ) k π + kπ. Esempio 6. Determinre (con un pprossimzione di 0 9 ) le soluzioni sull intervllo [0, π] dell equzione: sin x = 0.8. Il vlore proposto non è tr quelli notevoli indicti nell tell. Ricorrimo d un clcoltrice scientific (o l computer). Digitimo 0.8 e poi sin. Sul disply compre le soluzioni sono: sin 0.8 = RAD x = , e x = Esempio 7. Risolvere l equzione: cos x =. Consultndo l tell, vedimo che un soluzione è x = π 4. Un primo insieme di soluzioni è dunque dto d: x = π + kπ, k Z. 4 Inoltre, imo visto che se è soluzione lo è nche, dunque un ltro insieme di soluzioni è dto d: x = π 4 + kπ, k Z. che può essere espresso nche nell form: x = 5π 4 + kπ, k Z, coerentemente con il ftto che nell tell trovimo, oltre ll soluzione π 4, nche 5π 4.

32 Esempio 8. Determinre (con un pprossimzione di 0 9 ) le soluzioni dell equzione: cos x = 0.9 sull intervllo [0, π]. Anche in questo cso il vlore proposto non è tr quelli notevoli indicti nell tell. Ricorrimo d un clcoltrice scientific (o l computer). Digitimo 0.9 e poi cos. Sul disply compre cos 0.9 = RAD un soluzione è x = ; l ltr non è x = , perché non cde nell intervllo considerto, m x = Esempio 9. Risolvere l equzione cos x = 6. L equzione dt non mmette soluzioni, perché l funzione coseno può ssumere solmente vlori compresi tr e. Esempio 0. Risolvere l equzione: tn x =. Dll tell ricvimo che il minore degli ngoli positivi l cui tngente è h misur π. Le soluzioni dell equzione dt sono: x = π + kπ, k Z. Esempio. Determinre (con un pprossimzione di 0 9 ) le soluzioni nell intervllo [0, π] dell equzione: tn x = 50. Digitimo sul pc o sull clcoltrice 50 e poi tn. Sul disply compre tn 50 = RAD ; le soluzioni sono (vedi figur seguente): x 0 = , x = ; gli ltri vlori che verificno l equzione non cdono nell intervllo [0, π]. 50 π π π π x x 0 x x x 0

33 7 Funzioni trigonometriche inverse Le funzioni trigonometriche, in qunto periodiche, non sono iniettive (e di conseguenz nemmeno invertiili) nel loro dominio: lo diventno se ristrette d opportuni intervlli che possono essere scelti in modo d lscire invrit l immgine. Funzione invers dell funzione seno. L funzione x sin x è crescente sull intervllo [ π, π ] ( 0 ) π x < x π sin x < sin x. L restrizione f dell funzione seno ll intervllo [ π, π ] h come immgine [, ]; l funzione [ sin : π, π ] [, ] è invertiile; ll funzione invers dimo il nome di rcoseno e scrivimo Dunque f (x) = rcsin x. rcsin : [, ] [ π, π ]. Il vlore x = rcsen m : h senso solo se m [, ]; [ è l unico vlore x π, π ] tle che sin x = m, cioè è l unic soluzione del sistem { [ x π, π ] sin x = m Le soluzioni dell equzione elementre sin x = m (con m [, ]) si possono dunque scrivere nell form x = rcsin m + kπ oppure x = π rcsin m + kπ, k Z. Il grfico dell funzione rcoseno è riportto nell figur sotto. 0 Inftti, presi x, x [ π, π ], con x < x risult: perché sin x sin x = sin x x cos x + x π x < x π π < x + x < π π < x + x > 0, < π cos x + x > 0, π x < x π 0 < x x < π 0 < x x < π sin x x > 0.

34 x y = rcsin x Funzione invers dell funzione coseno. L funzione x cos x è decrescente sull intervllo [0, π] ( ) 0 x < x π cos x > cos x. L restrizione f dell funzione coseno ll intervllo [0, π] h come immgine [, ]; l funzione cos : [0, π] [, ] è invertiile; ll funzione invers dimo il nome di rcocoseno e scrivimo Dunque Il vlore x = rcos m : f (x) = rccos x. rccos : [, ] [0, π]. h senso solo se m [, ]; è l unico vlore x [0, π] tle che cos x = m, cioè è l unic soluzione del sistem { x [0, π] cos x = m Le soluzioni dell equzione elementre cos x = m (con m [, ]) si possono dunque scrivere nell form x = ± rccos m + kπ, k Z Il grfico dell funzione rcocoseno è riportto nell figur sotto. Inftti, presi x, x [0, π], con x < x risult: cos x cos x = sin x + x sin x x perché, essendo 0 < x x < π, llor sin x x > 0; mentre d 0 < x +x < π segue sin x +x > 0. < 0, 4

35 x y = rccos x Funzione invers dell funzione tngente. L funzione x tn x è crescente sull intervllo ( π, π ) ( ) π < x < x < π tn x < tn x. L restrizione f dell funzione tngente ll intervllo ( π, π ) h come immgine R; l funzione ( tn : π, π ) R è invertiile; ll funzione invers dimo il nome di rcotngente e scrivimo Dunque f (x) = rctn x. rctn : R ( π, π ). Il vlore x = rctn m : h senso per ogni m R; ( è l unico vlore x π, π ) tle che tn x = m, cioè è l unic soluzione del sistem { ( x π, π ) tn x = m Inftti, presi x, x ( π, π ), con x < x risult: π < x < x < π tn x tn x = sin x cos x sin x cos x = sin x cos x cos x sin x cos x cos x = sin(x x ) cos x cos x > 0, perché 0 < x x < π. 5

36 Le soluzioni dell equzione elementre tn x = m (con m R) si possono dunque scrivere nell form x = rctn m + kπ, k Z. Il grfico dell funzione rcotngente è riportto nell figur sotto x y = rctn y Le tre funzioni rcsin, rccos, rctn non sono indipendenti tr loro: le prime due possono essere clcolte utilizzndo solo l terz. Inftti, se è sin x = m e se m m 0, llor senz miguità di segno srà tn x =, perché m ( nell intervllo π, π ) seno e tngente hnno lo stesso segno. Dunque rcsin m = rctn ( π ) Anlogmente, se cos x = m, srà sin x π rcsin m. In definitiv, se m 0, m m. = m e quindi rccos m = π rcsin m = π rctn π x = rcsin m, d cui si ricv x = m m. 6

37 8 Altre equzioni trigonometriche In generle le equzioni goniometriche si presentno come eguglinze tr espressioni in cui compiono le funzioni trigonometriche che hnno l incognit come rgomento. Per risolverle si cercherà, pplicndo le formule dell trigonometri (vedi il prgrfo precedente), di semplificre le espressioni fino ridursi d un delle equzioni elementri viste in precedenz. Dimo qui di seguito lcuni esempi di questo procedimento. Esempio. Risolvere le equzioni sin rx = sin sx, () cos rx = cos sx, () tn rx = tn sx. () Se r ±s si risolvono tenendo conto dei risultti elementri già stiliti. Inftti l equzione () è verifict per quei vlori di x R per i quli risult: oppure d cui rx = sx + hπ, h Z rx = π sx + kπ, k N, x = hπ (k + )π, oppure x =. r s r + s L equzione () è verifict per quei vlori di x R per i quli risult: rx = ±sx + kπ x = kπ r ± s, k Z. L equzione () è verifict per quei vlori di x R per i quli risult: rx = sx + kπ x = kπ r s, k Z. Esercizio. Risolvere l equzione: sin x = sin x. L equzione h come soluzioni le x tli che: x = x+hπ, h Z oppure x = π x+kπ, k Z. Quindi: x = hπ, h Z, oppure x = ( + k)π, k Z. 5 Esercizio. Risolvere l equzione: cos 7x = cos 4x. Le soluzioni x sono tli che 7x = ±4x + hπ, h Z, d cui: x = hπ oppure x = hπ, h Z, cioè: x = hπ oppure x = hπ, h Z. Esercizio. Risolvere l equzione: tn 6x = tn x. 7

38 Deve essere 6x = x + hπ, h Z, cioè x = hπ 4, h Z. Esercizio 4. Risolvere l equzione: sin(6x 0 0 ) = sin(x ). L equzione h soluzioni che risolvono 6x 0 0 = x h60 0, h Z, oppure 6x 0 0 = 80 0 (x ) + k60 0, k Z. Dunque: Esercizio 5. Risolvere l equzione: x = h60 0 oppure x = ( + k)80 0, h, k Z. 9 cos(4x ) = cos(x 0 0 ). Dll equzione dt ottenimo: 4x = ±(x 0 0 ) + k60 0, k Z, d cui si ricv: Esercizio 6. Risolvere l equzione: x = k60 0, k Z, oppure x = 00 + h60 0, h Z. 5 tn(6x ) = tn(x ) Tenendo conto delle proprietà dell funzione tngente: 6x = x k80 0, k Z, d cui Esercizio 7. Risolvere l equzione: ( Tenendo conto dell identità cos x = sin x + π x = 00 + k80 0, k Z. 4 sin x = cos x ) l equzione ssegnt può essere riscritt nell form ( sin x = sin x + π ). Le soluzioni x sono tli che x = x + π + hπ, h Z, oppure x = π x π + kπ, k Z. Quindi: x = π + hπ, h Z, oppure x = π 0 + k π, k Z. 5 Equzioni lineri in sin x e cos x. Sono le equzioni del tipo: I) Si c = 0. sin x + cos x = c, con, 0. (4) Osservimo che deve essere cos x 0, perché ltrimenti si vree sin x = ± e sostituendo nell equzione (4) si otterree = 0, contrrimente ll ipotesi ftt. Possimo dunque dividere entrmi memri dell equzione (4) per cos x ottenendo tn x + = 0 cioè tn x = che è un equzione elementre già studit. 8

39 Esempio. Risolvere l equzione: sin x cos x = 0 Dividimo per cos x : tn x = 0 tn x = x = π + kπ, k Z. II) Si c 0. i)risoluzione medinte l trsformzione di seno e coseno come funzioni rzionli di tn Sostituimo l posto di sin x e cos x le loro espressioni rzionli in termini di tn x : tn x + tn x + tn x + tn x = c (5) Rccogliendo fttor comune e semplificndo: ( + c) tn x tn x + c = 0. (6) Se + c = 0 si trtt di un equzione elementre già vist in precedenz. Se + c 0, ponendo y = tn x si ottiene un equzione di secondo grdo in y. Osservimo che le espressioni rzionli uste hnno senso solo se è x π + kπ, cioè x π + kπ. Occorre dunque controllre seprtmente se questi vlori esclusi sono soluzioni dell equzione di prtenz. ii) Risoluzione geometric. Ponendo X = cos x, Y = sin x, l equzione dt si trduce nel sistem { X + Y = c X + Y = dove l second equzione equivle sin x + cos x =. Dl punto di vist geometrico il sistem studi le intersezioni tr un rett e l circonferenz goniometric. Trovti i punti di intersezione (X, Y ), (X, Y ), le soluzione dell equzione di prtenz si ottengono risolvendo i sistemi formti dlle equzioni elementri: { cos x = X sin x = Y oppure { cos x = X sin x = Y y (X,Y ) Ο (X,Y ) x 9

40 Esempio 4. Risolvere l equzione: ( ) cos x + ( + ) sin x = Ponendo X = cos x, Y = sin x, ottenimo il sistem { ( )X + ( + )Y = X + Y = le cui soluzioni sono: (X, Y ) = (, ) e (X, Y ) = ( ),. Doimo quindi risolvere: cos x = (I) sin x = oppure cos x = (II) sin x =. Il sistem (I) h soluzione x = π +kπ, k Z, perché l prim equzione viene risolt di vlori x = π +kπ oppure x = π + hπ, mentre l second di vlori x = π + kπ oppure x = π + hπ. Il sistem (II) h soluzione x = 5 6 π + hπ, h Z perché l prim equzione viene risolt di vlori x = 5π 6 + kπ oppure x = 5π 6 + hπ, mentre l second di vlori x = π 6 + kπ oppure x = 5π 6 + hπ. iii) Risoluzione con ltri rtifici lgerici. L equzione (4) può essere risolt ricorrendo ll introduzione di un nuov incognit e utilizzndo le formule di ddizione del seno. L ide segue dll seguente osservzione. Osservzione 5. Dimostrre che per ogni,, R esiste ϕ R tle che sin x + cos x = + sin(x + ϕ), x R (7) Applichimo le formule di ddizione l secondo memro dell identità sin x + cos x = + sin x cos ϕ + + sin ϕ cos x ed ottenimo le soluzioni risolvendo il sistem di equzioni cos ϕ = + sin ϕ = +. Poiché ( ) ( ) + =, + + l soluzione del sistem esiste ed è individut meno di multipli interi di π. 40

41 Ciò stilito, riprendimo l equzione dell Esempio 4: ( + ) sin x + ( ) cos x =. (8) Fcendo riferimento lle notzioni dell Osservzione (5), possimo scrivere: = +, =, + = ; di conseguenz il sistem d risolvere per determinre l incognit usiliri ϕ è il seguente: cos ϕ = + sin ϕ = = 0, 97 = 0, 6. Risolvimo, moltiplicndo memro memro le equzioni del sistem. Si ottiene (9) sin ϕ cos ϕ = sin ϕ =. Le soluzioni dell equzione così ottenut sono ϕ = π + kπ oppure ϕ = 5 π + hπ, h, k Z. Tr queste si trov per verific dirett che risolvono il sistem (9) solo ϕ = π + kπ, k Z. (0) Inoltre dlle equzioni (7), (8) segue ovvero Tenuto conto di (0) si h infine sin(x + ϕ) = x + ϕ = π 4 + hπ oppure x + ϕ = π + kπ, h, k Z. 4 x = π + hπ, e x = 5 π + kπ, h, k Z. 6 Equzioni omogenee di secondo grdo in sin x e cos x. Sono equzioni del tipo: I) Si d = 0. Se = 0 l equzione ssume l form che equivle due equzioni già studite: sin x + sin x cos x + c cos x = d () cos x ( sin x + c cos x) = 0 cos x = 0 oppure sin x + c cos x = 0. Se 0 i vlori di x per cui cos x = 0 (e dunque sin x = ±) non risolvono l equzione. Possimo dunque dividere per cos x, ottenendo l equzione tn x + tn x + c = 0 4

42 di secondo grdo in tn x, che risolvimo ponendo y = tn x. II) Si d 0. Ci riconducimo l cso precedente sostituendo il secondo memro con d (sin x + cos x). L equzione ssume l form ( d) sin x + sin x cos x + (c d) cos x = 0. () Esempio 5. Risolvere l equzione: sin x cos x sin x cos x = 0. Poiché i vlori di x per cui cos x = 0 non risolvono l equzione, possimo dividere per cos x e scrivere tn x tn x = 0 Posto tn x = t, l equzione di secondo grdo in t t t = 0 fornisce t = oppure t = e quindi tn x = x = rctn + kπ, k Z, tn x = x = π 4 + hπ, h Z. Esempio 6. Risolvere l equzione: sin x cos x sin x cos x =. Sostituito il secondo memro con sin x + cos x, possimo riscrivere l equzione nell form cos x + sin x cos x = 0 d cui segue oppure cos x = 0 x = π + hπ, h Z cos x + sin x = 0 tn x = x = rctn + kπ, k Z. Esempio 7. Risolvere l equzione: sin x + cos x + sin x = 0. L equzione non rientr nei csi esminti. In genere l risoluzione di equzioni di questo tipo vviene in tre pssi. o ) Fr comprire un unic funzione nell equzione. Utilizzndo l identità fondmentle, possimo sostituire cos x con sin x in modo d ottenere un equzione in cui compre un sol funzione trigonometric: sin x + ( sin x) + sin x = 0 cioè sin x sin x = 0 4

43 o ) Risolvere l equzione ottenut considerndo l funzione trigonometric come incognit. Ponendo y = sin x ci riconducimo risolvere l equzione di secondo grdo y y = 0 che h come soluzioni y = e y =. o ) Risolvere le equzioni elementri ottenute. Doimo risolvere le due equzioni elementri: sin x = (che h soluzioni: x = π sin x = (che h soluzioni x = 7 6π + hπ, h Z e x = 6 π + kπ, k Z). + kπ, k Z) e 9 Disequzioni goniometriche. Per l risoluzione delle disequzioni goniometriche vle qunto detto sopr per le equzioni, quindi, o un disequzione è elementre o doimo ricondurl questo tipo utilizzndo opportunmente le formule dell trigonometri. Vedimo qulche esempio. Esempio 8. Risolvere l disequzione: sin x <. L equzione sin x = h soluzioni x = π 6 + hπ, h Z, e x = 5 6π + kπ, k Z. / F igur 8 Nell Figur 8 osservimo che possimo scrivere gli rchi che verificno l disequzione nell form: 0 + hπ < x < π + hπ, h Z, 6 ovvero Esempio 9. Risolvere l disequzione: 5 π + kπ < x < π + kπ = (k + )π, π + kπ < x < π + kπ, h, k Z. 6 cos x >. 4

44 F igur 9 L equzione cos x = h soluzioni: x = ± π 4 + kπ, k Z. Dll Figur 9 deducimo che l disequzione è verifict d: 0 + kπ < x < π + kπ, k Z, 4 oppure π + hπ < x < 0 + hπ, h Z. 4 Possimo sintetizzre nell form π 4 + kπ < x < π 4 + kπ, k Z. Esempio 0. Risolvere l disequzione: tn x <. Con procedimento nlogo quello dei csi precedenti inizimo col risolvere l equzione tn x = e poi ricorrimo l grfico dell funzione tngente (vedi Figur 0). y π/ 0 π/4 π/ x F igur 0 Le soluzioni nell intervllo ( π, π ) sono quindi: π < x < π 4. Tenendo conto dell periodicità dell funzione tngente imo, in definitiv: π + kπ < x < π + kπ, k Z. 4 44

45 0 Trigonometri e vettori I vettori sono segmenti rettilinei orientti, crtterizzti d un direzione, un verso e un lunghezz. Due vettori sono uguli qundo hnno in comune questi elementi. Per semplicità prenderemo in considerzione solo i vettori del pino. Fissto un punto O del pino, considerimo i vettori il cui primo estremo si questo punto: prleremo in questo cso di vettori pplicti in O. L direzione, il verso e l lunghezz del vettore pplicto lo individuno completmente. Poiché il vettore OA è individuto dll estremo liero A, possimo identificre i vettori pplicti nell origine con i punti del pino crtesino e prlre del vettore A invece di OA. Per lunghezz (oppure mpiezz, intensità) del vettore A si intende l lunghezz del segmento OA, cioè l distnz del punto A d O. Sino A, B due vettori; l loro somm A + B è il vettore ssocito l qurto vertice del prllelogrmm, vente gli ltri vertici in O, A, B. L somm definit in questo modo si dice seguire l regol del prllelogrmm. A A+B O B Il prodotto di un vettore A per un numero c è il vettore ca che h: l direzione di A, il verso di A se c > 0, il verso opposto se c < 0, l lunghezz di A moltiplict per c. Se c = 0 si ottiene il vettore nullo O. O A ca L lunghezz di un vettore A si indic A ; dunque ca = c A. Il prodotto sclre A B di due vettori è il numero A B cos θ, essendo θ l ngolo formto di due vettori (non è importnte stilire l ordine con cui si scelgono, dto che cos θ = cos( θ). Fissti due vettori U, V non prlleli (cioè i punti U, V non sono llineti con l origine), scomporre un vettore A rispetto i vettori dti signific trovre due numeri x, y tli che A = xu + yv. Questi due numeri si dicono componenti di A rispetto lle due direzioni ssegnte. L costruzione geometric dell scomposizione secondo due direzioni è riportt nell figur sottostnte. 45