Teorema di Ceva. Tesina per il corso di Didattica dell algebra e della geometria. Francesco Biccari 23 gennaio 2013

Transcript

1 Teorema di Ceva Tesina per il corso di Didattica dell algebra e della geometria Francesco Biccari 23 gennaio 2013 Il teorema di Ceva è un teorema di geometria euclidea piana dimostrato nel 1678 dall italiano Giovanni Ceva, ma in realtà già conosciuto e dimostrato circa 600 anni prima dal matematico arabo Yusuf Al Mu'taman ibn Hűd. L esposizione di questo teorema durante lo studio della geometria euclidea nel liceo scientifico e classico, è un ottimo esempio di generalizzazione di teoremi ottenuti precedentemente per altra via (incentro, circocentro, ortocentro, baricentro). Enunciato Dato il triangolo ABC, condizione necessaria e sufficiente affinché le tre semirette condotte a partire dai tre vertici si incontrino in un punto comune K, è che CE = 1 dove D, E e F AF FB BD DC EA sono le intersezioni delle semirette originanti rispettivamente da A, B e C con la retta contenente il lato opposto alla loro origine. Se uno o due dei punti D, E ed F si trovano all infinito, l uguaglianza rimane soddisfatta dato che i rapporti contenenti i punti all infinito tendono a 1. Se il punto K si trova sul perimetro di ABC, i segmenti pari a zero possono essere eliminati dalla condizione perché il loro rapporto tende a 1.

2 Dimostrazione della necessità Concentriamo la nostra attenzione sui triangoli che si vengono a formare nella costruzione geometrica del teorema di Ceva. Prendiamo come riferimento il lato AC e chiamiamo a e b le lunghezze dei segmenti in cui viene suddiviso dal segmento BE. Ovviamente lo stesso discorso può essere ripetuto per le altre due basi. Con A1, B1, A2 e B2 abbiamo indicato le aree dei triangoli mostrati in figura. Dato che le altezze dei triangoli A1 e B1 sono uguali, possiamo scrivere B1 A1 a allo stesso modo, siccome le altezze dei triangoli grandi A1+A2 e B1+B2 sono uguali, possiamo scrivere: B1+B2 A1+A2 a Uguagliando le due espressioni si ottiene B2 A2 A1 = B1 e quindi B2 A2 a. In pratica il rapporto delle aree dei triangoli verdi è uguale al rapporto delle lunghezze a e b. Applicando il teorema appena dimostrato considerando di volta in volta una base diversa del triangolo ABC, otteniamo (con le parentesi tonde abbiamo indicato l area del triangolo): AF/FB = (ACK)/(BCK) BD/DC = (ABK)/(ACK) CE/EA = (BCK)/(ABK) Moltiplicando queste tre uguaglianze tra di loro, si ha la tesi: AF/FB BD/DC CE/EA = 1

3 Osservazioni Tale dimostrazione è stata fatta per semplicità supponendo il punto K interno al triangolo. In realtà il teorema vale in generale. Si può lasciare come esercizio di considerare il punto K esterno e rifare tutti i ragionamenti. In realtà il teorema sul rapporto delle aree verdi può essere generalizzato. Infatti si può dimostrare che, dati due segmenti qualsiasi AC e BK senza estremi in comune, il rapporto tra le aree (BKA)/(BKC) = AE/EC dove E è il punto di intersezione dei prolungamenti dei due segmenti. Avendo a disposizione questo teorema, il teorema di Ceva risulta subito dimostrato anche per il punto K esterno al triangolo Qua sotto sono riportati le quattro possibili configurazioni: La dimostrazione dei casi in cui uno o due dei punti D, E e F si trova all infinito oppure quando il punto K si trova sul perimetro, va fatta invece separatamente rispetto alla dimostrazione vista sopra, ma può essere lasciato come esercizio data la sua semplicità. Questo modo di procedere è molto utile allo studente perché comincia a dimostrare il teorema in alcuni casi particolari (K interno) facendosi aiutare dall intuizione data dal disegno, per poi estendere il risultato a casi meno comuni. La scoperta e l analisi di casi patologici, come per esempio i punti D, E e F all infinito, è un esercizio molto importante. Altro punto importante è quello di lasciare come esercizio la dimostrazione di teoremi già visti sui punti notevoli del triangolo, usando il Teorema di Ceva.

4 Dimostrazione della sufficienza Dimostriamo la condizione di necessità: cioè vogliamo dimostrare che se vale la relazione AF/FB BD/DC CE/EA = 1 allora le tre semirette si incontrano in un punto. Supponiamo che le due semirette BE e CF si incontrino nel punto K. Chiamiamo D il punto ottenuto come intersezione della semiretta con origine in A e passante per K con la retta contenente il lato CB. Chiamiamo D il punto giacente sul lato BC per cui vale la relazione AF/FB BD/DC CE/EA = 1. Vogliamo dimostrare che D e D coincidono. Da quanto finora dimostrato possiamo scrivere che AF/FB BD /D C CE/EA = 1 Dalla tesi sappiamo inoltre che AF/FB BD/DC CE/EA = 1 Uguagliando, si ha BD /D C = BD/DC. Dato che BD + D C = BD + DC si ha, con semplici calcoli, che BD = BD e D C = DC, cioè il punto D e D sono coincidenti. Anche in questo caso, i casi patologici vanno trattati separatamente. Esercizi supplementari Si ritiene interessante e istruttivo lasciare come esercizio la dimostrazione di questo teorema usando la geometria analitica nel piano cartesiano. Un altro possibile esercizio è la dimostrazione di questo teorema usando un approccio diverso. Tracciare la parallela a BC passante per A (quinto postulato). Estendere BE e CF affinché intersechino questa retta in G e H rispettivamente. Usando la similitudine dei triangoli AHF e BCF, AEG e BCE, AGK e BDK, CDK e AHK si possono ricavare diverse relazioni di proporzionalità tra vari segmenti che alla fine, moltiplicati tra loro, danno la condizione espressa dal teorema di Ceva.

5 Nota L enunciato del teorema di Ceva qui riportato non è nella forma originaria ma le ipotesi e la tesi sono invertite. Il teorema originario dice: Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto K del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo. Si ha la seguente relazione: CE = 1 AF FB BD DC EA Da qui anche l inversione tra la dimostrazione della necessità con quella di sufficienza. Ritengo che l enunciato dato in questo articolo è più chiaro e utile a uno studente rispetto a quello di Ceva.